第二次学情自测提升卷（考试范围：第9、10章）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册.

2025-2026学年八年级数学下学期学情自测卷 （考试范围：第9～10章.因式分解、分式） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．与的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 3．下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 7．观察下列等式：，，，…；根据其蕴含的规律可得（   ） A． B． C． D． 8．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 9．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 10．若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知，，求_______ ． 12．若关于的分式方程无解，则的值为___________． 13．某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 14．某种商品，原来每盒标价为元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买_____盒． 15．某班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为____________ 16．已知因式分解为，其中，，均为整数，则的值为______． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1) (2) (3) 18．因式分解 (1) (2) (3) 19．解下列分式方程： (1) (2) 20．先化简，再求值：，从0，1，2中选一个合适的数作为的值代入求值． 21．在“一带一路”农业技术合作项目中，某国引进中国的甲、乙两种新型沼气池技术．已知甲种技术处理20吨农业有机垃圾所用的时间与乙种技术处理25吨农业有机垃圾所用的时间相同，且甲种技术每小时比乙种技术少处理2吨农业有机垃圾． (1)求甲、乙两种技术每小时各处理多少吨农业有机垃圾； (2)该国计划新建甲、乙两种技术沼气池共12个，要求1小时内完成不低于100吨的农业有机垃圾处理任务，且甲种技术沼气池的数量不超过乙种技术沼气池数量的2倍，那么新建乙种技术沼气池至少多少个？ 22．已知关于的方程． (1)若，求出方程的解； (2)若方程无解，求的值． 23．按要求解答下列各题： (1)因式分解：． (2)已知，，求的值． (3)利用简单方法计算：． 24．如图①，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)“丰收1号”小麦的试验田单位面积产量为________，“丰收2号”小麦的试验田单位面积产量为________，________小麦的试验田单位面积产量高； (2)在试验田四周修建隔离网（图②中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期学情自测卷 （考试范围：第9～10章.因式分解、分式） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义（将多项式化为几个整式乘积的形式），结合因式分解的常用方法逐项判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解， ∴A错误； B、∵，与不相等， ∴B错误； C、∵等式右侧不是整式，不符合因式分解要求， ∴C错误； D、∵， ∴， ∴D正确． 2．与的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式最大公因式的求解，需分别确定系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，再将它们相乘得到最大公因式. 【详解】解：根据最大公因式的确定方法：①系数取最大公因数，②字母取公共的字母，③相同字母指数取最小的， ∴与的最大公因式是． 故选：C． 3．下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先明确能用平方差公式分解因式的条件：多项式为两项，两项符号相反，且每一项都可化为平方的形式，再逐一判断即可得出符合条件的个数． 【详解】解：①，两项同号，不符合，不能分解； ②，符合条件，能分解； ③，符合条件，能分解； ④不是多项式，无法进行因式分解； ⑤，符合条件，能分解； 综上符合条件的共有3个． 4．若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解： ， 又∵， ∴多项式对应项系数相等， 得， 解得， 代入得． 5．分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件，利用分式分母不为零列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不等于0， ∴分式的分母应满足， 解得， 因此答案选B． 6．能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式有意义的条件． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变．因此需确保分母不为零，从而确定k的取值范围． 【详解】解：若，则分子和分母可同时约去，得到，此时等式成立． 若，分母变为，分式无意义， 因此，k的取值范围是， 故选：B． 7．观察下列等式：，，，…；根据其蕴含的规律可得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据递推关系计算前几项，找出数列的循环周期，再计算除以周期的结果，对应得到所求项的值． 【详解】解：∵， ∴ 以为循环节3次一循环，周期为 ∵， ∴． 8．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除运算，提公因式与完全平方公式的运算，将分式的除法变为分式的乘法是解题的关键．先根据提公因式与完全平方公式计算，再将除法变为乘法约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 9．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据分式方程解为正数、分式有意义的条件确定x的限制，再解分式方程得到x关于m的表达式，代入限制即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为0， ∴且， 即且， ， 去分母得：， 整理得， ∵且， ∴且， 解得：且． 10．若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式值为零需同时满足两个条件，分子为零，分母不为零，分别计算两个条件即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴分子，且分母， 由得，即， 由得， 综上，． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知，，求_______ ． 【答案】 【分析】先对已知分式等式通分变形，结合求出的值，再将所求多项式因式分解，整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 12．若关于的分式方程无解，则的值为___________． 【答案】或 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解a的值：一种是整理后整式方程中x的系数为0，整式方程无解，此时原分式方程无解；另一种是整式方程有解，但解为原分式方程的增根，此时原分式方程无解． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 当，即时，方程左边为，右边为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意． 当时，若原分式方程无解，则整式方程的解为原分式方程的增根． 分式方程的增根使最简公分母为0，即，得， 将代入，得， 解得． 综上，的值为或． 13．某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 【答案】 【分析】根据题意，然后根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：分式约分后得到最简分式， ∴， ∵， ∴． 14．某种商品，原来每盒标价为元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买_____盒． 【答案】 【分析】本题考查分式运算的应用． 通过计算现在购买数量与原来购买数量的差，得到多买的盒数． 【详解】解：原来每盒售价元，500元可购买盒； 现在每盒售价元，500元可购买盒． 现在比原来多买盒． 故答案为：． 15．某班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为____________ 【答案】 【分析】设慢车速度为，则快车速度为，根据“慢车行驶全程的时间 - 快车行驶全程的时间 = 慢车先行的时间”这一等量关系列方程． 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为. ∴慢车行驶全程的时间为，快车行驶全程的时间为. 由此可列方程： 16．已知因式分解为，其中，，均为整数，则的值为______． 【答案】11 【分析】先通过变形将式子转化为含有相同公因式的形式，提取公因式后整理化简，再与给定的因式分解形式对比确定a、b、c的取值，最后代入代数式计算的值． 【详解】解： ， 对比，可得，，， 则． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减计算，零指数幂，负整数指数幂等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加法即可得到答案； （2）根据分式的加法计算法则求解即可； （3）先通分，再把分子合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18．因式分解 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因数2，然后根据平方差公式进行因式分解即可； （3）根据分组分解法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 19．解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】将两个分式方程分别去分母转化为整式方程，求出整式方程的解后，再检验，即可得到分式方程的最终结果． 【详解】（1）解：， 去分母得， 解得， 经检验：是原方程的解， 所以，分式方程的解为：； （2）解：， 去分母得， 解得， 经检验，当时，， 所以，是增根， 因此原分式方程无解． 20．先化简，再求值：，从0，1，2中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，1 【分析】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定x的值，进而代值计算即可得到答案． 【详解】解： ． 由题可知，，， ∵从0，1，2中选一个合适的数作为的值 ∴，原式． 21．在“一带一路”农业技术合作项目中，某国引进中国的甲、乙两种新型沼气池技术．已知甲种技术处理20吨农业有机垃圾所用的时间与乙种技术处理25吨农业有机垃圾所用的时间相同，且甲种技术每小时比乙种技术少处理2吨农业有机垃圾． (1)求甲、乙两种技术每小时各处理多少吨农业有机垃圾； (2)该国计划新建甲、乙两种技术沼气池共12个，要求1小时内完成不低于100吨的农业有机垃圾处理任务，且甲种技术沼气池的数量不超过乙种技术沼气池数量的2倍，那么新建乙种技术沼气池至少多少个？ 【答案】(1)甲种技术每小时处理8吨，乙种技术每小时处理10吨 (2)新建乙种技术沼气池至少4个 【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设甲种技术每小时处理吨农业有机垃圾，乙种技术每小时处理吨农业有机垃圾，根据等量关系列分式方程解答即可； （2）设新建甲种技术沼气池共个，则新建乙种技术沼气池共个，根据不等式关系列出一元一次不等式解答即可． 【详解】（1）解：设甲种技术每小时处理吨农业有机垃圾，乙种技术每小时处理吨农业有机垃圾，则， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：甲种技术每小时处理8吨，乙种技术每小时处理10吨． （2）设新建乙种技术沼气池共个，则新建甲种技术沼气池共个， ，． ，． 综上可知，． 答：新建乙种技术沼气池至少4个． 22．已知关于的方程． (1)若，求出方程的解； (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或2或 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键； （1）将代入原方程，再解方程即可； （2）根据方程无解，利用分式方程无解有两种情况：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是原方程的增根（使分母为零），首先将原方程化为整式方程，再讨论这些情况即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为，， 即， 两边同乘得，， 化简，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解； （2）解：去分母得， 整理得， 当时，整式方程无解，即时，原方程无解； 当时，，解得； 当时，，解得， 即或时，整式方程的解为2或1，此时分式方程无解， 综上所述，的值为或2或． 23．按要求解答下列各题： (1)因式分解：． (2)已知，，求的值． (3)利用简单方法计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，已知式子的值，求代数式的值，因式分解在有理数简算中的应用． （1）用提公因式法分解因式即可； （2）将转化为，代入已知式子的值，计算即可； （3）将原式转化为，计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ， ； （3）解： ． 24．如图①，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)“丰收1号”小麦的试验田单位面积产量为________，“丰收2号”小麦的试验田单位面积产量为________，________小麦的试验田单位面积产量高； (2)在试验田四周修建隔离网（图②中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值． 【答案】(1)，，“丰收2号” (2)12 【分析】本题主要考查了列代数式，解分式方程解决实际问题，解题的关键找准等量关系列出方程． （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据单价列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：“丰收1号”小麦的试验田单位面积产量为， “丰收2号”小麦的试验田单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴“丰收2号”小麦的试验田单位面积产量高， 故答案为：，，“丰收2号”； （2）解：“丰收1号”小麦试验田隔离网长度为， “丰收2号”小麦试验田隔离网长度为， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， ∴a的值是12． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $