二次根式的乘法与除法4种高频考法专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

二次根式的乘法与除法4种高频考法专项训练 二次根式的乘法与除法4种高频考法专项训练 考点目录 最简二次根式 二次根式的乘法 二次根式的除法 二次根式乘除法的混合运算 考点一 最简二次根式 例1．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）下列根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25八年级下·福建莆田·月考）下列各式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值是_______． 例4．（25-26八年级上·广东茂名·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 变式1．（25-26八年级下·北京·开学考试）下列式子中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·北京·开学考试）把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 变式4．（25-26八年级上·河北张家口·月考）若与最简二次根式能合并，则的值为________． 考点二 二次根式的乘法 例1．（24-25八年级下·重庆·期中）估算的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 例2．（25-26八年级上·江西南昌·期末）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）计算：______． 例4．（25-26九年级上·广东梅州·月考） ______． 变式1．（2022·重庆·模拟预测）估计的值在（   ） A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．8与9之间 变式2．（25-26九年级上·河南新乡·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 变式3．（2026·山西运城·一模）计算：______． 变式4．（24-25八年级下·广东广州·月考）化简： （1）_____； （2）_____． 考点三 二次根式的除法 例1．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）计算：（   ） A． B． C．3 D．2 例2．（2026·江苏南京·一模）已知某物体的质量，其体积，则它的密度ρ为（　　） A． B． C． D． 例3．（24-25八年级下·广东深圳·月考）化简的结果是__________． 例4．（24-25八年级下福建厦门·月考）计算： （1）_____； （2）__________． 变式1．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）计算：（   ）. A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·甘肃白银·月考）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25八年级下·湖北襄阳·月考）已知三角形底边的长是，面积是，则此边上的高为__________． 变式4．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）若与互为相反数，则的值为__________． 考点四 二次根式乘除法的混合运算 例1．（24-25八年级下·江西赣州·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 例2．（24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 例3．（24-25八年级下·河北秦皇岛·月考）计算： (1) (2)（） 变式1．（24-25八年级下·山西运城·月考）运算能力计算： (1)； (2)． 变式2．（24-25八年级下·湖南株洲·月考）计算： (1)； (2)． 变式3．（24-25八年级下·山东东营·月考）计算： (1)； (2)． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次根式的乘法与除法4种高频考法专项训练 二次根式的乘法与除法4种高频考法专项训练 考点目录 最简二次根式 二次根式的乘法 二次根式的除法 二次根式乘除法的混合运算 考点一 最简二次根式 例1．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）下列根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 对选项A：∵ = = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 对选项B：∵ = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 对选项C：∵的被开方数是3，不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴是最简二次根式． 对选项D：∵ = = ，被开方数含能开得尽方的因数4，∴不是最简二次根式． 综上，答案选C． 例2．（24-25八年级下·福建莆田·月考）下列各式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵最简二次根式需同时满足两个条件：、被开方数不含分母；、被开方数不含能开得尽方的因数或因式， 对选项逐一判断： 、被开方数为，含分母，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意； 、被开方数为，是能开得尽方的平方数，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意； 、被开方数为，不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足两个条件，是最简二次根式，符合题意； 、被开方数为，含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意． 例3．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值是_______． 【答案】4 【详解】解：由题意，与可以合并， 因此它们是同类二次根式， 故被开方数相等， 即， 解方程：， 移项得， 解得． 故答案为：4． 例4．（25-26八年级上·广东茂名·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】5 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 变式1．（25-26八年级下·北京·开学考试）下列式子中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵最简二次根式的定义为：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式， 对选项A，=，被开方数含有分母，不是最简二次根式， 对选项C，分母含有根式，可化简为，不是最简二次根式， 对选项D，==，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 对选项B，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义， ∴选B. 变式2．（24-25八年级下·北京·开学考试）把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 变式3．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】5 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 变式4．（25-26八年级上·河北张家口·月考）若与最简二次根式能合并，则的值为________． 【答案】1 【详解】解：， ∴被开方数为2， ∵与最简二次根式能合并， 又∵是最简二次根式， ∴的被开方数与2相同， 即，解得， 故答案为：1． 考点二 二次根式的乘法 例1．（24-25八年级下·重庆·期中）估算的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 【答案】C 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴估计的值在和0之间． 例2．（25-26八年级上·江西南昌·期末）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵， 又∵，， ∴． 故选：D 例3．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）计算：______． 【答案】 【详解】解：． 例4．（25-26九年级上·广东梅州·月考） ______． 【答案】 【详解】解：根据二次根式的乘法法则，可得：． 变式1．（2022·重庆·模拟预测）估计的值在（   ） A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．8与9之间 【答案】D 【详解】解：， ∵，，且， ∴，即， ∴原式的值在与之间． 变式2．（25-26九年级上·河南新乡·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，故A错误． ∵， ∴B正确． ∵， ∴C错误． ∵ ∴D错误． 故选：B． 变式3．（2026·山西运城·一模）计算：______． 【答案】 【详解】解：． 变式4．（24-25八年级下·广东广州·月考）化简： （1）_____； （2）_____． 【答案】 ； ． 【详解】解：（1） ； 解：（2） ． 故答案为：（1）；（2）． 考点三 二次根式的除法 例1．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）计算：（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【详解】解：． 例2．（2026·江苏南京·一模）已知某物体的质量，其体积，则它的密度ρ为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：它的密度ρ为． 故选：B． 例3．（24-25八年级下·广东深圳·月考）化简的结果是__________． 【答案】 【详解】解： 由，根据题意，得， 故答案为：． 例4．（24-25八年级下福建厦门·月考）计算： （1）_____； （2）__________． 【答案】 【详解】（1）解：； （2）解：． 故答案为：，，． 变式1．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）计算：（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ 答案为． 故选：． 变式2．（25-26八年级上·甘肃白银·月考）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据直角三角形面积公式，另一条直角边长为， 故选：A． 变式3．（24-25八年级下·湖北襄阳·月考）已知三角形底边的长是，面积是，则此边上的高为__________． 【答案】 【详解】解：设此边上的高为， 由题意得：， 所以， 故答案为：． 变式4．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）若与互为相反数，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∵二次根式具有非负性， ∴只有当且时，和为， 解得： 将代入： ​． 故答案为：． 考点四 二次根式乘除法的混合运算 例1．（24-25八年级下·江西赣州·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 例2．（24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 例3．（24-25八年级下·河北秦皇岛·月考）计算： (1) (2)（） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 变式1．（24-25八年级下·山西运城·月考）运算能力计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 变式2．（24-25八年级下·湖南株洲·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3．（24-25八年级下·山东东营·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2)5 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $