函数零点与方程根在解题中的应用策略 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

函数零点与方程根在解题中的应用策略 函数是高中数学的核心内容，贯穿于整个高中阶段学习的始末，是每年高考考查的重点和热点，因此其重要性不言而喻.函数的零点与方程的根、用二分法求方程的近似解是新课标教材的特色板块内容之一；其中利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点(方程是否存在根)进行判定或利用零点(方程实根)的存在情况求有关参数的范围，是近几年高考的热点.为帮助同学们更好地学习理解及今后备战高考，本文结合典型试题透析函数与方程在解题中的应用，希望对莘莘学子的学习掌握有所参考和借鉴. 类型一、函数零点(或方程的根)所在区间的判定与求解 例1.(1)已知函数,则的所有零点所在区间为 ( ) A. B. C. D. (2)方程的解所在的区间为 ( ) A. B. C. D. 【答案】(1)A；(2)C. 解析 (1)由于,且函数的图象在上是连续曲线.其图象的对称轴方程是,又,,即得且,从而知函数在区间内与区间内各有一个零点,而二次函数最多有个零点,故的所有零点在区间内.故选A. (2)设函数,则函数在定义域上是增函数且图象是连续曲线.又,,由零点的存在性定理知函数的唯一零点在区间内,即方程的唯一解在区间内.故选C. 【方法点拨】令函数,若能直接求出其解，则该方程的解就是函数的零点.利用函数零点存在性定理解题,不仅要求函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且需满足,同时还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定零点所在区间和零点个数；特别注意:若要判断一个函数在某个区间上不存在零点时,不能完全依赖函数的零点存在性定理,而要综合利用函数性质进行分析判断. 类型二、与函数零点存在情况或个数有关的问题 例2.已知函数，则的零点个数是 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 解析 当时,令,即；设和,在同一坐标系中作出上述两函数的图象,由图可知两者图象有两个不同交点，即当时,有两个零点.当时，由,解得,即当时,有一个零点.综上可知有三个零点.故选C. 【方法点拨】在研究与讨论方程解和函数零点个数的问题时,求解的策略一般有两种:一是利用因式分解与求根公式将方程的解或函数的零点一一求出；二是利用函数零点的存在性定理,结合函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图象等相关知识判断函数零点的个数. 类型三、利用数形结合求解 例3.(1)设函数是定义在上的奇函数,且当时，有,则的零点个数为 ( ) A. B. C. D. (2)关于方程,下列说法正确的是 ( ) A.方程有两个不相等的负实数根 B.方程有两个不相等的正实数根 C.方程有一负实数根和一零根 D.方程有一正实数根和一零根 【答案】(1)B；(2)C 解析 (1)因为函数是定义在上的奇函数,则有,即是的一个零点.当时,令,即；在同一坐标系中作出函数和的图象如图所示,易知两个函数图象有一个交点，则有一个零点.又根据对称性知，当时,也有一个零点.综上所述,函数的零点有个.故选B. (2)将方程,化为；设函数是一个指数函数,函数为二次函数,由于方程的根即为两函数图象交点的横坐标.在同一直角坐标系中作出两函数的图象如图所示,结合图形可知两函数的图象有两个交点,其中一个交点为,它的横坐标是；另一个交点的横坐标小于.故方程有一负实数根和一零根.故选C. 【方法点拨】利用数形结合法求零点个数的关键是正确作出函数的大致图象，对于一般连续函数零点的判断问题,不仅要判断在区间上上是否有,还需考虑函数的性质(如单调性,奇偶性等)；若函数的图象不易作出时,需令 ,即,将的零点个数问题转化为两函数和图象的交点个数问题. 类型四、复合函数零点个数的求解 例4.若函数,则函数的零点个数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 解析 令,由可得:当时,由,解得；当时,由,解得；于是得或.当时,由且,或由且,解得或；当时,由且,或由且,解得或.综合得函数的零点有四个.故选C. 【方法点拨】要求复合函数的零点个数问题,可先令,求出中的值；再根据的图象特点,得出每一个函数值与方程中几个相对应,从而可确定复合函数的零点个数；要注意分段函数的零点求解,特别在利用数形结合处理问题时，要重视分段的边界点属于哪一区间上对应图象上的点. 类型五、二分法求函数零点或方程近似解的应用 例5.在用二分法求连续函数的一个正实数零点时,算得 ，则函数的一个精确到的正实数零点的近似值是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 解析 由,则函数的零点的初始区间可选为.又，且，所以零点在区间上,并由 ,且该区间的左、右端点值精确到所取的近似值都是,所以就是所求函数的一个符合要求的正实数零点的近似值.故选B. 【方法点拨】在求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.精确度为是指在计算过程中处在某个区间状态时,若区间长度，即认为已达到所要求的精确度,可停止计算；否则应继续计算，直到满足为止. 类型六、利用函数零点的情况求参数的取值范围 例6.已知函数,若函数有三个不同的零点,则实数的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 解析 由于函数有三个不同的零点,等价于方程有三个不同的根,等价于函数与的图像有三个不同的交点.在同一直角坐标系中作出两函数与的图像如图所示,结合图形观察两函数交点的个数,易得当时,两函数与的图像有三个不同的交点.故满足题意的实数的取值范围为.故选C. 【方法点拨】解决这类问题往往有两种策略：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数范围；将参数分离出来,转化成求函数值域问题加以解决.但在求解操作中,往往需将函数解析式变形拆分成两个易作出图象的函数,在坐标系中作出两函数的图象,通过数形结合来达到求解目的. 针对训练题 1.(1)已知函数,则函数的零点所在区间是 ( ) A. B. C. D. (2)设是方程的解，则所在区间为 ( ) A. B. C. D. 2.(1)已知方程是,则方程的负实数根的个数为 ( ) A. B. C. D. (2)已知函数的图象在区间上是连续不断的曲线,有如下的对应值表: 那么函数在区间上的零点个数至少有 ( ) A. B. C. D. 3.已知函数,则函数的零点个数是 ( ) A. B. C. D. 4.关于的方程的不相同实数根的个数是 ( ) A. B. C. D. 5.某同学在借助计算器求“方程的近似解(精确到)”时,设 ,算得；在以下过程中，他用“二分法”又取了个的值,计算了其函数值的正负，并得出判断:方程的近似解是.那么在操作中他所取的的个值依次为 ( ) A. B. C. D. 6.已知二次函数在区间内存在零点,则实数的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 针对训练题答案与解析 1.解:(1)D 易知函数的图象在上是连续曲线,且在上是增函数.又,,得,故由函数的零点存在性定理可知的零点所在区间是. (2)C 设函数；因为，所以有，从而知. 2.解:(1)C 设函数,显然函数的图象在上是连续曲线；又,,即,从而知函数在区间内有零点.又因为函数和在区间上均是增函数,知函数在区间上是增函数,则函数在区间内只有一个零点.故方程只有一个负实数根. (2)B 由题中的对应值表知,,则函数在这三个区间上均有零点,故函数在区间上至少有个零点. 3.解:B 法1:令,得方程为,即；令函数和,则函数零点的个数即为两函数图象交点的个数.在同一直角坐标系中作出两函数的图象如图所示,结合图形可知两函数的图象只有一个交点.从而知方程有一个根,即函数有一个零点. 法2:由于函数在定义域上的图象是连续曲线,又因为,,即,由函数零点的存在性定理知函数在区间内有零点,且在上是增函数,故函数只有一个零点. 4.解:B 可将视为一个整体,设,则方程化为,解得或.再由，解得；或,解得.综上知原方程有个不相同的实数根. 5.解:A 因初始区间是,且方程的近似解是,所以用二分法操作后的四个区间依次为；从而知在操作中他所取的的个值依次为.故选A. 6.解:D 由于函数,则方程的根为或.依题意,只需或,解得或,即得.故实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $