2025-2026学年沪科版数学八年级下册第一次月考检测卷

2025-2026学年度沪科版数学八年级下册第一次月考检测卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 2．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点是，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 4．已知点在第四象限，若m，n分别为一元二次方程的两根之和与两根之积，则这个一元二次方程可以是（   ） A． B． C． D． 5．若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 6．已知，是方程的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 8．实数a，b在数轴上的位置如图，则化简的结果是（  ） A．b B．b－2a C．2a－b D．2a+b 9．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，则（   ） A．表示每株椽的价钱 B．表示剩余椽的数量 C．方程中等号的左侧表示“数量单价”，右侧表示“总价” D．表示所有椽的运费 10．已知整式，其中n为自然数，，，，…，为正整数，且．定义整式M的“权值”为，下列说法： ①整式M不可能是单项式； ②当时，满足条件的所有整式M权值最小值为12； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有7个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．计算：______． 12．一元二次方程化为一般式为___________． 13．如图是嘉嘉和某AI软件的部分对话截图，则该AI软件最终给出的x的值为________ 14．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时， 当且仅当，即时，取得最小值，最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则当______时，有最小值，最小值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15．计算： 16．解下列一元二次方程 (1) (2) 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当取满足条件的最大整数值时，求方程的根． 18．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19．阅读下列材料，然后回答问题： 有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫作有理化因式． 例如：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是． 分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果．二次根式中分母有根号，通常在分子、分母上同乘一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． (1)填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． (2)把下列式子分母有理化： (3)化简：． 20．解一元二次方程时，小马和小虎两位同学的解法如下： 小马的解法： ① ② ③ ④ ⑤ 小虎的解法： ① ② ∴原方程无实数根③ (1)小马的解法从第__________步开始错：小虎的解法从第__________步开始错： (2)请你用喜欢的方法求解此方程， 六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 21．定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 七、（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 22．项目式学习 项目主题 汽车销售公司怎么做？既可让利给顾客，又可达到预期的利润目标！ 素材1 某汽车销售公司新进一款新能源汽车，已知进价为16万元/辆，指导售价为36万元/辆． 素材2 市场调查发现，该款汽车按指导售价36万元/辆销售时，平均每周可卖出6辆；售价每降低2万元，平均每周可多售出4辆． 措施目标 该公司决定通过降价增加销量，并最大让利给顾客． (1)设该汽车售价降低万元/辆，平均每周的销量为辆，写出与的关系式． (2)若该公司销售该款汽车，一周利润为252万元，求该款汽车的实际售价． 八、（本大题共1小题，每小题14分，共14分） 23．如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点N到达点A时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形的面积？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D D A C A C D 1．C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边整理为完全平方式即可得到结果． 【详解】解： ∵原方程为， ∴移项得， ∴， ∴整理得 ． 2．A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题关键，根据二次项系数非零列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 3．A 【分析】利用关于x轴对称的点的坐标特征“关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数”得到点P的横纵坐标，再运用平方差公式计算的值即可． 【详解】解：∵点关于轴的对称点是， ∴，， ∴， 由平方差公式得． 4．D 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∵m，n分别为一元二次方程的两根之和与两根之积， ∴A、，，不符合题意； B、，，不符合题意； C、，，不符合题意； D、，，符合题意； 5．D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，即可解答．解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， 又把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是． 故选：D． 6．A 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求的代数式降次变形，再结合根与系数的关系得到两根乘积，代入计算即可． 【详解】，是方程的两个根， 由方程根的定义得，， 由一元二次方程根与系数的关系得， ， 又， ， 由，得， ， 原式， 将代入得：原式． 7．C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，先根据二次根式有意义的条件求出，从而可得，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：， ∴ ， ∴， 故选：C． 8．A 【分析】先根据数轴确定a，b的范围，再根据二次根式的性质进行化简，即可解答． 【详解】解：由数轴可得：， ∴， ． 9．C 【分析】根据题意，原方程中，表示原计划购买椽的总数量，一株椽的价钱为，少拿一株后剩下株，剩下椽的总运费为，且题意说明剩下的运费恰好等于一株椽的价钱，得等式，整理得，与题目给出的方程一致，据此即可判断答案． 【详解】解：A选项，表示原购买椽的总数量，不是每株椽的价钱选项，A错误； B选项，剩余椽的数量为，是原总数量，选项B错误； C选项，x为原计划购买椽的总数量，为一株椽的价钱，因此方程左侧表示“数量单价”，右侧为总价，所以选项C正确； D选项，是少拿一株后，剩下椽的总运费，不是所有椽的运费，选项D错误． 10．D 【分析】①若符合条件的M是单项式，分为M是常数单项式，和M是次数的单项式，则其余系数为0，分别判断即可；②当时，根据题意得均为正整数，且，每个数至少为1，四个数最小和为4，剩余2需分配给四个数，要使M的权值最小，需将额外的2分配给权系数最小的，得出，，据此求解即可；③二次三项式即，为正整数，，则，根据当x取任意实数时，整式M的值一定为非负数，得出，再分情况判断即可． 【详解】解：①若符合条件的M是单项式， 若M是常数单项式，则，∵题目要求n为正整数，不符合， 若M是次数的单项式，则其余系数为0，∵题目要求所有系数为正整数，0不符合要求， ∴不存在符合条件的单项式，①正确； ②当时，∵均为正整数，且，每个数至少为1， ∴四个数最小和为4，剩余2需分配给四个数， 整式M的权值，要使M的权值最小，需将额外的2分配给权系数最小的， 此时，，M的权值，其余分配方式的权值均大于12， ∴权值最小值为12，②正确； ③二次三项式即，为正整数，， ∴， ∵当x取任意实数时，整式M的值一定为非负数，， ∴， i、当时：若，则不符合； 若，则不符合；若，则符合；若，则符合；共2个符合； ii、当时：若，则不符合；若，则符合；若，则符合；共2个符合； iii、当时：若，则符合；若，则符合；共2个符合； iv、当时：若，则符合； 综上，符合条件的M共7个，③正确． 11． 【分析】先利用完全平方公式展开计算第一项，再根据负整数指数幂的运算法则计算第二项，最后合并同类项得到结果． 【详解】解：原式 ． 12． 【详解】解：， 展开完全平方得， 移项、合并同类项得． 13．1 【分析】设这个数是，根据题意建立一元二次方程，求解即可得． 【详解】解：设这个数是， 由题意得：， 整理得：， 解得， 即这个数是1． 14． 【分析】本题考查了二次根式的运算和平方的非负性，将给定分式化简为，仿照材料中的例子，利用配方法求的最小值，进而得到整个表达式的最小值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 当且仅当，即时最小值，最小值为， 则， 那么，， 故当时，原式取得最小值． 15． 【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，二次根式，再计算加减即可． 【详解】解： ． 16．(1)，； (2)，． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得，； （2）解：， ， 或， 解得，． 17．(1)； (2)， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用以及解一元二次方程．对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得出判别式大于，列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围； （2）先根据（1）的结果找出满足条件的最大整数，再将其代入原方程，利用因式分解法求解方程的根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，得； （2）解：由（1）知，则满足条件的最大整数值为， 此时原方程为， 因式分解得， ∴或， 解得，． 18．(1) (2)元 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． （2）解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 19．(1)， (2) (3)2024 【分析】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）把的分子、分母同时乘以，进行化简即可； （3）先进行分母有理化，再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是， ， 的有理化因式是； （2）解： ； （3）解：∵ ∴原式 ． 20．(1)②，② (2)，（解法不唯一，方法过程步骤正确即可） 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）需分别检查小马和小虎的解法步骤，找出错误起始步骤即可； （2）用因式分解法求解方程即可（解法不唯一，方法过程步骤正确即可）． 【详解】（1）解：由题意知，小马的解法从第②步开始错，他等式的右边少加了1； 小虎的解法从第②步开始错，计算结果应该是16， 故答案为：②，②． （2）解：， ， 则或， ∴，． 21．(1)是 (2)， (3)代数式的最小值为 【分析】（1）根据“和谐方程”定义进行判断即可； （2）根据“和谐方程”定义得出，求出b的值，再解方程即可； （3）根据“和谐方程”定义得出，把代入得出根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵方程中，，， ∴， ∴方程是“和谐方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， 解得：， 解方程， 解得； （3）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， ∴， ∴ ， ， ， 即代数式的最小值为． 22．(1) (2)该款汽车的实际售价为万元/辆． 【分析】（1）根据汽车按指导售价36万元/辆销售时，平均每周可卖出6辆；售价每降低2万元，平均每周可多售出4辆即可列出关系式； （2）根据一周的销售利润一周的销售量（销售价进价）列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得，即， 解得：或， 若，则售价为万元； 若，则售价为万元 该公司决定通过降价增加销量，并最大让利给顾客， ， 则（万元）， 答：该款汽车的实际售价为万元/辆． 23．(1)经过1秒时，长为； (2)经过秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长． （1）设经过x秒，的长为，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出，，根据勾股定理得到，再用x表示出 ，，得到关于x的一元二次方程求解； （2）设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设经过x秒，的长为， ∵当点N到达点A时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，（舍去）， 答：经过1秒时，长为； （2）解：设经过t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点N到达点A时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过秒或2秒，面积等于矩形面积的． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $