6.3.1 二项式定理（培优教学课件）数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦二项式定理及展开式通项，通过回顾排列数、组合数公式，以问题链引导学生从(a+b)²、(a+b)³展开入手，逐步猜想推导(a+b)ⁿ的一般形式，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以计数原理为基础，通过问题驱动培养逻辑推理核心素养，典例与题型分层设计提升数学运算能力，结构清晰的知识梳理帮助学生构建体系，也为教师提供系统教学资源，助力高效教学与学生深度学习。

6.3 二项式定理 6.3.1 二项式定理 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册·高二 章节导读 两个计数原理 排列与组合 二项式定理 分步乘法计数原理 分类加法计数原理 两个计数原理的综合运用 二项式定理 二项式系数的性质 排列 排列数 组合 组合数 两个计数原理的简单运用 学 习 目 标 1 2 3 能运用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，提升逻辑推理的核心素养. 掌握二项式定理及二项展开式的通项 能运用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题，提升数学运算的核心素养. 知识回顾 1. 排列数公式： 2.组合数的公式: 上节课学习了排列数公式与组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上广泛应用的(a+b)n展开问题。 新知探究 问题1 我们知道， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3. (1) 观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律? (2) 根据你发现的规律，你能写出(a＋b)4的展开式吗? (3) 进一步地，你能写出(a＋b)n的展开式吗? (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 追问 上述两个等式的右侧有何特点？ 新知探究 (a＋b)2＝(a＋b)(a＋b) ＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b ＝a2＋2ab＋b2 从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，只要从一个(a＋b)中选一项(a或b),再从另一个(a＋b)中选一项(a或b)，相乘就得到展开式的一项. 于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有＝22项，而且每一项都是a2－k×bk (k＝0,1,2)的形式. 问题2 在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2 的展开式，如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？ 新知探究 下面我们再来分析一下形如a2－kbk 的同类项的个数. 项的形式是 ，我们从是否选b的角度来考虑: 这是由2个(a+b)都不选b得到的，因此a2出现的次数相当于从2个(a+b)中取0个b(即都取a)的组合数 ，即a2只有1个； 这是由1个(a+b)中选a,另1个(a+b)中选b得到的，由于b选定后，a的选法也随之确定，因此ab出现的次数相当于从2个(a+b)中取1个b的组合数 ，即ab共有2个； 这是由2个 (a+b) 中都选b得到的. 因此，b2出现的次数相当于从2个 (a+b) 中取2个b的组合数 ，即b2只有1个. 由以上分析可以得到： 新知探究 问题3 仿照上述过程，你能用计数原理写出(a＋b)3 ，(a＋b)4 的展开式吗？ a3 a2b a2b a2b b3 ab2 ab2 ab2 展开式共有： 项的形式： 由以上分析可以得到： 新知探究 a4 a3b ab3 b4 a2b2 项 都 不 取 b 取 一 个 b 取 两 个 b 取 三 个 b 取 四 个 b 系数 C4 0 C4 1 C4 2 C4 3 C4 4 问题3 仿照上述过程，你能用计数原理写出(a＋b)3 ，(a＋b)4 的展开式吗？ 新知探究 问题4 观察下面式子，你能对(a+b)n的展开式作出合理的猜想吗？ 新知探究 猜想： 下面我们对以上猜想的正确性予以说明： 每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，将它们相乘才能得到展开式的一项. 因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，(a+b)n的展开式共有2n项，其中每一项都是 的形式. 定义新知 二项展开式的通项: 二项式系数: 共有n＋1项 上述公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做 (a＋b)n 的二项展开式. 问题6 仔细观察式子，你发现了它有怎样的特征？ 1. 系数： 2. 项数： 3. 指数： ①各项的次数均为n ②各项里a的指数由n降到0，b的指数由0升到n. (展开式的第k+1项) 定义新知 对于二项式定理要注意以下几点： (1) 展开式的第k+1项(通项)为 其中 叫做二项式系数，它与第k+1项的系数是两个不同的概念 . (2) 它可表示二项展开式中的任意项,只要n与k确定,该项也随即确定； (3) 表示的是第k+1项，而不是第k项； (4) 中a, b的位置不能颠倒, 且它们指数和一定为n. (5) 二项式定理对任意的数a, b都成立，若设a＝1, b＝x，则有 典例分析 例1 求　　　的展开式． 解：根据二项式定理，可得 求　　　的展开式． 变式1： 典例分析 例2 (1)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项； (2)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项的系数； (3)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项的二项式系数. 解：(1) 由通项公式，可得 (2) (1＋2x)7 的展开式的第4项的系数为280. (3) (1＋2x)7 的展开式的第4项的二项式系数为 . 典例分析 求 的展开式中 x2 的系数. 例3 解： 由通项公式，可得 巩固练习 课本P31 解： 解： 由通项公式，可得 巩固练习 课本P31 解： 由通项公式，可得 巩固练习 课本P31 解： 由通项公式，可得 解： 含x4的项是由5个括号中任意4个括号各取出1个x，剩余1个括号取出常数相乘得到的，故含x4的项的系数是 二项式定理的正用与逆用 题型一 题型探究 【例1】 求 的展开式； [解析] 解法一： . 解法二： . 二项式定理的正用与逆用 题型一 题型探究 【例2】化简: . [解析] 原式 . 二项式定理的正用与逆用 题型一 题型探究 解题感悟 运用二项式定理的解题策略 （1）正用：求形式简单的二项展开式时可直接展开，对较繁杂的式子， 应先化简再展开.展开时注意前一项是降幂排列，后一项是升幂排列， 形如 的展开式中会出现正负项间隔的情况. （2）逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，要熟悉公式的特点、项 数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 求二项式系数与项的系数 题型二 题型探究 【例3】 在 的展开式中，求： （1）第6项的二项式系数； [解析] 由二项式定理及展开式的通项可得， 第6项的二项式系数为 . （2）含 的项的系数. [解析] 由题意可知，， 故含 的项的系数为9. 求二项式系数与项的系数 题型二 题型探究 【例4】(1) 的展开式的中间一项的二项式系数为( ) B A. 15 B. 20 C. D. [解析] 的展开式共7项，中间一项是第4项， 其二项式系数是 . (2)的展开式中， 的系数是( ) B A. B. 840 C. 210 D. [解析] 的展开式的通项为， ， 1，2， ，10，故展开式中的系数为 求二项式系数与项的系数 题型二 题型探究 提分笔记 二项式系数与项的系数的区别 （1）二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，即所 有指数为的二项式的展开式中，第项的二项式系数都为 （2）项的系数与二项式的指数及项数均有关，即某项的系数是该项包 含符号的数字部分. 求展开式中的特定项 题型三 题型探究 【例5】 已知二项式 . [解析] 的展开式的通项为 . (1)展开式的第3项为 ， 故的展开式的第3项为 . （1）求展开式的第3项； 求展开式中的特定项 题型三 题型探究 【例5】 已知二项式 . （2）求展开式中的常数项； [解析] 令，得 ， 所以展开式中的常数项为 . 故的展开式中的常数项为 . 求展开式中的特定项 题型三 题型探究 （3）求展开式中的所有有理项. [解析] 由题意可知，则 的所有可能取值为2，5，8， 所以第3项，第6项，第9项为有理项，分别为 ， ， . 故的展开式中的所有有理项为， ， . 【例5】 已知二项式 . 求展开式中的特定项 题型三 题型探究 提分笔记 1.求二项展开式的特定项的常见题型 （1）求第项， ； （2）求含的项（或 的项）； （3）求常数项； （4）求有理项. 求展开式中的特定项 题型三 题型探究 提分笔记 2.求二项展开式的特定项的常用方法 （1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）； （2）对于有理项，一般是先写出通项，再找出字母的指数恰好都是整 数的项.解这类问题必须合并通项中同一字母的指数，根据具体要求， 令其属于整数集，再根据数的整除性来求解； （3）对于二项展开式中的整式项，其通项中同一字母的指数应是非负 整数，求解方式与求有理项一致. 求展开式中的参数 题型四 题型探究 【例6】 已知 的展开式的前三项的二项式系数之和为79. （1）求 的值； [解析] 二项式的展开式的前三项的二项式系数依次为 ， ， ，因为展开式中的前三项的二项式系数之和等于79， 所以 ， 即 ， 解得或 （舍去）. 求展开式中的参数 题型四 题型探究 【例6】 已知 的展开式的前三项的二项式系数之和为79. （2）若展开式中的常数项为，求实数 的值. [解析] 的展开式的通项为 ，，1， ，12. 令，得 ， 所以展开式中的常数项为 ， 所以，整理得 ， 解得 . 求展开式中的参数 题型四 题型探究 提分笔记 利用二项式定理求参数的步骤 （1）先利用二项展开式的通项写出相关项； （2）再根据题意列出关于参数的方程； （3）最后解方程求出参数. 课堂达标 1.在的展开式中，含 的项的系数是( ) D A. B. C. D. [解析] 含的项是，其系数为 . 课堂达标 2. 的展开式中的常数项为( ) B A. B. C. D. [解析] 的展开式的通项为 ， 令，得，所以 的展开式中的常数项为 . 课堂达标 3.的展开式共有七项，且常数项为20，则 ( ) B A. 1 B. C. 2 D. [解析] 因为的展开式共有七项，所以 ， 所以展开式的通项为 ， 令，解得，故常数项为 ， 解得 . 课堂达标 4. 化简： ____. [解析] 原式 . 课堂小结 1.二项式定理 2.二项展开式的通项 3.二项式系数： 感谢聆听! $