第六章 平面向量及其应用 章末检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章章末检测 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知线段上A，B，C三点满足＝2，则这三点在线段上的位置关系是(　　) A .A B.B C.C D.D 2. 已知与的夹角为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列说法正确的是（    ） A．向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上 B．向量 与平行，则与的方向相同或相反 C．向量与向量是平行向量 D．单位向量都相等 4.设e1，e2为一组基底，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是(　　) A.2 B.－3 C.－2 D.3 5. 已知非零向量，使得成立的充分非必要条件是（  ）． A． B． C． D． 6.已知a＝(λ，2)，b＝(3，－5)，且a与b的夹角θ是钝角，则λ的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D. ∪ 7.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20 000 m，速度为900 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过80 s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(　　) 5 000(＋1)m 5 000(－1)m 5 000(3－)m 5 000(5－)m 8. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（　 　） A． B． C．-1 D． 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设a，b是两个非零向量，若b⊥(a－b)，则下列结论正确的是(　　) A.a·b＝|b|2 B.|a|＝|a－2b| C.a在b上的投影向量为b D.cos〈a，b〉＝ 10.设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（  ） A．和 B．和 C．和 D．和 11.在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则下列说法正确的是(　　) A.sin C＝ B.△ABC的面积为2 C.△ABC的外接圆直径是 D.△ABC的内切圆半径是 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知点M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则点P的坐标为　　　　.  13.设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的模为|a×b|＝|a|·|b|·sin θ.若a＝(－1，1)，b＝(0，2)，则|a×b|＝________. 14.已知正方形的边长为2，圆是正方形的内切圆，点在圆上，点在正方形的边上，则的最大值为__________. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知e1，e2是两个单位向量，其夹角为60°，a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2. (1)求|a|，|b|； (2)求a与b的夹角. 16.（15分）已知不共线． (1)若，求证：三点共线； (2)若向量与共线，求实数的值． 17（15分）．在中，内角所对的边分别为．已知，，，． (1)求和的值； (2)若为锐角，求的值． 18.(17分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A). (1)证明：2a2＝b2＋c2； (2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长. 19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）若，求B； （2）求的最小值. 第六章 单元测试参考答案 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的. 1.A 2.B 3.C 4.A 5.C 6.D　[因为a与b的夹角θ是钝角， 所以cos θ＝＝<0， 且2×3≠－5λ， 解得λ<且λ≠－.] 7.C　[如图，过点C作CD⊥AB于点D. 由题意知A＝30°，∠CBD＝75°，则∠ACB＝45°，AB＝900×80×＝20(km). 在△ABC中，由正弦定理， 得BC＝＝10(km). 在△BCD中，CD＝BCsin∠CBD＝BC·sin 75°＝10×sin 75°＝5＋5(km)， 所以山顶的海拔高度为 20 000－5 000(＋1)＝5 000(3－)(m).] 8.A 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.ABC　[因为b⊥(a－b)，所以b·(a－b)＝b·a－b2＝0， 所以a·b＝b2＝|b|2，所以选项A正确； 因为a·b＝|b|2，所以a2＝a2－4a·b＋4b2， 所以|a|＝|a－2b|，所以选项B正确； a在b上的投影向量为·b＝·b＝b，所以选项C正确； 由向量数量积的定义可知，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|b|2，所以cos〈a，b〉＝，所以选项D错误.] 10.CD 11.ABD　[因为cos ＝， 所以cos C＝2cos2－1 ＝2×－1＝， 所以sin C＝＝， S△ABC＝absin C＝×1×5×＝2， 故A，B正确； 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C， 得c2＝12＋52－2×1×5×＝20， 所以c＝2， 所以△ABC外接圆的直径2R＝＝＝，故C错误； 设△ABC的内切圆半径为r，则S△ABC＝(a＋b＋c)r，即(1＋5＋2)r＝2，所以r＝，故D正确.] 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(2,4)　设P(x,y),则=(10-x,-2-y),=(-2-x,7-y),由=-2⇒解得即P(2,4). 13.2　[由a＝(－1，1)，b＝(0，2)， 得|a|＝，|b|＝2，a·b＝－1×0＋1×2＝2， 则cos θ＝＝＝. 又θ∈[0，π]，所以θ＝，则sin θ＝. 又|a×b|＝|a|·|b|·sin θ， 所以|a×b|＝×2×＝2.] 14. 四、解答题：本题共5分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解　(1)因为e1，e2是两个单位向量，其夹角为60°，则|e1|＝1，|e2|＝1，e1·e2＝. 又a2＝(2e1＋e2)2＝4e＋4e1·e2＋e＝7， 所以|a|＝，同理b2＝(－3e1＋2e2)2＝9e－12e1·e2＋4e＝7， 所以|b|＝. (2)由题得，a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2) ＝－6e＋e1·e2＋2e＝－. 设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝－. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝， 则a与b的夹角为π. 16.（13分）(1)证明:CD (→)=-a (→)+b (→)，AC (→)=AB (→)+BC (→)=3a (→)-2b (→)=-3(-a (→)+b (→))则有AC (→)=-3CD (→)，可得AC (→)//CD (→)且C为公共点，所以A.C，D三点共线. (2)向量b (→)-ta (→)与a (→)-b (→)共线，则存在唯一实数λ，使得b (→)-ta (→)=λ(a (→)-b (→)) 可得（+t）a (→)-（λ+1）b (→)=0,解得t= 17．(1)，或 (2) 【分析】（1）由正弦定理得，再分类讨论为锐角、钝角结合两角和与差的正弦公式求解； （2）根据（1）的结论并结合两角和与差的正弦公式及倍角公式即可求解. 【详解】（1）根据题意， 由正弦定理得，即， ①若为锐角，则， 因为，且， 所以 因为，， 所以锐角，所以， 所以， 由正弦定理得， 所以． ②若为钝角，则， 因为，， 所以锐角，所以， 所以． 由正弦定理得， 所以． （2）由（1）及，得， 所以， ． 故． 18.(1)证明　法一　 由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)， 可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B ＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A， 结合正弦定理＝＝， 可得accos B－bccos A＝bccos A－abcos C， 即accos B＋abcos C＝2bccos A(*). 由余弦定理可得accos B＝， abcos C＝， 2bccos A＝b2＋c2－a2， 得上述三式代入(*)式整理， 得2a2＝b2＋c2. 法二　因为A＋B＋C＝π， 所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B) ＝sin2Acos2B－cos2Asin2B ＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B ＝sin2A－sin2B， 同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A. 又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)， 所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A， 即2sin2 A＝sin2 B＋sin2C， 故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2. (2)解　由(1)及a2＝b2＋c2－2bccos A得， a2＝2bccos A，所以2bc＝31. 因为b2＋c2＝2a2＝50， 所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81， 得b＋c＝9， 所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14. 20.答案：（1） （2） 解析：（1）因为， 所以， 即，即， 所以当时，. 又，所以. （2）由（1）知，，所以，所以. 由正弦定理得 ， 当且仅当时取等号. 故的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $