第三单元 圆柱和圆锥（期中复习讲义）培优版（导图+15个考点真题讲练+提优练 共65题）-2025-2026学年人教版数学六年级下册专项复习精讲练

2025-2026学年人教版数学六年级下册期中专项复习精讲练【重点突破】 第三单元 圆柱和圆锥【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+15个考点讲练+真题提优练 共65题】 （解析版） 知识点一：圆柱的认识和特征 1. 圆柱的形成 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱，生活中常见的圆柱形物体有水杯、固体胶棒、卷纸、树桩等等。 2. 圆柱的特征 （1）圆柱是由两个圆面和一个曲面组成的，两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。 （2）圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高，任意一个圆柱都有无数条高。 知识点二：圆柱的侧面展开图 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点三：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点四：圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点五：圆柱的旋转构成法 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点六：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点七：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点八：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点九：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十：圆锥的认识和特征 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点十一：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点十二：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 考点讲练一 圆柱的认识及特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级上·四川内江·期中）用一张长25.12cm，宽12.56cm的长方形纸围成一个圆柱，有两种围法。一种围法圆柱的高是( )cm，底面周长是( )cm；另一种围法圆柱的高是( )cm，底面积是( )cm2。 【答案】 12.56 25.12 25.12 12.56 【思路引导】根据题意，用一张长方形纸围成一个圆柱，有两种围法： 围法一：把长方形的长作为圆柱的底面周长，宽作为圆柱的高； 围法二：把长方形的宽作为圆柱的底面周长，长作为圆柱的高；根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱的底面积。 【完整解答】围法一：圆柱的高是12.56cm，底面周长是25.12cm； 围法二：圆柱的高是25.12cm，底面周长是12.56cm； 圆柱的底面半径：12.56÷3.14÷2＝2（cm） 圆柱的底面积： 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 综上可知，用一张长25.12cm，宽12.56cm的长方形纸围成一个圆柱，有两种围法。一种围法圆柱的高是（12.56）cm，底面周长是（25.12）cm；另一种围法圆柱的高是（25.12）cm，底面积是（12.56）cm2。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列图形中，（    ）是圆柱的展开图。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】圆柱的侧面展开图是一个长方形和两个圆，长方形的长等于圆柱的底面周长，据此根据圆的周长公式逐项计算判断。 【完整解答】A．，，该图形不是圆柱的展开图。 B．，，该图形不是圆柱的展开图。 C．，，该图形是圆柱的展开图。 故答案为：C 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）生活中，人们经常需要把同样大小的圆柱管捆扎成一排（横截面如图）。每个圆柱管的外直径都是8厘米，打结处绳子的长度不计。    (1)捆扎3个圆柱管一圈需要( )厘米长的绳子。 (2)捆扎n个圆柱管一圈需要( )厘米长的绳子。 【答案】(1)57.12 (2)（9.12＋16n） 【思路引导】（1）通过观察图形可知，捆1个圆柱管时，绳子的长度就是底面圆的周长；2个圆柱管时，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（2－1）×2个圆的直径；3个圆柱管时，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（3－1）×2个圆的直径； （2）同理：每增加一个圆柱管，就增加2个圆的直径，那么n个圆柱体，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（n－1）×2个圆的直径。 【完整解答】（1）3.14×8＋（3－1）×2×8 ＝25.12＋2×2×8 ＝25.12＋4×8 ＝25.12＋32 ＝57.12（厘米） 综上所述：捆扎3个圆柱管一圈需要57.12厘米长的绳子。 （2）3.14×8＋（n－1）×2×8 ＝25.12＋（n－1）×16 ＝25.12＋16n－16 ＝（9.12＋16n）厘米 综上所述：捆扎n个圆柱管一圈需要（9.12＋16n）厘米长的绳子。 【考点剖析】解决本题的关键是观察分析得到圆柱管的放置规律，以及圆周长的计算方法，一个圆柱体时绳子的长度就是圆的周长，以后每增加一个圆柱体，绳子的长度就会增加圆的直径的2倍。 考点讲练二 圆柱的展开图 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北廊坊·期中）丫丫将一张长方形纸片（如图）沿两边卷成不同的圆柱形纸筒（接口处不重叠，无缝隙），并给两个纸筒都配上对应的底面，下面说法正确的是（    ）。 A．甲圆柱的表面积比乙大 B．乙圆柱的表面积比甲大 C．甲、乙两个圆柱的表面积相等 D．无法确定两个圆柱表面积的大小关系 【答案】A 【思路引导】圆柱的表面积由侧面积和两个底面积组成，公式为S表＝S侧＋2S底。 因为是用同一张长方形纸片卷成的两个圆柱形纸筒，所以长方形纸片的面积就是圆柱的侧面积，因此甲、乙两个圆柱的侧面积相等； 甲圆柱的底面周长相当于长方形的长，乙圆柱的底面周长相当于长方形的宽，因为长大于宽，所以甲圆柱的底面周长大于乙圆柱的底面周长，根据圆的周长公式C＝2πr可知甲的底面半径大于乙的底面半径，再根据圆的面积公式可知甲圆柱的底面积大于乙圆柱的底面积，所以甲圆柱的表面积比乙大。据此解答。 【完整解答】用同一张长方形纸片卷成的两个圆柱形纸筒，所以长方形纸片的面积就是圆柱的侧面积，因此甲、乙两个圆柱的侧面积相等； 因为甲圆柱的底面周长大，底面半径大，底面积大；乙圆柱的底面周长小，底面半径小，底面积小，而侧面积相同，S表＝S侧＋2S底，所以甲圆柱的表面积比乙大。 故答案为：A 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北保定·期中）工厂生产圆柱形通风管，一个圆柱形通风管的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（    ）。 A．1∶ B．1∶ C．∶1 【答案】A 【思路引导】 由图可知，圆柱的底面周长和高都等于正方形的边长，假设出正方形的边长，利用“”表示出圆柱的底面直径，最后根据比的意义化简求出底面直径与高的比，据此解答。 【完整解答】假设正方形的边长为，则圆柱的高为。 底面直径∶高 ＝∶ ＝∶ ＝（）∶（） ＝∶ ＝（）∶（） ＝1∶ 所以，这个圆柱的底面直径与高的比是1∶。 故答案为：A 【变式2】（难度：☆☆☆☆）如图一个圆柱的侧面展开图为一个正方形，沿着圆柱的高从底面的正中间切开，切面长方形的一个面积是100平方厘米，圆柱的底面积是( )平方厘米。 【答案】25 【思路引导】圆柱的侧面展开图为一个正方形，说明圆柱的底面周长＝高，设圆柱的底面半径是r厘米，则底面周长是2πr厘米，根据圆柱底面直径×圆柱的高＝切面长方形的面积，列出方程，求出r²，再根据圆的面积公式求出底面积即可。 【完整解答】解：设圆柱的底面半径是r厘米，则底面周长是2πr厘米。 2r×2πr ＝100 4πr²＝100 r²＝ π×＝25（平方厘米） 【考点剖析】关键是熟悉圆柱的特点，理解底面周长和高之间的关系，求出半径的平方是解答本题的关键。 考点讲练三 圆柱的侧面积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·四川遂宁·期中）高升讲堂大门口有2根底面直径为0.5米，高3米的圆柱形柱子，现在要给它们刷油漆，如果每平方米用0.5千克油漆，刷这两根柱子一共要多少千克油漆？ 【答案】4.71 千克 【思路引导】根据题意：柱子刷油漆只需要刷侧面积（上下底面无需刷漆），先根据圆柱侧面积公式S侧＝πdh（π取3.14）求出单根柱子的侧面积，再乘2求出两根柱子的总侧面积，最后用总侧面积乘每平方米所需油漆的重量，即可求出总共需要的油漆量。 【完整解答】3.14×0.5×3×2×0.5 ＝1.57×3×2×0.5 ＝4.71×2×0.5 ＝9.42×0.5 ＝4.71（千克） 答：刷这两根柱子一共要4.71千克油漆。 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北保定·期中）计算下面图形的表面积。 【答案】1336.52cm2 【思路引导】这个图形是一个长方体中间挖去了一个圆柱，所以实际表面积为长方体表面积减去两个圆柱底面积，再加上圆柱侧面积。 已知长方体长20cm、宽6cm、高20cm，根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”计算出长方体的表面积； 已知圆柱的底面直径是6cm，计算出底面半径为6÷2＝3cm，根据圆的面积公式计算出圆柱的底面积，再乘2计算出两个圆柱底面积； 已知圆柱的底面直径是6cm，高是长方体的宽6cm，根据圆柱的侧面积公式S＝πdh计算出圆柱的侧面积； 最后用长方体表面积减去两个圆柱底面积，再加上圆柱侧面积即为该图形的表面积。 【完整解答】（20×6＋20×20＋6×20）×2 ＝（120＋400＋120）×2 ＝（520＋120）×2 ＝640×2 ＝1280（cm2） 2×3.14×（6÷2）2 ＝2×3.14×32 ＝2×3.14×9 ＝6.28×9 ＝56.52（cm2） 3.14×6×6 ＝18.84×6 ＝113.04（cm2） 1280－56.52＋113.04 ＝1223.48＋113.04 ＝1336.52（cm2） 所以该图形的表面积是1336.52cm2。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）一个底面直径是8cm，高是15cm的圆柱木头，如果沿着上下底面的直径切开，表面积增加了( )cm2；如果把圆柱木头切成3个小圆柱，表面积增加了( )cm2；如果把圆木头的高减少2cm，表面积就减少了( )cm2。 【答案】 240 200.96 50.24 【思路引导】根据题意，如果圆柱沿着上下底面的直径切开，切面是长方形，长等于圆柱的高，宽等于圆柱底面的直径，表面积增加两个切面的面积；如果把圆柱木头切成3个小圆柱，增加4个截面，表面积增加4个底面的面积；如果把圆木头的高减少2cm，表面积就减少的是高2cm的圆柱的侧面积；根据公式：S长方形＝ab，S底＝πr2，S侧＝πdh，代入数据计算即可。 【完整解答】如果沿着上下底面的直径切开，表面积增加了： 8×15×2 ＝120×2 ＝240（cm2） 如果把圆柱木头切成3个小圆柱，表面积增加了： 3.14×（8÷2）2×4 ＝3.14×16×4 ＝3.14×64 ＝200.96（cm2） 如果把圆木头的高减少2cm，表面积就减少了： 3.14×8×2 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 【考点剖析】明确圆柱不同的切割方式，增加的表面积是哪些面的面积，并以此为突破口，利用公式列式计算。 考点讲练四 圆柱的表面积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·湖北十堰·期中）月饼象征着团圆，可以近似看作圆柱，切掉后，剩下的月饼表面积是多少？ 【答案】90.5平方厘米 【思路引导】先利用“”求出整个月饼的表面积，把整个月饼的表面积看作单位“1”，切掉后，表面积减少的同时又增加了2个以底面半径为长，以高为宽的长方形的面积，剩下月饼的表面积＝整个月饼的表面积×（1－）＋2个长方形的面积，据此解答。 【完整解答】3.14×6×2＋2×3.14×（6÷2）2 ＝3.14×6×2＋2×3.14×32 ＝3.14×6×2＋2×3.14×9 ＝3.14×（6×2＋2×9） ＝3.14×（12＋18） ＝3.14×30 ＝94.2（平方厘米） 94.2×（1－）＋（6÷2）×2×2 ＝94.2×＋3×2×2 ＝78.5＋6×2 ＝78.5＋12 ＝90.5（平方厘米） 答：剩下的月饼表面积是90.5平方厘米。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·湖北十堰·期中）一顶帽子，上面是直径2dm，高1dm的圆柱形（有帽顶），做这顶帽子，至少要用( )的布料（接头处忽略不计）。 【答案】9.42dm2/9.42平方分米 【思路引导】做这顶圆柱形帽子需要多少面料，就是求圆柱的侧面积加上圆柱的底面积，圆柱的侧面积＝底面周长×高，底面积：S＝πr2，再把两部分的面积相加。 【完整解答】3.14×2×1＋3.14×（2÷2）2 ＝6.28＋3.14×1 ＝6.28＋3.14 ＝9.42（dm2） 所以至少要用9.42dm2的布料。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）一段圆木，如果截成两段圆柱，表面积增加了12.56dm2；如果沿着直径劈成两个半圆柱（如图），表面积增加了120dm2，这个圆柱的表面积是( )dm2。 【答案】200.96 【思路引导】一段圆木，截成两段圆柱，表面积增加了2个底面积；假设底面半径是r，如果沿着直径劈成两个半圆柱，表面积增加了2个长方形，长方形的长＝圆柱的高，长方形的宽＝底面直径，增加的2个长方形面积÷2÷直径＝长方形的长，即圆柱的高，根据圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，用字母表示出圆柱表面积，计算时将r约分约掉即可求出这个圆柱的表面积。 【完整解答】假设底面半径是r。 圆柱的高：120÷2÷2r＝60÷2r＝（dm） 12.56＋2×3.14×r× ＝12.56＋188.4 ＝200.96（dm2） 这个圆柱的表面积是200.96dm2。 【考点剖析】关键是具有一定的空间想象能力，掌握并灵活运用圆柱表面积公式。 考点讲练五 组合体的表面积（圆柱） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·福建厦门·期中）如图，综合实践课，小明制作了一顶帽子（单位：厘米），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布( )平方厘米。 【答案】1884 【思路引导】观察图形，这顶帽子的上面是圆柱形，圆柱形所需布的面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的底面积，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，圆柱的底面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出上面圆柱形部分所用布的面积； 帽檐部分是一个圆环，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算，求出帽檐部分所用布的面积； 然后把圆柱形部分所用布的面积加上帽檐部分所用布的面积，求出做这顶帽子一共用布的面积。 【完整解答】20÷2＝10（厘米） 10＋10＝20（厘米） 上面圆柱形的表面积： 3.14×20×10＋3.14×102 ＝3.14×20×10＋3.14×100 ＝628＋314 ＝942（平方厘米） 帽檐部分的面积： 3.14×（202－102） ＝3.14×（400－100） ＝3.14×300 ＝942（平方厘米） 一共：942＋942＝1884（平方厘米） 做这顶帽子一共用布1884平方厘米。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北秦皇岛·期中）计算下面立体图形的表面积。 【答案】329.04cm2 【思路引导】观察图形可知，立体图形是由一个圆柱和一个正方体组成的，圆柱的上底面可移到正方体的上面，把正方体的上面填补完整；所以立体图形的表面积＝正方体的表面积＋圆柱的侧面积，根据正方体的表面积公式、圆柱的侧面积公式，代入数据计算即可。 【完整解答】 立体图形的表面积是。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）如图，将三个圆柱叠在一起，表面积减少了( )平方分米。 【答案】31.4 【思路引导】通过观察图形可知，把三个小、中、大圆柱摞起来，表面积比原来减少了小、中圆柱的两个底面的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【完整解答】3.14×（2÷2）2×2＋3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×1×2＋3.14×4×2 ＝6.28＋25.12 ＝31.4（平方分米） 则表面积减少了31.4平方分米。 【考点剖析】此题主要考查圆柱表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 考点讲练六 圆柱的体积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·江西九江·期中）一个圆柱沿高剪开后是一个边长为6.28分米的正方形，这个圆柱的侧面积是( )平方分米，体积是( )。 【答案】 39.4384 19.7192立方分米 【思路引导】一个圆柱沿高剪开后是一个边长为6.28分米的正方形，说明圆柱的底面周长是6.28分米，高是6.28分米。圆柱的侧面积＝底面周长×高＝6.28×6.28＝39.4384平方分米。 底面半径＝底面周长÷÷2＝6.28÷3.14÷2＝1分米，圆柱体积＝＝（立方分米）。 【完整解答】侧面积：6.28×6.28＝39.4384（平方分米） 底面半径：6.28÷3.14÷2＝1（分米） 体积：（立方分米） 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（25-26六年级上·广东中山·期中）挖一个圆柱形水池，底面直径20米，深1.8米。 （1）这个圆柱形水池的占地面积是多少平方米？ （2）如果在水池的底面和四周抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （3）挖这个水池需挖土多少立方米？ 【答案】（1）314平方米 （2）427.04平方米 （3）565.2立方米 【思路引导】（1）求圆柱形水池的占地面积，就是求水池的底面积。已知水池的底面直径，底面直径除以2就是底面半径，根据圆柱的底面积＝πr2，代入数值，即可求出圆柱形水池的占地面积。 （2）抹水泥的面积等于水池的底面积加上水池的侧面积。根据圆柱的侧面积＝底面周长×高＝πdh，d和h已知，代入数值，可求出水池的侧面积。水池的底面积加上水池的侧面积就是抹水泥的面积。 （3）求挖这个水池需挖土多少立方米，就是求圆柱形水池的体积。圆柱的体积＝底面积×高，水池的底面积已求出，高已知，代入数值，即可求出挖这个水池需挖土多少立方米。 【完整解答】（1）20÷2＝10（米） ＝3.14×100 ＝314（平方米） 答：这个圆柱形水池的占地面积是314平方米。 （2） ＝62.8×1.8 ＝113.04（平方米） 314＋113.04＝427.04（平方米） 答：抹水泥的面积是427.04平方米。 （3） ＝3.14×100×1.8 ＝314×1.8 ＝565.2（立方米） 答：挖这个水池需挖土565.2立方米。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·福建莆田·期末）李强用铁皮分别做了两个无盖的容器，一个是圆柱体A，一个是长方体B（如图所示），并用一根连通管把这两个容器相连通。 （1）做长方体容器B至少用了多少铁皮？ （2）李强把容器B装满水后，打开连接阀，使容器B里的水向容器A内流。当两个容器内的水一样高时，水面的高度是多少厘米？（连通管内的水量忽略不计） 【答案】（1）3712平方厘米；（2）20厘米 【思路引导】（1）长方体容器B无盖，所以求其用的铁皮面积，就是求这个长方体5个面的面积之和（少一个上面）。长方体表面积公式（无盖）为S＝ab＋（ah＋bh）×2，其中a＝31.4厘米是长，b＝20厘米是宽，h＝30厘米是高。把数据代入公式解答。 （2）首先根据长方体的体积公式：V＝abh，其中a＝31.4厘米是长，b＝20厘米是宽，h＝30厘米是高。把数据代入公式求出长方体容器中水的体积，然后用这些水的体积除以圆柱的底面积（V＝πr2，π取3.14，r为20÷2＝10厘米）与长方体的底面积（S＝ab，a＝31.4厘米，b＝20厘米）之和即可。 【完整解答】（1）31.4×20＋（31.4×30＋20×30）×2 ＝628＋（942＋600）×2 ＝628＋1542×2 ＝628＋3084 ＝3712（平方厘米） 答：做长方体容器B至少用了3712平方厘米铁皮。 （2）31.4×20×30＝18840（立方厘米） 3.14×（20÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 31.4×20＝628（平方厘米） 18840÷（314＋628） ＝18840÷942 ＝20（厘米） 答：水面的高度是20厘米。 【考点剖析】此题主要考查长方体的表面积公式（S＝（ab＋ah＋bh）×2）、长方体的体积公式（V＝abh）、圆柱的底面积公式（S＝πr2）的灵活运用，然后利用这些公式灵活解答。 考点讲练七 圆柱的容积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·安徽黄山·期中）登高望远。 古人云“五岳归来不看山，黄山归来不看岳”，为了满足登山需求，聪聪带了两个圆柱形水杯，大水杯内直径16厘米，高30厘米，小水杯内直径8厘米，高30厘米。聪聪认为：小水杯与大水杯高相等，小水杯的内直径刚好是大水杯的一半，如果装满水，小水杯的装水量也刚好是大水杯的一半。聪聪的想法对吗？为什么？ 【答案】不对；理由见详解 【思路引导】根据圆柱体积＝底面积×高，分别计算出两个水杯的容积，用大水杯容积÷2，看是否等于小水杯容积即可。 【完整解答】大水杯：3.14×（16÷2）2×30 ＝3.14×82×30 ＝3.14×64×30 ＝6028.8（立方厘米） 小水杯：3.14×（8÷2）2×30 ＝3.14×42×30 ＝3.14×16×30 ＝1507.2（立方厘米） 6028.8÷2＝3014.4（立方厘米） 3014.4＞1507.2 答：聪聪的想法不对。因为大水杯装水量的一半比小水杯的容积大。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北保定·期中）同学们制作圆柱形无盖笔筒，已知一个笔筒的底面半径是4厘米，高是7厘米，则它的侧面积是( )平方厘米，制作一个笔筒至少需要( )平方厘米的硬纸板，笔筒的最大容积是( )立方厘米。 【答案】 175.84 226.08 351.68 【思路引导】由题意可知，圆柱的底面半径为4厘米，高为7厘米，利用“”求出圆柱的侧面积；这个圆柱形笔筒无盖，求需要硬纸板的面积时只需计算圆柱的侧面积与一个底面积的和；最后利用“”求出这个笔筒的容积，据此解答。 【完整解答】2×3.14×4×7 ＝6.28×4×7 ＝25.12×7 ＝175.84（平方厘米） 3.14×42＋175.84 ＝3.14×16＋175.84 ＝50.24＋175.84 ＝226.08（平方厘米） 3.14×42×7 ＝3.14×16×7 ＝50.24×7 ＝351.68（立方厘米） 所以，它的侧面积是175.84平方厘米，制作一个笔筒至少需要226.08平方厘米的硬纸板，笔筒的最大容积是351.68立方厘米。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）如图，阴影部分的两个圆和一个长方形铁皮，正好可以做成一个油桶，求油桶的容积。 【答案】339.12升 【思路引导】由图可知，长方形为油桶的侧面，圆形为油桶的底面，则长方形的长等于圆的周长，长方形的宽为底面直径的2倍，把底面直径设为未知数根据大长方形的长列方程求出底面直径，再求出油桶的底面积和高，最后利用“圆柱的体积＝底面积×高”求出油桶的容积。 【完整解答】解：设圆的直径为d分米。 3.14d＋d＝24.84 4.14d＝24.84 d＝24.84÷4.14 d＝6 半径：6÷2＝3（分米） 3.14×32×（6×2） ＝3.14×32×12 ＝28.26×12 ＝339.12（立方分米） 339.12立方分米＝339.12升 答：油桶的容积为339.12升。 【考点剖析】根据圆柱的展开图特征求出圆柱的底面直径是解答题目的关键。 考点讲练八 立体图形的切拼（圆柱) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·甘肃庆阳·期中）工人把一块长15.7dm、宽8dm、高5dm的长方体钢坯熔铸成一根底面直径为4dm的圆柱形钢材，这根钢材的长度是( )dm，如果把这根圆柱形钢材沿底面直径切割成两部分，那么表面积增加( )dm2。 【答案】 50 400 【思路引导】当长方体钢坯熔铸成圆柱形钢材时，它们的体积是不变的，根据先计算出长方体的体积，即得到了圆柱的体积，根据，变形为，即可求出钢材的长度；对于沿底面直径切割圆柱形钢材，增加的表面积就是两个以底面直径和圆柱高为边长的长方形的面积。 【完整解答】 （dm3） （dm2） 628÷12.56＝50（dm） 4×50×2＝400（dm2） 工人把一块长15.7dm、宽8dm、高5dm的长方体钢坯熔铸成一根底面直径为4dm的圆柱形钢材，这根钢材的长度是50dm，如果把这根圆柱形钢材沿底面直径切割成两部分，那么表面积增加400dm2。 【考点剖析】解题关键在于理解熔铸过程中体积不变以及切割后表面积的变化情况，准确运用公式进行计算。 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北保定·期中）如图，把一个圆柱等分成若干偶数份后拼成一个近似的长方体，已知拼成的长方体前面的面积比右面的面积大25.68平方分米，这个长方体高6分米。这个圆柱的体积是多少？ 【答案】75.36立方分米 【思路引导】把圆柱等分拼成近似长方体后，长方体的长是圆柱底面周长的一半（即πr，r为圆柱底面半径，π取3.14），宽是圆柱底面半径r，高是圆柱的高h＝6分米。长方体前面的面积＝长×高＝πr×h；右面的面积＝宽×高＝r×h。已知前面的面积比右面的面积大25.68平方分米，所以得出πr×h－r×h＝25.68平方分米。设半径为x分米，把数据代入得出方程：3.14×x×6－x×6＝25.68，然后解方程，解出x的值后（即圆柱的半径），根据圆柱的体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式计算即可解答。 【完整解答】解：设圆柱的半径为x分米。 3.14×x×6－x×6＝25.68 3.14×x×6－x×6×1＝25.68 6x×（3.14－1）＝25.68 6x×2.14＝25.68 12.84x＝25.68 x＝25.68÷12.84 x＝2 即圆柱的半径为2分米。 3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝75.36（立方分米） 答：这个圆柱的体积是75.36立方分米。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·江西南昌·期中）将一根长2m的圆木，截成4段（如图），表面积增加了24。原来这根木材的体积是( )。 【答案】80dm 【思路引导】本题将圆木被截成4段，会新增出6个横截面（因为每截一次增加2个面，截3次共增加6个面）。题目中说“表面积增加了24dm2”，即这6个新增横截面的总面积为24dm2，求出一个横截面的面积，根据体积＝横截面积×高，可以得到这根木材的体积。 【完整解答】24÷6＝4（dm） 2m＝20dm 体积＝4×20＝80（dm） 故这根木材的体积是80dm。 考点讲练九 圆锥的认识及特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）如图，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周得到一个( )，得到的这个图形的高是( )cm，底面积是( )cm2。 【答案】 圆锥 3 50.24 【思路引导】根据题意，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周得到一个圆锥，这个圆锥的高等于AB，圆锥的底面半径等于BC。圆锥的底面是一个圆，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积。 【完整解答】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周得到一个（圆锥），得到的这个图形的高是（3）cm，底面积是（50.24）cm2。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·福建厦门·期中）乐乐从正方形卡纸上剪下一个圆形和扇形（如图1），恰好围成一个圆锥模型（如图2），如果圆的半径为r，扇形半径为R，则r∶R为（    ）。 A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 【答案】C 【思路引导】根据题意，用扇形和圆形可以围成一个圆锥模型，那么扇形的弧长即是圆锥的底面周长。 从图中可知，扇形的弧长相当于一个半径为R的圆周长的；根据圆的周长公式C＝2πr，可得出圆的周长；由扇形的弧长等于圆的周长，列出等式，进而求出圆的半径与扇形半径的比，并化简比。 【完整解答】圆锥的底面周长：2πr 扇形的弧长：2πR×＝πR 2πr＝πR 2r＝R r∶R＝∶2＝（×2）∶（2×2）＝1∶4 则r∶R为1∶4。 故答案为：C 【变式2】（难度：☆☆☆☆）直角三角形ABC（如下图），以直角边AB为轴旋转360°后得到的是（    ）。 A．底面半径是8cm，高是6cm的圆锥 B．底面直径是8cm，高是6cm的圆锥 C．底面半径是6cm，高是8cm的圆锥 D．底面直径是6cm，高是8cm的圆锥 【答案】C 【思路引导】为轴的一条直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径，据此分析。 【完整解答】以直角边AB为轴旋转360°后得到的是底面半径是6cm，高是8cm的圆锥。 故答案为：C 【考点剖析】以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 考点讲练十 圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·江苏淮安·期中）同学们根据“圆柱容球”设计了如下图所示的三个模型，请你思考并想象。 圆柱容球是古希腊数学家阿基米德的伟大发现之一。当圆柱容球时，球的直径与圆柱的高和底面直径相等。此时，球的体积是圆柱体积的三分之二。 （1）小雨将图1的长方形绕轴快速旋转一周，形成一个（    ）体，它的体积是（    ）立方厘米。 （2）小浩将图2的半圆绕轴快速旋转一周，形成一个（    ）体，根据“圆柱容球”可知，它的体积是（    ）立方厘米。 （3）小萱将图3的模型绕轴快速旋转一周，能形成一个形状如圆柱挖去一个等底、等高圆锥的几何体。她认为这个几何体的体积和图2的半圆绕轴快速旋转一周形成的几何体的体积相同，你同意她的看法吗？请说明理由。 【答案】（1）圆柱， 169.56； （2）球，113.04； （3）同意，见详解。 【思路引导】（1）长方形以长边为轴快速旋转一周，会形成一个圆柱体，圆柱体的底面半径等于长方形的宽，圆柱体的高等于长方形的长，根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据计算，求出它的体积。 （2）将半圆绕轴快速旋转一周，形成一个球体，根据“球的体积是圆柱体积的三分之二”，根据求一个数的几分之几是多少，用圆柱的体积乘求出它的体积。 （3）从“等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍”着手分析。 【完整解答】（1）将长方形绕轴快速旋转一周，形成一个圆柱体，它的体积是： 3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝169.56（立方厘米） 小雨将图1的长方形绕轴快速旋转一周，形成一个（圆柱）体，它的体积是这个圆柱的体积是（169.56）立方厘米。 （2）将半圆绕轴快速旋转一周，形成一个球体，它的体积是： 169.56×＝113.04（立方厘米） 小浩将图2的半圆绕轴快速旋转一周，形成一个（球）体，根据“圆柱容球”可知，它的体积是（113.04）立方厘米。 （3）答：我同意她的看法，因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆柱的体积看成3份，挖走的圆锥的体积是1份，那么剩下的体积就是圆柱体积的三分之二，和图2的半圆绕轴快速旋转一周形成的几何体的体积相同。 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·河南郑州·期中）如图，一个圆柱形木材被截去5厘米后，表面积比原来减少了62.8平方厘米，若将与原来完全一样的圆柱形木材削成一个最大的圆锥，则这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】87.92立方厘米 【思路引导】圆柱被截去5厘米后，表面积比原来减少了62.8平方厘米，表面积减少的部分即为截去圆柱部分的侧面积，根据“圆柱侧面积＝底面周长×高”，用62.8除以5即可计算出圆柱的底面周长；再根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2，计算出圆柱的底面半径； 已知原来圆柱的高是21厘米，将与原来完全一样的圆柱形木材削成一个最大的圆锥，则圆锥与原来圆柱等底等高，根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积。 【完整解答】62.8÷5÷3.14÷2 ＝12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） ×3.14×22×21 ＝×3.14×4×21 ＝87.92（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是87.92立方厘米。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（2025六年级下·全国·专题练习）一个圆柱体木块如果切成完全一样的两块（如图①），表面积增加48cm2；如果切成完全一样的三块（如图②），表面积增加50.24cm2；如果削成一个最大的圆锥体（如图③），体积减少了( )cm3。 【答案】50.24 【思路引导】按①切，增加的表面积＝圆柱的底面直径×圆柱的高×2，按②切增加的表面积＝圆柱的底面积×4，进而可求出圆柱的半径、以及圆柱的高，接下来根据圆柱的体积以及圆锥的体积公式求出体积，并相减即可。 【完整解答】圆柱的底面直径×圆柱的高＝48÷2＝24（cm2） 圆柱的底面积＝50.24÷4＝12.56（cm2）， 所以圆柱的半径的平方＝12.56÷3.14＝4（cm2），即圆柱的半径＝2cm， 圆柱的高＝24÷2÷2＝6（cm）， 圆柱的体积＝12.56×6＝75.36（cm3） 圆锥的体积＝×75.36＝25.12（cm3） 75.36－25.12＝50.24（cm3） 即体积减少了50.24。 考点讲练十一 圆锥的体积（容积) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北邯郸·期中）一个底面直径是16cm的圆柱形容器中装有水，把一个底面周长是25.12cm、高6cm的圆锥形铁块完全浸没在水中（水未溢出），水面上升了多少厘米？ 【答案】0.5厘米 【思路引导】当圆锥完全浸没在水中时，水面上升的体积等于圆锥的体积。根据求出圆锥的底面半径；根据求出圆锥的体积；将圆锥体积除以圆柱的底面积即求出水面上升的高度。 【完整解答】圆锥的底面半径 （厘米） 圆锥体积 ＝ ＝100.48（立方厘米） 圆柱的底面积 16÷2＝8（厘米） 3.14×8×8＝200.96（平方厘米） 水面上升的高度 100.48÷200.96＝0.5（厘米） 答：水面上升了0.5厘米。 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东菏泽·期中）有等底等高的圆柱和圆锥容器各一个，将圆柱容器内装满水后，倒入圆锥容器内。当圆柱容器里的水全部倒光时，溢出了21.6毫升，这时圆锥容器里有水( )毫升。 【答案】10.8 【思路引导】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍；把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积看作3份，则相差（3－1）份； 把圆柱容器装满水倒入圆锥容器，全部倒光时，溢出了21.6毫升，则溢出水的体积就是圆柱比圆锥多的体积，用体积差除以份数差，求出一份数，也就是圆锥容器装满水的体积。 【完整解答】21.6÷（3－1） ＝21.6÷2 ＝10.8（毫升） 这时圆锥容器里有水10.8毫升。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·海南省直辖县级单位·期中）一个圆柱形木块若切成4块（如图1），表面积增加48平方厘米；若切成3块（如图2），表面积增加50.24平方厘米，若削成一个最大的圆锥（如图3），体积减少( )立方厘米。 【答案】25.12 【思路引导】如图2所切，增加4个底面，增加的面积（50.24平方厘米）＝底面面积×4，则底面面积＝50.24÷4＝12.56（平方厘米）。根据圆的面积：S＝πr2，那么r2＝12.56÷3.14＝4＝22，r＝2厘米。如图1所切，增加4个长方形的面，增加的面积是48平方厘米，则1个长方形面积（直径×高）＝48÷4＝12（平方厘米）；用12÷直径即可求出高。若削成一个最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱的。圆柱的体积：V＝sh，圆柱的体积：V＝sh，代入数据计算，分别求出圆柱、圆锥的体积，再相减即可求出减少的体积。 【完整解答】50.24÷4＝12.56（平方厘米） 12.56÷3.14＝4（平方厘米） 4＝22 这个圆柱的底面半径是2厘米。 48÷4÷（2×2） ＝48÷4÷4 ＝3（厘米） 12.56×3－12.56×3× ＝37.68－12.56 ＝25.12（立方厘米） 体积减少了25.12立方厘米。 【考点剖析】掌握圆柱切割的特点，通过增加的面积，求出圆柱的底面半径和高是解题关键。 考点讲练十二 体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北保定·期中）一个杯子最上面部分是圆柱，中间部分是圆锥，下面是实心的杯挺和底座（如图）。一个底部内直径是10厘米的瓶子里，水的高度是7厘米，把这些水全部倒入图中的杯子里，圆锥顶点到水面的高度是多少厘米？（π取3） 【答案】13厘米 【思路引导】根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，求出瓶子里水的体积；根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，求出杯子圆锥部分的体积，再用水的体积－杯子圆锥部分的体积，求出剩下的体积，再根据高＝剩下的体积÷杯子最上面部分的圆柱的底面积，求出它的高度，再加上圆锥部分的高度，即可解答。 【完整解答】3×（10÷2）2×7 ＝3×52×7 ＝3×25×7 ＝75×7 ＝525（立方厘米） 3×（10÷2）2×9× ＝3×52×9× ＝3×25×9× ＝75×9× ＝675× ＝225（立方厘米） （525－225）÷[3×（10÷2）2] ＝300÷[3×52] ＝300÷[3×25] ＝300÷75 ＝4（厘米） 4＋9＝13（厘米） 答：圆锥顶点到水面的高度是13厘米。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北石家庄·期中）把一个底面直径是6cm、高10cm的圆锥体铁块熔铸成一个圆柱体，若圆柱的高是5cm，圆柱的底面积是( )cm2。 【答案】18.84 【思路引导】根据题意，把一个圆锥体铁块熔铸成一个圆柱体，铁块的体积不变；先根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出铁块的体积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的底面积S＝V÷h，据此求解。 【完整解答】×3.14×（6÷2）2×10 ＝×3.14×32×10 ＝×3.14×9×10 ＝94.2（cm3） 94.2÷5＝18.84（cm2） 圆柱的底面积是18.84cm2。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）如图，在一个盛有450毫升水的量杯中，放入一个圆柱，水面对应的刻度为600毫升。若再放入一个与圆柱等底等高的圆锥，则此时水面对应的刻度为____________毫升。 【答案】650 【思路引导】根据题意可知，把圆柱放入量杯中，上升部分水的体积等于这个圆柱的体积，等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，据此可以求出圆锥的体积，然后用水和圆柱的体积加上这个圆锥体积的就是量杯中水面的刻度。 【完整解答】450毫升＝450立方厘米 600毫升＝600立方厘米 600－450＝150（立方厘米） 150×＝50（立方厘米） 50立方厘米＝50毫升 600＋50＝650（毫升） 【考点剖析】此题主要考查圆柱体积（容积）公式的灵活运用，等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系及应用。注意容积单位与体积之间的换算。 考点讲练十三 立体图形的切拼（圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东广州·期中）如图是棱长为6厘米的正方体，它的体积是( )立方厘米。将它削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】 216 56.52 【思路引导】根据正方体体积公式V＝a3（a为正方体棱长），已知正方体棱长为6厘米，可直接代入计算。要在正方体中削出最大圆锥，圆锥的底面直径等于正方体的棱长，圆锥的高也等于正方体的棱长。再根据圆锥体积公式V＝πr2h（π取3.14，r是底面半径，h是高），r＝6÷2＝3厘米。带入数据计算即可。 【完整解答】正方体体积：63＝6×6×6＝216（立方厘米） 6÷2＝3（厘米） 圆锥体积：×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝3×3.14×6 ＝9.42×6 ＝56.52（立方厘米） 所以如图是棱长为6厘米的正方体，它的体积是216立方厘米。将它削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是56.52立方厘米。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东珠海·期中）把一个棱长为6分米的正方体木块加工成一个最大的圆锥，体积比原来减少了（    ）立方分米。 A．56.52 B．159.48 C．169.54 D．216 【答案】B 【思路引导】已知正方体的棱长是6分米，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算出正方体的体积；要把正方体加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，用底面直径除以2计算出底面半径，然后根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积；最后用正方体体积减去圆锥的体积即可。 【完整解答】6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方分米） ×3.14×（6÷2）2×6 ＝×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝3.14×3×6 ＝9.42×6 ＝56.52（立方分米） 216－56.52＝159.48（立方分米） 所以体积比原来减少了159.48立方分米。 故答案为：B 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·湖北襄阳·期中）把一个底面直径是4厘米，高是6厘米的圆柱形钢材平行于底面截成三段小圆柱，表面积增加了( )平方厘米；把一个底面直径是4厘米，高是6厘米的圆柱形钢材沿直径切成两个半圆柱，表面积增加了( )平方厘米；把一个底面直径是4厘米，高是6厘米的圆锥形钢材从顶点到直径切成两个半圆锥表面积增加了( )平方厘米。 【答案】 50.24 48 24 【思路引导】把圆柱平行于底面截成三段，需要截2次，每截1次增加2个底面圆的面积，所以共增加2×2＝4个底面圆的面积，已知底面直径是4厘米，则半径为4÷2＝2厘米，根据圆的面积公式可得一个底面圆的面积，再乘4即得增加的4个底面圆面积； 把圆柱沿直径切成两个半圆柱，则表面积就增加了两个以底面直径和高为边长的长方形面的面积，根据“长方形面积＝长×宽”计算出一个长方形面的面积，再乘2即得增加的2个长方形面积； 把圆柱从顶点到直径切成两个半圆锥，则表面积就增加了两个以底面直径为底，圆锥高为高的三角形，根据“三角形面积＝底×高÷2”计算出一个三角形面的面积，再乘2即得增加的2个三角形面积。 【完整解答】2×2＝4（个） 3.14×（4÷2）2×4 ＝3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝12.56×4 ＝50.24（平方厘米） 所以把一个底面直径是4厘米，高是6厘米的圆柱形钢材平行于底面截成三段小圆柱，表面积增加了50.24平方厘米。 4×6×2 ＝24×2 ＝48（平方厘米） 所以把一个底面直径是4厘米，高是6厘米的圆柱形钢材沿直径切成两个半圆柱，表面积增加了48平方厘米。 4×6÷2×2 ＝24÷2×2 ＝12×2 ＝24（平方厘米） 所以把一个底面直径是4厘米，高是6厘米的圆锥形钢材从顶点到直径切成两个半圆锥表面积增加了24平方厘米。 考点讲练十四 组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·湖北孝感·期中）计算下面组合图形的体积。 【答案】87.92立方厘米 【思路引导】组合体的体积＝底面直径是4厘米，高是5厘米的圆柱的体积＋底面直径是4厘米，高是6厘米的圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【完整解答】3.14×（4÷2）2×5＋3.14×（4÷2）2×6× ＝3.14×22×5＋3.14×22×6× ＝3.14×4×5＋3.14×4×6× ＝12.56×5＋12.56×6× ＝62.8＋75.36× ＝62.8＋25.12 ＝87.92（立方厘米） 组合体的体积是87.92立方厘米。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·贵州黔南·期中）“民以食为天”，在老百姓的眼里，“粮”就是“天”。种粮专业户李大伯承包的水稻迎来大丰收，正好装满这个粮囤。这个粮囤上面是圆锥形，下面是圆柱形（如图）。从里面量得圆柱和圆锥底面的周长都是6.28米，圆柱高2米，圆锥高1.5米。每立方米水稻约重0.6吨，这个粮囤能装水稻多少吨？ 【答案】4.71吨 【思路引导】分析题目，先根据圆的半径＝C÷π÷2求出圆柱和圆锥的底面半径，再根据圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h，代入数据列式分别求出圆柱和圆锥的体积，再相加即可得到水稻的体积，最后用水稻的体积乘0.6即可解答。 【完整解答】6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（米） 3.14×12×2＋3.14×12×1.5× ＝3.14×1×2＋3.14×1×1.5× ＝3.14×2＋3.14×1.5× ＝6.28＋4.71× ＝6.28＋1.57 ＝7.85（立方米） 7.85×0.6＝4.71（吨） 答：这个粮囤能装水稻4.71吨。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（23-24六年级下·河北保定·期末）建新小学为了让学生更多的了解航天事业，科技社团在老师的指导下准备用塑料板制作小“火箭”模型，小火箭的主体部分是由圆柱和圆锥两部分组成，要求圆锥的高是圆柱的。（如图） （1）首先制作了“火箭”模型的上部分圆锥形（如图）。 接下来制作圆柱部分的侧面和一个底面，侧面应该设计成什么样子？请把圆柱侧面展开的示意图画在下面，并标出相关数据。（接头处忽略不计） （2）要解决“火箭”模型的体积是多少立方厘米。下面是三位同学的做法，你认为谁的正确，请在同学名字后面打“√”。 请你选择一种正确的方法，写出解题思路。我选择的是（    ）方法。 解题思路： 【答案】（1）图见详解 （2）丽丽；聪聪； 丽丽；12560立方厘米 【思路引导】（1）观察“火箭”模型可知，圆锥和圆柱的底面积相等，圆锥的高是圆柱的，也就是说圆柱的高是圆锥的3倍，用圆锥的高乘3求出圆柱的高； 已知底面直径是20厘米，根据圆的周长公式C＝πd，求出圆柱的底面周长； 圆柱的侧面展开图一般是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；据此画出圆柱侧面展开的示意图，并标出相关数据。 （2）丽丽：根据圆柱、圆锥的体积公式，分别计算出圆柱、圆锥的体积，再相加，即是“火箭”模型的体积，方法正确； 聪聪：因为圆锥与圆柱等底，圆锥的高是圆柱的，那么圆锥的体积是圆柱体积的×＝；先根据圆柱的体积公式计算出圆柱的体积，然后用圆柱的体积乘求出圆锥的体积，再相加，即是“火箭”模型的体积，方法正确； 英英：用圆锥的底面积乘圆锥的高，不是“火箭”模型的体积，方法错误。 选择丽丽的方法。解题思路： “火箭”模型的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【完整解答】（1）圆柱的高：12×3＝36（厘米） 圆柱的底面周长：3.14×20＝62.8（厘米） 圆柱的侧面展开图如下图： （2）我认为丽丽和聪聪的做法正确。 我选择的是（丽丽）方法。（答案不唯一） 解题思路： 3.14×（20÷2）2×36＋×3.14×（20÷2）2×12 ＝3.14×102×36＋×3.14×102×12 ＝3.14×100×36＋×3.14×100×12 ＝11304＋1256 ＝12560（立方厘米） 答：“火箭”模型的体积是12560立方厘米。 【考点剖析】（1）根据圆柱侧面展开图的特征可知，要画圆柱的侧面展开图必须知道圆柱的底面周长和高，根据“模型”图中的信息可求解。 （2）掌握和运用圆柱、圆锥的体积公式是解题的关键。 考点讲练十五 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·江西鹰潭·期中）两个大小相同的量杯中都盛有水。现将两个等底等高的圆柱和圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度是，则乙量杯中水面刻度是（    ）mL。（零件均完全淹没水中） A．40 B．120 C．240 D．280 【答案】C 【思路引导】量杯中原有200mL水，放入圆柱零件后，水面刻度变为320mL。因为零件完全淹没水中，所以水面上升的体积就是圆柱零件的体积。根据体积差可得圆柱放入量杯后的容积为320－200＝120mL。根据圆柱和圆锥的体积关系：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，已知圆柱放入量杯后的容积为120mL，所以圆锥放入量杯后的容积为×120＝40mL。乙量杯原有200mL水，放入圆锥零件后，再加上40mL就是乙量杯此时的刻度。 【完整解答】320－200＝120（mL） ×120＝40（mL） 200＋40＝240（mL） 圆锥零件放入量杯后，乙量杯中水面刻度是240mL。 故答案为：C 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·江西鹰潭·期中）在一个底面半径是10厘米的圆柱形容器中装有水，正好能完全浸没一个底面半径是4厘米，高是6厘米的圆锥形铁块（如图）。现将铁块从容器中取出后，水面会下降多少厘米？ 【答案】0.32厘米 【思路引导】从题意可知：下降水的体积＝圆锥的体积。圆锥的体积； V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积。根据圆的面积：S＝πr2，代入数据计算，求出圆柱形容器底面积。下降水的体积＝圆柱形容器底面积×下降的高度，用下降水的体积（圆锥的体积）÷圆柱形容器底面积即可求出下降的高度。 【完整解答】×42×3.14×6 ＝×16×3.14×6 ＝100.48（立方厘米） 100.48÷（102×3.14） ＝100.48÷（100×3.14） ＝100.48÷314 ＝0.32（厘米） 答：水面会下降0.32厘米。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·浙江杭州·期中）在学习了圆柱和圆锥的体积之后，琪琪用圆柱体容器和圆锥体容器进行了下面两个实验： （1）实验一：琪琪在圆柱体容器里面装了一些水（如图），水深6厘米，再将这些水倒入一个圆锥体容器中。如果倒入等底的圆锥体容器中恰好倒满，则琪琪应该选择高是多少厘米的圆锥体容器？ （2）实验二：琪琪按下面的步骤测量了一块不规则石头的体积。根据测量过程，你能求出石头的体积吗？ 【答案】（1）18厘米 （2）106.08立方厘米 【思路引导】（1）圆柱的体积：，圆锥的体积：，通过公式可知，等底的圆柱体积是圆锥体积的3倍。用圆柱容器内水的体积乘3后再除以圆锥容器的底面面积，就是圆锥容器恰好倒满时圆锥容器的高度，据此解答； （2）原来圆柱内水的深度是6厘米，石块完全浸没，水的深度是8厘米，求出上升部分的体积，再减去后来加入水的体积，即可求出石块的体积，据此解答。 【完整解答】（1） （厘米） 答：选择高是18厘米的圆锥体容器。 （2） （立方厘米） 120毫升＝120立方厘米 226.08-120＝106.08（立方厘米） 答：石块的体积是106.08立方厘米。 1．（24-25六年级下·广东广州·期中）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（    ）。 A．1∶π B．π∶1 C．1∶2π D．2π∶1 【答案】A 【思路引导】通常情况下，圆柱的侧面沿着一条高剪开，展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高；根据题意，这个圆柱的侧面展开是一个正方形，则圆柱底面周长等于圆柱的高；根据圆柱的底面周长公式C＝πd，表示出底面直径与高的比，再化简即可解答。 【完整解答】d∶C ＝d∶（πd） ＝（d÷d）∶（πd÷d） ＝1∶π 所以，这个圆柱的底面直径与高的比是1∶π。 2．（24-25六年级下·广西百色·期中）如图，甲（底面直径10厘米），乙（底面直径12厘米）两个圆柱形容器中的水深都是8厘米，分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出）后，甲、乙两个容器水面高度是（    ）。 A．甲高 B．乙高 C．一样高 D．无法判断 【答案】A 【思路引导】水面上升的体积就是铁球的体积，水面上升的体积÷底面积＝水面上升的高度，底面积越小，水面上升的高度越高。 【完整解答】直径÷2＝半径，圆柱底面积＝圆周率×底面半径的平方，10厘米＜12厘米，因为甲的底面直径比乙的底面直径小，所以甲的底面积比乙的底面积小，甲容器水面上升的高度比乙高，因此放入铁球后，水面高度是甲高。 3．（24-25六年级上·广东梅州·期中）如图，圆锥形玻璃容器内装满水，如果将这些水全部倒入圆柱形容器中，（    ）正好装满。（玻璃厚度忽略不计） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此判断A、B两个选项； 对于C、D两个选项，根据圆锥的体积＝÷3求出题干中圆锥的体积，根据圆柱的体积＝求出C、D两个选项中圆柱的体积，再进行比较判断即可解答。 【完整解答】A．圆柱的底面直径与圆锥的底面直径相等，高也相等，所以将圆锥内的水全部倒入圆柱形容器中，圆柱形容器内的水是圆柱形容器高的，不能倒满； B．圆柱的底面直径与圆锥的底面直径相等，高等于5cm，是圆锥形玻璃容器的5÷15＝，所以全部倒入圆柱形容器中，正好倒满； C．圆锥形容器的体积＝××15÷3＝××15÷3＝ （），圆柱的体积＝××10＝××10＝×9×10＝90＝ （）， ＞ ，所以将这些水全部倒入圆柱形容器中，水会溢出，不能正好倒满； D．圆锥形容器的体积＝××15÷3＝××15÷3＝ （），圆柱的体积＝××15＝××15＝ （）， ＞ ，所以将这些水全部倒入圆柱形容器中，水会溢出，不能正好倒满。 故答案为：B 4．（24-25六年级下·四川遂宁·期中）把下图铁块依次放入到下边四个容器中，铁块均能完全浸没在水中，且水未溢出。容器底面数据如图所示，放入铁块后水位上升最少的是（    ）。（单位：cm） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】因为水位上升高度＝水上升的体积÷容器底面积，又因为容器中水上升的体积等于铁块体积，即水位上升高度＝÷容器底面积，因为不变可知容器底面积越大，水位上升越少。 【完整解答】每个容器中底面积的大小如下： A．（） B．8×8＝64（） C．5×9＝45（） D．10×4＝40（） 64＞50.24＞45＞40 B容器底面积最大，所以水位上升最少。 【考点剖析】利用“体积不变时，底面积越大，高度变化越小”的规律判断水位上升高度。 5．（24-25六年级下·湖南常德·期中）一个圆柱形水杯中盛有2.4cm高的水（如图，图中的单位：cm）。若把这个水杯中的水全部倒入一个圆锥形容器中，则恰好倒满。已知圆锥底面积是圆柱底面积的2倍，那么圆锥形容器的高是（    ）cm。 A．1.2 B．3.6 C．4.8 D．7.2 【答案】B 【思路引导】分析题目，圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×；假设圆柱底面积是S，圆锥的高是h，则圆锥的底面积就是2S，根据题意可得：2.4S＝2Sh×，进一步计算即可得到圆锥的高。 【完整解答】假设圆柱底面积是S，则圆锥的底面积就是2S，圆锥的高是h。 2.4S＝2Sh× 2.4S÷S＝Sh÷S h＝2.4 h÷＝2.4÷ h＝2.4× h＝3.6 因此，圆锥形容器的高是3.6cm。 故答案为：B 【考点剖析】明确水的体积是不变的，所以两种形状水的体积是相等的，据此列出关系式，即可求解。 6．（24-25六年级下·广东广州·期中）一个圆锥形状的沙石堆，底面积12平方米，高1.2米。如果用这堆沙石铺路，公路宽10米，沙石厚0.2米，能铺( )米长。 【答案】2.4 【思路引导】根据圆锥体积公式为×底面积×高先算出沙石堆的体积，再利用铺路后沙石的长方体体积与圆锥体积相等的关系，用体积除以公路的宽和高即可求出长度。 【完整解答】×12×1.2＝4×1.2＝4.8（立方米） 4.8÷10÷0.2＝2.4（米） 因此，能铺2.4米长。 7．（24-25六年级下·四川遂宁·期中）把一个底面积是6.28、高6dm的圆柱体铁块熔铸成一个底面积是12.56的圆锥体，圆锥体的高是( )dm。 【答案】9 【思路引导】因为，，熔铸前后体积不变，所以，即 ，两边同时乘3后再除以圆锥的底面积可得圆锥的高：＝，代入圆柱的底面积、圆柱的高、圆锥的底面积公式即可求出熔铸后圆锥的高。 【完整解答】3×6.28×6÷12.56 ＝18.84×6÷12.56 ＝113.04÷12.56 ＝9（dm） 8．（24-25六年级下·四川遂宁·期中）一个圆柱形的无盖铁皮水桶，从里面量，底面直径是6dm，深是4dm，做这个水桶至少要用铁皮( )，这个水桶的容积是( )。（铁皮厚度及连接处忽略） 【答案】 103.62 113.04 【思路引导】无盖水桶的铁皮面积包括“1个圆形底面积和侧面积”，依据圆的面积公式求出底面的面积，再依据计算出侧面面积，最后再将两者相加即可；再依据计算出水桶的容积。 【完整解答】r＝6÷2＝3（dm） （） 3.14×6×4＝75.36（） 75.36＋28.26＝103.62（） 28.26×4＝113.04（） 9．（24-25六年级下·河南南阳·期中）一个圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高扩大到原来的5倍，底面积扩大到原来的___________倍，侧面积扩大到原来的___________倍。 【答案】 9 15 【思路引导】圆柱底面积公式为S＝πr2，侧面积公式为S侧＝2πrh。当底面半径和高发生变化时，根据积的变化规律（因数扩大倍数的乘积等于积扩大的倍数），分别分析底面积和侧面积的变化情况，依据公式和规律推导，据此解答。 【完整解答】分析底面积的变化： 设原来圆柱底面半径为r，则原来底面积S1＝πr2。 现在底面半径扩大到原来的3倍，即新半径r2＝3r，新底面积S2＝π（3r）2＝9πr2 。 那么底面积扩大的倍数为＝＝9。 分析侧面积的变化： 设原来圆柱的高为h，则原来侧面积S侧1＝2πrh。现在底面半径扩大到原来的3倍，高扩大到原来的5倍，新侧面积S侧2＝2π×（3r）×（5h）＝30πrh 。 侧面积扩大的倍数为＝＝15。 底面积扩大到原来的9倍，侧面积扩大到原来的15倍。 【考点剖析】关键是熟练运用圆柱底面积和侧面积公式，结合积的变化规律分析；易错点是对公式中半径平方、半径与高乘积的变化理解不清晰，要分别针对底面积（半径平方倍变化）和侧面积（半径与高乘积倍变化）准确推导。 10．（24-25六年级下·江西赣州·期中）一根长9m的圆柱形木头按5∶4截成一长一短两个小圆柱，表面积增加了，截成的较长的圆柱的体积是( )，原来圆柱的侧面积是( )；与原来圆柱等底等高的圆锥的体积是( )。 【答案】 15700 5652 9420 【思路引导】因为1m＝10dm，所以9m为9×10＝90dm。圆柱形木头截成两段后，表面积增加的是两个底面的面积，已知表面积增加了628dm2，那么一个底面的面积为628÷2＝314（dm2）。 木头按5∶4截成两段，总份数是（5＋4）份，较长圆柱的高占5份，所以较长圆柱的高90×＝50（dm）。 根据圆柱体积公式V＝Sh（S是底面积，h是高），把底面积314dm2和高50dm代入公式计算即可得到较长的圆柱的体积。 圆柱侧面积公式是S＝Ch（C是底面周长，h是高），由圆的面积公式S＝πr2，已知S＝314dm2，π取3.14，可得r2为314÷3.14＝100dm，因为100＝10×10，所以r＝10dm。根据圆的周长公式C＝2πr，可得周长为2×3.14×10＝62.8（dm），原来圆柱高90dm，所以用62.8乘90可得出原来圆柱的侧面积。 等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，πr2为314dm2，h为90dm，代入公式可得原来圆柱体积为314×90＝28260（dm3），用28260乘即可得到等底等高的圆锥体积。 【完整解答】1m＝10dm 9×10＝90（dm） 628÷2＝314（dm2） 90×＝50（dm） 较长圆柱体积：314×50＝15700（dm3） 314÷3.14＝100（dm） 100＝10×10 2×3.14×10＝62.8（dm） 圆柱侧面积：62.8×90＝5652（dm2） 314×90＝28260（dm3） 等底等高的圆锥体积：28260×＝9420（dm3） 截成的较长的圆柱的体积是15700，原来圆柱的侧面积是5652；与原来圆柱等底等高的圆锥的体积是9420。 【考点剖析】本题需注意单位统一及表面积增加的含义。利用截圆柱增加底面积求底面积，结合比例算高，再用公式求体积、侧面积，依据等底等高圆锥与圆柱体积关系求圆锥体积。主要是对各个公式的熟练运用。 11．（24-25六年级下·四川绵阳·期中）以直角三角形的任意一条边所在的直线为轴旋转一周，都可以得到一个圆锥。( )（判断对错） 【答案】× 【完整解答】以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥；但以斜边所在的直线为轴旋转一周，会得到一个不同的几何体，不是圆锥。原说法错误。 故答案为：× 12．（24-25六年级下·河南郑州·期中）圆柱的底面直径扩大到原来的4倍，高缩小到原来的，它的体积不变。( )（判断对错） 【答案】 × 【思路引导】圆柱体积公式为V＝。假设原来圆柱的半径是1，高是4，底面直径扩大到原来的4倍，半径也扩大到原来的4倍，即变化后的圆柱的半径是。高缩小到原来的，即变化后的圆柱的高是。分别代入数据求出原来圆柱和变化后圆柱的体积，再比较。 【完整解答】原圆柱体积： 变化后的圆柱体积： ，且 圆柱的底面直径扩大到原来的4倍，高缩小到原来的，体积扩大到原来的4倍，原题说法错误。 故答案为：× 13．（24-25六年级下·河南信阳·期中）求下面图形的体积。 【答案】100.48cm3 【思路引导】观察可知，图形的体积＝圆柱体积＋圆锥体积，根据半径＝直径÷2，圆柱的体积公式，圆锥的体积公式，代入数据计算即可。 【完整解答】 （cm3） 图形的体积是100.48cm3。 14．计算下列图形的体积和表面积。 ①求图①组合体的体积（单位：厘米）。 ②求图②的表面积（单位：分米）。 【答案】①2939.04立方厘米 ②464平方分米 【思路引导】①组合图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据V柱＝πr2h，V锥＝πr2h，代入数据计算即可。 ②观察图形，上、下两个半圆可以组成一个圆；图形的表面积＝圆柱的底面积＋圆柱侧面积的一半＋长方形的面积；根据S底＝πr2，S侧＝πdh，S长＝ab，代入数据计算即可。 【完整解答】①圆柱的体积： 3.14×（12÷2）2×20 ＝3.14×36×20 ＝113.04×20 ＝2260.8（立方厘米） 圆锥的体积： ×3.14×（12÷2）2×18 ＝×3.14×36×18 ＝3.14×216 ＝678.24（立方厘米） 一共：2260.8＋678.24＝2939.04（立方厘米） 图①组合体的体积是2939.04立方厘米。 ②圆柱的底面积： 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×25 ＝78.5（平方分米） 圆柱侧面积的一半： 3.14×10×15÷2 ＝31.4×15÷2 ＝471÷2 ＝235.5（平方分米） 长方形的面积： 15×10＝150（平方分米） 一共：78.5＋235.5＋150＝464（平方分米） 图②的表面积是464平方分米。 15．（24-25六年级下·河北张家口·期中）如图所示，有一块长方形铁皮，把其中的涂色部分剪下来制成一个圆柱形油桶。求圆柱形油桶的表面积。 【答案】131.88平方分米 【思路引导】根据圆柱形的特点，可以得出圆柱的底面周长是18.84，根据底面直径＝底面周长÷π得出圆柱的直径是6分米。圆柱的高＝长方形铁皮的宽－圆柱的直径，最后根据圆柱的表面积＝πdh＋2πr2，代入数据计算即可。 【完整解答】18.84÷3.14＝6（分米） 10－6＝4（分米） 3.14×6×4＋3.14×（6÷2）2×2 ＝3.14×24＋3.14×32×2 ＝75.36＋3.14×9×2 ＝75.36＋3.14×18 ＝75.36＋56.52 ＝131.88（平方分米） 答：圆柱形油桶的表面积131.88平方分米。 16．（24-25六年级下·河北石家庄·期中）一个圆柱形水池，底面直径是10米，深2米。 （1）在水池的底面和四周抹上水泥，抹水泥的面积是多少？ （2）若水池内装水至离池口0.5米处，水的体积是多少立方米？ 【答案】（1）141.3平方米 （2）117.75立方米 【思路引导】（1）根据题意，在圆柱形水池的底面和四周抹上水泥，那么抹水泥的面积＝圆柱的一个底面积＋圆柱的侧面积；根据圆的面积公式S＝πr2，圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，代入数据计算求解。 （2）若水池内装水至离池口0.5米处，则水深（2－0.5）米，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出水的体积。 【完整解答】（1）3.14×（10÷2）2＋3.14×10×2 ＝3.14×52＋3.14×10×2 ＝3.14×25＋3.14×10×2 ＝78.5＋62.8 ＝141.3（平方米） 答：抹水泥的面积是141.3平方米。 （2）3.14×（10÷2）2×（2－0.5） ＝3.14×52×1.5 ＝3.14×25×1.5 ＝78.5×1.5 ＝117.75（立方米） 答：水的体积是117.75立方米。 17．（24-25六年级下·河北张家口·期中）实验小学在操场上挖了一个长4.5米，宽2米，深0.9米的坑，准备铺上沙子练习跳远。现有一个圆锥形沙堆，底面积是18.84平方米，高是0.9米，把这些沙子铺在坑内，可以铺多厚？ 【答案】0.628米 【思路引导】根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数值计算出这堆圆锥形沙堆的总体积，把这堆沙子铺在长方体沙坑内，沙子的总体积不变，已知长方体的体积＝长×宽×高，用圆锥形沙堆的体积除以长方体的底面积，所得结果即为可以铺的厚度。 【完整解答】18.84×0.9×÷（4.5×2） ＝16.956×÷9 ＝5.652÷9 ＝0.628（米） 答：大约可以铺0.628米。 18．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一个装满水的圆锥形容器，底面半径为4厘米，高为30厘米。将这些水全部倒入一个长方体水槽中，已知这个长方体水槽的长、宽、高分别为10厘米、6厘米、15厘米。（π取3） （1）这个长方体水槽中水的深度是多少厘米？ （2）如果把一个底面半径为2厘米的圆柱形铁块A垂直放入长方体水槽中，当它的一个底面在水中与长方体水槽的底面完全接触时，仍有的铁块露出水面，圆柱形铁块A的高度是多少厘米？ （3）在（2）的条件下，如果再将同样规格的另一个圆柱形铁块B也垂直放入长方体水槽中，此时两个铁块还能有露出水面的部分吗？若有露出水面的部分，请求出圆柱形铁块A露出水面部分的高是多少厘米？若没有露出水面的部分，请求出长方体水槽中的水面上升了多少厘米？ 【答案】（1）8厘米 （2）13厘米 （3）3.2厘米 【思路引导】（1）已知装满水的圆锥形容器的底面半径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出水的体积； 再将这些水全部倒入一个长方体水槽中，则水的体积不变，根据长方体的体积＝长×宽×高，可知长方体的高＝体积÷（长×宽），据此求出这个长方体水槽中水的深度。 （2）根据题意，放入圆柱形铁块A后，铁块仍有露出水面的部分；那么长方体水槽内水的底面积等于长方体的底面积减去圆柱形铁块的底面积，根据长方体的底面积S＝ab，圆柱的底面积S＝πr2，代入数据计算，求出此时水槽内水的底面积；水的体积不变，根据公式h＝V÷S求出此时水槽内水的高度，也就是铁块浸入水中的长度； 把圆柱形铁块的全长看作单位“1”，露出水面的部分占全长的，则铁块浸入水中的部分占全长的（1－），单位“1”未知，用铁块浸入水中的长度除以（1－），求出圆柱形铁块的全长。 （3）假设放入两个铁块后，铁块还能有露出水面的部分；仿照（2）的解法，此时水槽内水的底面积等于长方体的底面积减去2个圆柱形铁块的底面积，水的体积不变，根据公式h＝V÷S求出此时水槽内水的高度；再与圆柱形铁块的高度进行比较，得出两个铁块没有露出水面的部分，即是完全浸入。 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出两个铁块的体积之和，再加上原来水的体积，即是两个铁块完全浸入水中的总体积；用总体积除以长方体水槽的底面积，即可求出此时水的高度，再减去（2）的水深，求出水面上升的高度。 【完整解答】（1）水的体积： ×3×42×30 ＝×3×16×30 ＝480（立方厘米） 水的深度： 480÷（10×6） ＝480÷60 ＝8（厘米） 答：这个长方体水槽中水的深度是8厘米。 （2）放入圆柱形铁块A后水的深度： 480÷（10×6－3×22） ＝480÷（10×6－3×4） ＝480÷（60－12） ＝480÷48 ＝10（厘米） 铁块A的高度： 10÷（1－） ＝10÷ ＝10× ＝13（厘米） 答：圆柱形铁块A的高度是13厘米。 （3）假设放入两个铁块后，铁块还能有露出水面的部分，此时水的深度为： 480÷（10×6－3×22×2） ＝480÷（10×6－3×4×2） ＝480÷（60－24） ＝480÷36 ＝（厘米） ＞13，两个铁块没有露出水面的部分。 两个铁块的体积： 3×22×13×2 ＝3×4×13×2 ＝312（立方厘米） 放入两个铁块后水槽内水的深度： （480＋312）÷（10×6） ＝792÷60 ＝13.2（厘米） 水面上升了： 13.2－10＝3.2（厘米） 答：此时两个铁块没有露出水面的部分。长方体水槽中的水面上升了3.2厘米。 【考点剖析】（1）本题考查圆锥、长方体的体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键。 （2）因为往长方体水槽内放入1个圆柱形铁块后，铁块有露出水面的部分；此时水的底面积不再是长方体水槽的底面积，而是水槽的底面积减去圆柱的底面积的差，因为水的体积不变，根据公式h＝V÷S即可求出此时水槽内水的深度，再根据分数除法的意义求出铁块的高度。 （3）先假设放入两个铁块后，铁块还能有露出水面的部分，仿照上一题的算法，求出此时水的深度，与圆柱形铁块的高度进行比较，确定铁块没有露出水面，即完全浸入。根据完全浸入时水的深度的求法，用原来水的体积加上2个铁块的体积，再除以长方体水槽的底面积，即可求出此时水的深度。 19．（2024·四川内江·小升初真题）把一个圆柱沿底面直径竖直切成四块（如图①），表面积增加了48平方厘米；平行于底面切成三块（如图②），表面积增加了50.24平方厘米；削成一个最大的圆锥（如图③），体积减少了多少立方厘米？ 【答案】25.12立方厘米 【思路引导】根据图②的切分方法可知，增加的表面积是4个圆柱的底面的面积，先用增加的表面积除以4，求出圆柱的底面积，再根据圆的面积公式S＝πr2，求出半径的平方即r2的值，进而推导出圆的半径； 根据图①的切分方法可知，增加的表面积是以圆柱的高的长度为长，底面半径的长度为宽的8个长方形的面积，先用增加的表面积除以8，再除以半径，即可求出圆柱的高； 把这个圆柱削成一个最大的圆锥，则圆柱和圆锥等底等高，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，求出圆柱和圆锥的体积，再相减，即是减少的体积。 【完整解答】底面积：50.24÷4＝12.56（平方厘米） 半径的平方：12.56÷3.14＝4（平方厘米） 因为4＝2×2，所以圆的半径是2厘米； 圆柱的高：48÷8÷2＝3（厘米） 减少的体积： 3.14×22×3－×3.14×22×3 ＝3.14×4×3－×3.14×4×3 ＝37.68－12.56 ＝25.12（立方厘米） 答：体积减小了25.12立方厘米。 【考点剖析】掌握圆柱切割的特点，明确表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，利用公式求出圆柱的底面半径和高，再根据等底等高的圆柱、圆锥的体积关系求解。 20．（23-24六年级下·河南南阳·期中）如图，一个果汁瓶，它的瓶身呈圆柱形，容积为462毫升。当瓶子正放时，瓶内液面高为12厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。瓶内装有果汁多少毫升？ 【答案】396毫升 【思路引导】要求瓶内果汁的体积，则需先求出瓶子的底面积。圆柱形瓶子的体积即是它的容积，圆柱的体积＝底面积×高；由于果汁在瓶内的体积不变，瓶内空余部分的体积也是不变的，所以假设瓶身全部呈圆柱形的话，放正时液面的高度＋放倒后空余部分的高度＝圆柱的高，即（12＋2）厘米；结合容积为462毫升，用容积除以圆柱的高，就能得到瓶子的底面积，从而根据圆柱的体积＝底面积×高，求出果汁的体积。 【完整解答】462毫升＝462立方厘米 圆柱的底面积：462÷（12＋2） ＝462÷14 ＝33（平方厘米） 瓶内果汁的体积：33×12＝396（立方厘米） 396立方厘米＝396毫升 答：瓶内装有果汁396毫升。 【考点剖析】解决此题的关键是理解前后两次瓶子的放置，后面空余部分就是前面的空余部分。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学六年级下册期中专项复习精讲练【重点突破】 第三单元 圆柱和圆锥【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+15个考点讲练+真题提优练 共65题】 （原卷版） 知识点一：圆柱的认识和特征 1. 圆柱的形成 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱，生活中常见的圆柱形物体有水杯、固体胶棒、卷纸、树桩等等。 2. 圆柱的特征 （1）圆柱是由两个圆面和一个曲面组成的，两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。 （2）圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高，任意一个圆柱都有无数条高。 知识点二：圆柱的侧面展开图 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点三：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点四：圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点五：圆柱的旋转构成法 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点六：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点七：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点八：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点九：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十：圆锥的认识和特征 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点十一：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点十二：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 考点讲练一 圆柱的认识及特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级上·四川内江·期中）用一张长25.12cm，宽12.56cm的长方形纸围成一个圆柱，有两种围法。一种围法圆柱的高是( )cm，底面周长是( )cm；另一种围法圆柱的高是( )cm，底面积是( )cm2。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列图形中，（    ）是圆柱的展开图。 A． B． C． 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）生活中，人们经常需要把同样大小的圆柱管捆扎成一排（横截面如图）。每个圆柱管的外直径都是8厘米，打结处绳子的长度不计。    (1)捆扎3个圆柱管一圈需要( )厘米长的绳子。 (2)捆扎n个圆柱管一圈需要( )厘米长的绳子。 考点讲练二 圆柱的展开图 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北廊坊·期中）丫丫将一张长方形纸片（如图）沿两边卷成不同的圆柱形纸筒（接口处不重叠，无缝隙），并给两个纸筒都配上对应的底面，下面说法正确的是（    ）。 A．甲圆柱的表面积比乙大 B．乙圆柱的表面积比甲大 C．甲、乙两个圆柱的表面积相等 D．无法确定两个圆柱表面积的大小关系 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北保定·期中）工厂生产圆柱形通风管，一个圆柱形通风管的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（    ）。 A．1∶ B．1∶ C．∶1 【变式2】（难度：☆☆☆☆）如图一个圆柱的侧面展开图为一个正方形，沿着圆柱的高从底面的正中间切开，切面长方形的一个面积是100平方厘米，圆柱的底面积是( )平方厘米。 考点讲练三 圆柱的侧面积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·四川遂宁·期中）高升讲堂大门口有2根底面直径为0.5米，高3米的圆柱形柱子，现在要给它们刷油漆，如果每平方米用0.5千克油漆，刷这两根柱子一共要多少千克油漆？ 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北保定·期中）计算下面图形的表面积。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）一个底面直径是8cm，高是15cm的圆柱木头，如果沿着上下底面的直径切开，表面积增加了( )cm2；如果把圆柱木头切成3个小圆柱，表面积增加了( )cm2；如果把圆木头的高减少2cm，表面积就减少了( )cm2。 考点讲练四 圆柱的表面积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·湖北十堰·期中）月饼象征着团圆，可以近似看作圆柱，切掉后，剩下的月饼表面积是多少？ 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·湖北十堰·期中）一顶帽子，上面是直径2dm，高1dm的圆柱形（有帽顶），做这顶帽子，至少要用( )的布料（接头处忽略不计）。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）一段圆木，如果截成两段圆柱，表面积增加了12.56dm2；如果沿着直径劈成两个半圆柱（如图），表面积增加了120dm2，这个圆柱的表面积是( )dm2。 考点讲练五 组合体的表面积（圆柱） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·福建厦门·期中）如图，综合实践课，小明制作了一顶帽子（单位：厘米），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布( )平方厘米。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北秦皇岛·期中）计算下面立体图形的表面积。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）如图，将三个圆柱叠在一起，表面积减少了( )平方分米。 考点讲练六 圆柱的体积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·江西九江·期中）一个圆柱沿高剪开后是一个边长为6.28分米的正方形，这个圆柱的侧面积是( )平方分米，体积是( )。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（25-26六年级上·广东中山·期中）挖一个圆柱形水池，底面直径20米，深1.8米。 （1）这个圆柱形水池的占地面积是多少平方米？ （2）如果在水池的底面和四周抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （3）挖这个水池需挖土多少立方米？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·福建莆田·期末）李强用铁皮分别做了两个无盖的容器，一个是圆柱体A，一个是长方体B（如图所示），并用一根连通管把这两个容器相连通。 （1）做长方体容器B至少用了多少铁皮？ （2）李强把容器B装满水后，打开连接阀，使容器B里的水向容器A内流。当两个容器内的水一样高时，水面的高度是多少厘米？（连通管内的水量忽略不计） 考点讲练七 圆柱的容积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·安徽黄山·期中）登高望远。 古人云“五岳归来不看山，黄山归来不看岳”，为了满足登山需求，聪聪带了两个圆柱形水杯，大水杯内直径16厘米，高30厘米，小水杯内直径8厘米，高30厘米。聪聪认为：小水杯与大水杯高相等，小水杯的内直径刚好是大水杯的一半，如果装满水，小水杯的装水量也刚好是大水杯的一半。聪聪的想法对吗？为什么？ 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北保定·期中）同学们制作圆柱形无盖笔筒，已知一个笔筒的底面半径是4厘米，高是7厘米，则它的侧面积是( )平方厘米，制作一个笔筒至少需要( )平方厘米的硬纸板，笔筒的最大容积是( )立方厘米。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）如图，阴影部分的两个圆和一个长方形铁皮，正好可以做成一个油桶，求油桶的容积。 考点讲练八 立体图形的切拼（圆柱) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·甘肃庆阳·期中）工人把一块长15.7dm、宽8dm、高5dm的长方体钢坯熔铸成一根底面直径为4dm的圆柱形钢材，这根钢材的长度是( )dm，如果把这根圆柱形钢材沿底面直径切割成两部分，那么表面积增加( )dm2。 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北保定·期中）如图，把一个圆柱等分成若干偶数份后拼成一个近似的长方体，已知拼成的长方体前面的面积比右面的面积大25.68平方分米，这个长方体高6分米。这个圆柱的体积是多少？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·江西南昌·期中）将一根长2m的圆木，截成4段（如图），表面积增加了24。原来这根木材的体积是( )。 考点讲练九 圆锥的认识及特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）如图，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周得到一个( )，得到的这个图形的高是( )cm，底面积是( )cm2。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·福建厦门·期中）乐乐从正方形卡纸上剪下一个圆形和扇形（如图1），恰好围成一个圆锥模型（如图2），如果圆的半径为r，扇形半径为R，则r∶R为（    ）。 A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 【变式2】（难度：☆☆☆☆）直角三角形ABC（如下图），以直角边AB为轴旋转360°后得到的是（    ）。 A．底面半径是8cm，高是6cm的圆锥 B．底面直径是8cm，高是6cm的圆锥 C．底面半径是6cm，高是8cm的圆锥 D．底面直径是6cm，高是8cm的圆锥 考点讲练十 圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·江苏淮安·期中）同学们根据“圆柱容球”设计了如下图所示的三个模型，请你思考并想象。 圆柱容球是古希腊数学家阿基米德的伟大发现之一。当圆柱容球时，球的直径与圆柱的高和底面直径相等。此时，球的体积是圆柱体积的三分之二。 （1）小雨将图1的长方形绕轴快速旋转一周，形成一个（    ）体，它的体积是（    ）立方厘米。 （2）小浩将图2的半圆绕轴快速旋转一周，形成一个（    ）体，根据“圆柱容球”可知，它的体积是（    ）立方厘米。 （3）小萱将图3的模型绕轴快速旋转一周，能形成一个形状如圆柱挖去一个等底、等高圆锥的几何体。她认为这个几何体的体积和图2的半圆绕轴快速旋转一周形成的几何体的体积相同，你同意她的看法吗？请说明理由。 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·河南郑州·期中）如图，一个圆柱形木材被截去5厘米后，表面积比原来减少了62.8平方厘米，若将与原来完全一样的圆柱形木材削成一个最大的圆锥，则这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（2025六年级下·全国·专题练习）一个圆柱体木块如果切成完全一样的两块（如图①），表面积增加48cm2；如果切成完全一样的三块（如图②），表面积增加50.24cm2；如果削成一个最大的圆锥体（如图③），体积减少了( )cm3。 考点讲练十一 圆锥的体积（容积) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北邯郸·期中）一个底面直径是16cm的圆柱形容器中装有水，把一个底面周长是25.12cm、高6cm的圆锥形铁块完全浸没在水中（水未溢出），水面上升了多少厘米？ 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东菏泽·期中）有等底等高的圆柱和圆锥容器各一个，将圆柱容器内装满水后，倒入圆锥容器内。当圆柱容器里的水全部倒光时，溢出了21.6毫升，这时圆锥容器里有水( )毫升。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·海南省直辖县级单位·期中）一个圆柱形木块若切成4块（如图1），表面积增加48平方厘米；若切成3块（如图2），表面积增加50.24平方厘米，若削成一个最大的圆锥（如图3），体积减少( )立方厘米。 考点讲练十二 体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北保定·期中）一个杯子最上面部分是圆柱，中间部分是圆锥，下面是实心的杯挺和底座（如图）。一个底部内直径是10厘米的瓶子里，水的高度是7厘米，把这些水全部倒入图中的杯子里，圆锥顶点到水面的高度是多少厘米？（π取3） 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北石家庄·期中）把一个底面直径是6cm、高10cm的圆锥体铁块熔铸成一个圆柱体，若圆柱的高是5cm，圆柱的底面积是( )cm2。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）如图，在一个盛有450毫升水的量杯中，放入一个圆柱，水面对应的刻度为600毫升。若再放入一个与圆柱等底等高的圆锥，则此时水面对应的刻度为____________毫升。 考点讲练十三 立体图形的切拼（圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东广州·期中）如图是棱长为6厘米的正方体，它的体积是( )立方厘米。将它削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东珠海·期中）把一个棱长为6分米的正方体木块加工成一个最大的圆锥，体积比原来减少了（    ）立方分米。 A．56.52 B．159.48 C．169.54 D．216 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·湖北襄阳·期中）把一个底面直径是4厘米，高是6厘米的圆柱形钢材平行于底面截成三段小圆柱，表面积增加了( )平方厘米；把一个底面直径是4厘米，高是6厘米的圆柱形钢材沿直径切成两个半圆柱，表面积增加了( )平方厘米；把一个底面直径是4厘米，高是6厘米的圆锥形钢材从顶点到直径切成两个半圆锥表面积增加了( )平方厘米。 考点讲练十四 组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·湖北孝感·期中）计算下面组合图形的体积。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·贵州黔南·期中）“民以食为天”，在老百姓的眼里，“粮”就是“天”。种粮专业户李大伯承包的水稻迎来大丰收，正好装满这个粮囤。这个粮囤上面是圆锥形，下面是圆柱形（如图）。从里面量得圆柱和圆锥底面的周长都是6.28米，圆柱高2米，圆锥高1.5米。每立方米水稻约重0.6吨，这个粮囤能装水稻多少吨？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（23-24六年级下·河北保定·期末）建新小学为了让学生更多的了解航天事业，科技社团在老师的指导下准备用塑料板制作小“火箭”模型，小火箭的主体部分是由圆柱和圆锥两部分组成，要求圆锥的高是圆柱的。（如图） （1）首先制作了“火箭”模型的上部分圆锥形（如图）。 接下来制作圆柱部分的侧面和一个底面，侧面应该设计成什么样子？请把圆柱侧面展开的示意图画在下面，并标出相关数据。（接头处忽略不计） （2）要解决“火箭”模型的体积是多少立方厘米。下面是三位同学的做法，你认为谁的正确，请在同学名字后面打“√”。 请你选择一种正确的方法，写出解题思路。我选择的是（    ）方法。 解题思路： 考点讲练十五 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·江西鹰潭·期中）两个大小相同的量杯中都盛有水。现将两个等底等高的圆柱和圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度是，则乙量杯中水面刻度是（    ）mL。（零件均完全淹没水中） A．40 B．120 C．240 D．280 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·江西鹰潭·期中）在一个底面半径是10厘米的圆柱形容器中装有水，正好能完全浸没一个底面半径是4厘米，高是6厘米的圆锥形铁块（如图）。现将铁块从容器中取出后，水面会下降多少厘米？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·浙江杭州·期中）在学习了圆柱和圆锥的体积之后，琪琪用圆柱体容器和圆锥体容器进行了下面两个实验： （1）实验一：琪琪在圆柱体容器里面装了一些水（如图），水深6厘米，再将这些水倒入一个圆锥体容器中。如果倒入等底的圆锥体容器中恰好倒满，则琪琪应该选择高是多少厘米的圆锥体容器？ （2）实验二：琪琪按下面的步骤测量了一块不规则石头的体积。根据测量过程，你能求出石头的体积吗？ 1．（24-25六年级下·广东广州·期中）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（    ）。 A．1∶π B．π∶1 C．1∶2π D．2π∶1 2．（24-25六年级下·广西百色·期中）如图，甲（底面直径10厘米），乙（底面直径12厘米）两个圆柱形容器中的水深都是8厘米，分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出）后，甲、乙两个容器水面高度是（    ）。 A．甲高 B．乙高 C．一样高 D．无法判断 3．（24-25六年级上·广东梅州·期中）如图，圆锥形玻璃容器内装满水，如果将这些水全部倒入圆柱形容器中，（    ）正好装满。（玻璃厚度忽略不计） A． B． C． D． 4．（24-25六年级下·四川遂宁·期中）把下图铁块依次放入到下边四个容器中，铁块均能完全浸没在水中，且水未溢出。容器底面数据如图所示，放入铁块后水位上升最少的是（    ）。（单位：cm） A． B． C． D． 5．（24-25六年级下·湖南常德·期中）一个圆柱形水杯中盛有2.4cm高的水（如图，图中的单位：cm）。若把这个水杯中的水全部倒入一个圆锥形容器中，则恰好倒满。已知圆锥底面积是圆柱底面积的2倍，那么圆锥形容器的高是（    ）cm。 A．1.2 B．3.6 C．4.8 D．7.2 6．（24-25六年级下·广东广州·期中）一个圆锥形状的沙石堆，底面积12平方米，高1.2米。如果用这堆沙石铺路，公路宽10米，沙石厚0.2米，能铺( )米长。 7．（24-25六年级下·四川遂宁·期中）把一个底面积是6.28、高6dm的圆柱体铁块熔铸成一个底面积是12.56的圆锥体，圆锥体的高是( )dm。 8．（24-25六年级下·四川遂宁·期中）一个圆柱形的无盖铁皮水桶，从里面量，底面直径是6dm，深是4dm，做这个水桶至少要用铁皮( )，这个水桶的容积是( )。（铁皮厚度及连接处忽略） 9．（24-25六年级下·河南南阳·期中）一个圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高扩大到原来的5倍，底面积扩大到原来的___________倍，侧面积扩大到原来的___________倍。 10．（24-25六年级下·江西赣州·期中）一根长9m的圆柱形木头按5∶4截成一长一短两个小圆柱，表面积增加了，截成的较长的圆柱的体积是( )，原来圆柱的侧面积是( )；与原来圆柱等底等高的圆锥的体积是( )。 11．（24-25六年级下·四川绵阳·期中）以直角三角形的任意一条边所在的直线为轴旋转一周，都可以得到一个圆锥。( )（判断对错） 12．（24-25六年级下·河南郑州·期中）圆柱的底面直径扩大到原来的4倍，高缩小到原来的，它的体积不变。( )（判断对错） 13．（24-25六年级下·河南信阳·期中）求下面图形的体积。 14．计算下列图形的体积和表面积。 ①求图①组合体的体积（单位：厘米）。 ②求图②的表面积（单位：分米）。 15．（24-25六年级下·河北张家口·期中）如图所示，有一块长方形铁皮，把其中的涂色部分剪下来制成一个圆柱形油桶。求圆柱形油桶的表面积。 16．（24-25六年级下·河北石家庄·期中）一个圆柱形水池，底面直径是10米，深2米。 （1）在水池的底面和四周抹上水泥，抹水泥的面积是多少？ （2）若水池内装水至离池口0.5米处，水的体积是多少立方米？ 17．（24-25六年级下·河北张家口·期中）实验小学在操场上挖了一个长4.5米，宽2米，深0.9米的坑，准备铺上沙子练习跳远。现有一个圆锥形沙堆，底面积是18.84平方米，高是0.9米，把这些沙子铺在坑内，可以铺多厚？ 18．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一个装满水的圆锥形容器，底面半径为4厘米，高为30厘米。将这些水全部倒入一个长方体水槽中，已知这个长方体水槽的长、宽、高分别为10厘米、6厘米、15厘米。（π取3） （1）这个长方体水槽中水的深度是多少厘米？ （2）如果把一个底面半径为2厘米的圆柱形铁块A垂直放入长方体水槽中，当它的一个底面在水中与长方体水槽的底面完全接触时，仍有的铁块露出水面，圆柱形铁块A的高度是多少厘米？ （3）在（2）的条件下，如果再将同样规格的另一个圆柱形铁块B也垂直放入长方体水槽中，此时两个铁块还能有露出水面的部分吗？若有露出水面的部分，请求出圆柱形铁块A露出水面部分的高是多少厘米？若没有露出水面的部分，请求出长方体水槽中的水面上升了多少厘米？ 19．（2024·四川内江·小升初真题）把一个圆柱沿底面直径竖直切成四块（如图①），表面积增加了48平方厘米；平行于底面切成三块（如图②），表面积增加了50.24平方厘米；削成一个最大的圆锥（如图③），体积减少了多少立方厘米？ 20．（23-24六年级下·河南南阳·期中）如图，一个果汁瓶，它的瓶身呈圆柱形，容积为462毫升。当瓶子正放时，瓶内液面高为12厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。瓶内装有果汁多少毫升？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $