专题01 整式的乘除（期中真题汇编，山东专用）七年级数学下学期

专题01 整式的乘除 4大高频考点概览 考点01幂的乘除 考点02科学记数法 考点03整式的乘法 考点04 整式的除法 考点05 乘法公式 ( 考点01 幂的乘除 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知，那么的值为_____． 5．（24-25七年级下·山东青岛·期中）若，则的值是______． 6．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）已知，为正整数，则___________． 7．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）计算： ________． 三、解答题 8．（24-25七年级下·山东济南·期中）计算： (1) (2) 9．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 10．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）解答下列各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． ( 考点0 2 科学记数法 ) 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东临沂·期中）根据国家旅游局数据中心综合测算，今年国庆假期全国共接待游客约826000000人次， 将826000000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东聊城·期中）水由水分子组成，水中约有个水分子，则水中有（   ）个水分子． A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东济宁·期中）中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为吨，将用科学记数法表示为（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 4．（24-25七年级下·山东济南·期中）北宋词人晏殊笔下《破阵子・春景》中“燕子来时新社，梨花落后清明．池上碧苔三四点，叶底黄鹂一两声，日长飞絮轻”以清新自然的笔触展现春社至清明时节的生机盎然．若苔花的花粉直径约为，则数据0.0000084用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）某种感冒病毒的直径是米，用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）科学研究表明，语言模型在处理复杂度等级为的逻辑语句时，其单位样本错误概率为，人类受试者在相同复杂度等级的逻辑语句测试中，单位样本错误概率均值为．设错误概率的比值为，则下列选项中用科学记数法表示该比值正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·山东日照·期中）为推动国家重大战略稳步实施，加快发展新质生产力，国家财政安排2025年中央本级科技经费支出3981.19亿元，将“3981.19亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·山东日照·期中）2025年日照市“双节”期间，全市重点监测的18家旅游景区共接待游客约万人次．将数据“万”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）年牡丹花会期间，菏泽累计接待国内游客万人次，数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（24-25七年级下·山东聊城·期中）若2万粒芝麻的质量约为，则一粒芝麻的质量是_____（用科学记数法表示）． 11．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）已知某花粉的直径为米，数据用科学记数法表示为_________． ( 考点0 3 整式的乘法 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东青岛·期中）观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（    ）    A． B．， C． D．， 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）若的展开式中不含项，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）请看杨辉三角（如图），并观察下列等式： 根据前面各式的规律，则的第三项系数是（   ） A．730 B．741 C．780 D．820 二、解答题 4．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建两条宽为的小路，请用两种方法求小路的总面积． 5．（24-25七年级下·山东济南·期中）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为的小正方形纸片（类）、长为宽为的长方形纸片（类）以及边长为的大正方形纸片（类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． （1）用若干个类、类、类纸片拼成图1中的长方形，根据图形可以因式分解得_______________． （2）根据图2：若，，求的值． 【知识迁移】 类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （3）如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割（如图4），得到三个长方体①、②、③（如图5）．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为____________，长方体③的体积为____________（结果不需要化简）．则因式分解_______________． 【拓展延伸】 （4）尝试因式分解：； （5）应用：已知，，求出的值． 6．（24-25七年级下·山东青岛·期中）观察下列两位数相乘的算式 …… (1)利用规律计算；（计算过程需体现规律） (2)请你用字母表示发现的规律并说明规律的正确性． ( 考点0 4 整式的除法 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东青岛·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）若一个单项式与的积为，则这个单项式为________． 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）若，则的值为_______． 三、解答题 4．（24-25七年级下·山东青岛·期中）计算： (1)； (2) (3) (4)用乘法公式计算：； 5．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）计算： (1)； (2)． 6．（24-25七年级下·山东青岛·期中）先化简，再求值 ，其中． 7．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图1，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出（没重叠不留空隙）一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为__________________． (2)类似要拼成一个长为，宽为的长方形，则需A类卡片________张，B类卡片_________张，C类卡片_________张； (3)类似要拼成一个长为，宽为的长方形，则除需A类卡片、C类卡片若干张外，还需B类卡片_________张；（用m、n、p、q的代数式表示，其中m、n、p、q都是正整数） (4)如图4将12张长为b，宽为a（）的B类卡片，按如图方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，求此时B类卡片的长b与宽a的比值． 8．（24-25七年级下·山东济南·期中）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整． 例：先化简，再求值：，其中． 解： ____①____ 把代入上式，得：____②____ ____③____ 其中____④____ 9．（24-25七年级下·山东济南·期中）先化简再求值：，其中，． ( 考点0 5 乘法公式 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图1，将长为，宽为的长方形沿虚线剪成两个长方形，并将两部分拼成图2所示图形，通过计算两个图形中阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）给出下列式子： ①；    ② ③；    ④ 其中正确的是（   ） A．④ B．③ C．② D．① 4．（24-25七年级下·山东济南·期中）若可以配成一个完全平方公式，则的值为（   ） A． B． C．14 D．14或 5．（24-25七年级下·山东济南·期中）若能用完全平方公式分解因式，则k的值为（    ） A．5 B．7 C．5或 D．或7 6．（24-25七年级下·山东济南·期中）若是一个完全平方式，则m的值是（   ） A．4 B．或7 C．或4 D．7 二、填空题 7．（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知，，则_____． 三、解答题 8．（24-25七年级下·山东济南·期中）利用整式乘法公式计算： (1)； (2) 9．（24-25七年级下·山东济南·期中）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材：如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 任务1：将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：________（只填序号） 任务2：四张长为、宽为的长方形纸片按如图方式拼成了一个正方形，请你通过拼图写出、、之间的等量关系是________________________． 任务3：（1）若满足，求的值． （2）计算． 任务4：如图，正方形和正方形边长分别为，，若，，是的中点，求出图中的阴影部分面积的和． 10．（24-25七年级下·山东济南·期中）用简便方法计算： (1)； (2) 11．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，我们常常可以通过构造几何图形，用面积直观地推导公式． (1)观察下图，通过下图中阴影部分面积的表示可以得到我们熟悉的数学公式 ． (2)请你借助下面的正方形，画出能说明完全平方公式的图形，并在图上标注清楚相应的字母．（只画出图形，不写推理过程） (3)有两个大小不同的正方形A和B，现将A，B并列放置后构造新的正方形得到图①，其阴影部分的面积为20；将B放在A的内部得到图②，其阴影部分（正方形）的面积为9．求正方形A、B的面积之和． 12．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）先化简，后求值：，其中，． 13．（24-25七年级下·山东青岛·期中）【知识生成】 将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为的正方形和两个长方形． （1）用两种方法表示该大正方形的面积，可推导公式得：_____． 若，则该大正方形的边长为_____； 【知识运用】 （2）两正方形如图2方式摆放．正方形边长记为，正方形边长记为，点，，在一条直线上，点为的中点，若，求图中阴影部分的面积_____ 【知识拓展】 （3）如图3，观察棱长为的大正方体的分割，可得到． ①利用多项式的乘法法则，证明等式成立； ②已知，请直接写出的值：_____． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘除 4大高频考点概览 考点01幂的乘除 考点02科学记数法 考点03整式的乘法 考点04 整式的除法 考点05 乘法公式 ( 考点01 幂的乘除 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方和积的乘方计算，负整数指数幂，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据积的乘方法则进行计算，即可解答． 【详解】解：， 故选：A． 3．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方和积的乘方计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A． = = ，原式计算正确，符合题意； B． = = ，原式计算错误，不符合题意． C． = = ，原式计算错误，不符合题意． D． = = ，原式计算错误，不符合题意． 故选；A． 二、填空题 4．（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知，那么的值为_____． 【答案】18 【分析】根据题意，得，解答即可． 本题考查了同底数幂的除法的逆应用，幂的乘方的逆应用，熟练掌握公式的逆应用是解题的关键． 【详解】解：， 由， ∴， 故答案为：18． 5．（24-25七年级下·山东青岛·期中）若，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法运算，由已知可得，再利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法运算可把代数式转化为，进而把已知代入计算即可求解，掌握幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）已知，为正整数，则___________． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂相乘和幂的乘方的逆用．解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则． 先逆向运用同底数幂的乘法法则，再逆用幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）计算： ________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法．根据同底数幂的乘法法则计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 三、解答题 8．（24-25七年级下·山东济南·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂和有理数的乘方的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据负整数指数幂、零指数幂和有理数的乘方法则计算即可； （2）先算积的乘方和幂的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，幂的运算法则，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可求解； （2）将看作整体，根据同底数幂的除法法则计算即可求解； （1）先计算积的乘方和幂的乘方，再合并同类项即可求解； （2）将看作整体，根据同底数幂的乘除法法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：： ； （3）解 ； （4）解： ． 10．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）解答下列各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)68 【分析】本题主要考查同底数幂除法逆用，幂的乘方逆用，积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）逆用同底数幂除法运算法则进行计算即可； （2）逆用幂的乘方运算法则和积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴ ． ( 考点0 2 科学记数法 ) 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东临沂·期中）根据国家旅游局数据中心综合测算，今年国庆假期全国共接待游客约826000000人次， 将826000000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将826000000用科学记数法表示应为； 故选C． 2．（24-25七年级下·山东聊城·期中）水由水分子组成，水中约有个水分子，则水中有（   ）个水分子． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数乘方的应用，根据“水中约有个水分子，”，则水中含有的水分子的个数为，再利用有理数的乘方和同底数幂的乘方进行运算即可．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵水中约有个水分子，， ∴， ∴水中有个水分子． 故选：B． 3．（24-25七年级上·山东济宁·期中）中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为吨，将用科学记数法表示为（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值大于1的数的科学记数法，确定表示数的整数位数，减去1得到n；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 先确定表示数的整数位数，减去1得到n；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可． 【详解】∵， 故选 ：A． 4．（24-25七年级下·山东济南·期中）北宋词人晏殊笔下《破阵子・春景》中“燕子来时新社，梨花落后清明．池上碧苔三四点，叶底黄鹂一两声，日长飞絮轻”以清新自然的笔触展现春社至清明时节的生机盎然．若苔花的花粉直径约为，则数据0.0000084用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：B． 5．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）某种感冒病毒的直径是米，用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：A． 6．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）科学研究表明，语言模型在处理复杂度等级为的逻辑语句时，其单位样本错误概率为，人类受试者在相同复杂度等级的逻辑语句测试中，单位样本错误概率均值为．设错误概率的比值为，则下列选项中用科学记数法表示该比值正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 7．（25-26七年级上·山东日照·期中）为推动国家重大战略稳步实施，加快发展新质生产力，国家财政安排2025年中央本级科技经费支出3981.19亿元，将“3981.19亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：3981.19亿， 故选：B． 8．（25-26七年级上·山东日照·期中）2025年日照市“双节”期间，全市重点监测的18家旅游景区共接待游客约万人次．将数据“万”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：万． 故选：C 9．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）年牡丹花会期间，菏泽累计接待国内游客万人次，数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 将“万”转换为，然后将结果用科学记数法表示． 【详解】解：万， 故选：D． 二、填空题 10．（24-25七年级下·山东聊城·期中）若2万粒芝麻的质量约为，则一粒芝麻的质量是_____（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此求出一粒芝麻的质量即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）已知某花粉的直径为米，数据用科学记数法表示为_________． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 故答案为：． ( 考点0 3 整式的乘法 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东青岛·期中）观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（    ）    A． B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，理解题例的运算过程并发现规律是解决本题的关键．从题例两个多项式相乘的运算过程中发现规律，利用规律求出、． 【详解】解：根据题意，知：，， ，的值可能分别是，， 故选：A． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）若的展开式中不含项，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式不含某项问题，先根据多项式乘多项式的运算法则求出展开式，再根据展开式中不含项得一次项系数为，解之即可求解，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵展开式中不含项， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）请看杨辉三角（如图），并观察下列等式： 根据前面各式的规律，则的第三项系数是（   ） A．730 B．741 C．780 D．820 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，完全平方公式，数学常识．从数字找规律进行计算，即可解答． 【详解】解：的第三项系数为：1； 的第三项系数为：； 的第三项系数为：； …， 的第三项系数， 故选：C． 二、解答题 4．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建两条宽为的小路，请用两种方法求小路的总面积． 【答案】 【分析】本题考查列代数式、整式混合运算等知识，方法一：直接由长方形面积公式求出两条路的面积和即可；方法二：利用大长方形的面积减去草坪面积即可，根据题意准确列出代数式，并熟练掌握整式混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：法一： ， 小路总面积为； 法二： ， 小路总面积为． 5．（24-25七年级下·山东济南·期中）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为的小正方形纸片（类）、长为宽为的长方形纸片（类）以及边长为的大正方形纸片（类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． （1）用若干个类、类、类纸片拼成图1中的长方形，根据图形可以因式分解得_______________． （2）根据图2：若，，求的值． 【知识迁移】 类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （3）如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割（如图4），得到三个长方体①、②、③（如图5）．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为____________，长方体③的体积为____________（结果不需要化简）．则因式分解_______________． 【拓展延伸】 （4）尝试因式分解：； （5）应用：已知，，求出的值． 【答案】（1）； （2）12；（3）；；；（4）；（5） 【分析】本题考查因式分解的几何应用、列代数式，根据题中给出的信息，结合数形结合思想是解答的关键． （1）直接根据长方形的长和宽、结合长方形的面积公式求解即可； （2）根据图2正方形的面积，得到恒等式，即可计算求值； （3）结合图5，可知长方体②的体积，长方体③的体积，则； （4）由（3）可知：； （5）将变形为，再代入计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由图2得：， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）长方体②的体积， 长方体③的体积， 则， 故答案为：；；； （4）由（3）可知： ； （5）∵ ， ∵， ∴ ． 6．（24-25七年级下·山东青岛·期中）观察下列两位数相乘的算式 …… (1)利用规律计算；（计算过程需体现规律） (2)请你用字母表示发现的规律并说明规律的正确性． 【答案】(1) (2)（其中a、b为一个两位数的十位数字和个位数字），证明见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知，两个两位数相乘（十位数字之和为10，个数数字相同）的结果为十位数字相乘的结果加上个位数字后乘以100，再加上个数数字的平方，据此规律求解即可； （2）设第一个两位数的十位数字为，个位数字为，则，根据多项式乘以多项式的计算法则把等式左边展开证明即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴； （2）解：设第一个两位数的十位数字为，个位数字为，则，证明如下： ( 考点0 4 整式的除法 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东青岛·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式，熟练掌握整式运算法则和幂的运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则计算并判定A；根据幂的乘方计算并判定B；根据积的乘方计算并判定C；根据单项式乘以单项式法则计算并判定D． 【详解】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算正确，符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 2．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）若一个单项式与的积为，则这个单项式为________． 【答案】 【分析】此题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）若，则的值为_______． 【答案】17 【分析】本题考查平方差公式，代数式求值．先运用平方差公式与合并同类项法则对式子化简，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴． 故答案为：17 三、解答题 4．（24-25七年级下·山东青岛·期中）计算： (1)； (2) (3) (4)用乘法公式计算：； 【答案】(1)1 (2) (3) (4)4 【分析】（1）根据计算即可； （2）根据积的乘方，同底数幂乘法，除法计算解答即可． （3）利用平方差公式，完全平方公式解答即可． （4）根据题意，得解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，积的乘方，同底数幂乘法，同底数幂除法，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握公式与运算法则是解题的关键． 5．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方法则，单项式的乘除法则，合并同类项法则、平方差公式和完全平方公式．计算时一定要注意运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减． （1）先算积的乘方，再利用单项式的乘除法则计算乘除即可． （2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 6．（24-25七年级下·山东青岛·期中）先化简，再求值 ，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先利用乘法公式去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 7．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图1，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出（没重叠不留空隙）一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为__________________． (2)类似要拼成一个长为，宽为的长方形，则需A类卡片________张，B类卡片_________张，C类卡片_________张； (3)类似要拼成一个长为，宽为的长方形，则除需A类卡片、C类卡片若干张外，还需B类卡片_________张；（用m、n、p、q的代数式表示，其中m、n、p、q都是正整数） (4)如图4将12张长为b，宽为a（）的B类卡片，按如图方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，求此时B类卡片的长b与宽a的比值． 【答案】(1) (2)5，46，9 (3) (4)B类卡片的长b与宽a的比值为4 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、多项式除以单项式，完全平方公式，整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答； （3）计算，求出前的系数，即为类卡片的数量； （4）可得大长方形的长为，宽为，继而得到面积，根据阴影部分的面积是大长方形面积的，则空白面积占大长方形面积的，而空白面积为，即可建立等式，逆用完全平方公式化简即可． 【详解】（1）解：由． 故答案为：． （2）解：∵， ∴需用A类卡片5张，类卡片46张，类卡片9张． 故答案为：5，46，9； （3）解：长方形面积：， B类卡片面积为， 所以，需要张， 故答案为：； （4）解：由题意得，大长方形的面积为， ∵阴影部分的面积是大长方形面积的， ∴空白部分的面积为：， 整理得：， ∴， ∴ ∴， ∴B类卡片的长b与宽a的比值为4． 8．（24-25七年级下·山东济南·期中）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整． 例：先化简，再求值：，其中． 解： ____①____ 把代入上式，得：____②____ ____③____ 其中____④____ 【答案】，，， 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，解题的关键是求出多项式，准确熟练的进行计算． 根据整数的混合运算法则计算，再将代入计算，再求出多项式即可． 【详解】解：， 把代入上式，得：， 其中． 故答案为：，，， 9．（24-25七年级下·山东济南·期中）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，先将括号内的根据完全平方公式和平方差公式化简后再计算除法得最简结果，再把，代入计算即可． 【详解】解： 当，时，原式． ( 考点0 5 乘法公式 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式的应用，包括完全平方公式和平方差公式．通过观察各选项的形式，判断是否可以直接应用公式． 【详解】A. 不符合乘法公式的形式； B. ，可以用完全平方公式； C. 不符合乘法公式的形式； D. 不符合乘法公式的形式． 故选：B． 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图1，将长为，宽为的长方形沿虚线剪成两个长方形，并将两部分拼成图2所示图形，通过计算两个图形中阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，利用数形结合思想分析是解题的关键．分别求出左右两边图形中阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：左边图形中阴影部分的面积为， 右边图形中阴影部分的面积为， ∴验证了等式． 故答案为：B． 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）给出下列式子： ①；    ② ③；    ④ 其中正确的是（   ） A．④ B．③ C．② D．① 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式和完全平方公式，应用平方差公式和完全平方公式逐一验证各等式是否成立，进行判断即可． 【详解】解：① 左边展开：，但右边为，错误． ② 左边展开：，但右边为，错误． ③ 左边展开：，但右边为，符号和项均不符，错误． ④ 左边展开：，与右边完全一致，正确． 综上，只有④正确， 故选：A． 4．（24-25七年级下·山东济南·期中）若可以配成一个完全平方公式，则的值为（   ） A． B． C．14 D．14或 【答案】D 【分析】本题主要考查完全平方公式；将多项式配成完全平方公式，得出或，分别计算求解即可． 【详解】解：原式为，需配成完全平方形式． 首项，故． 常数项，故或． 当为时，展开得，中间项系数为． 由题知中间项系数为，故，解得． 当为时，展开得，中间项系数为． 此时，解得． ∴的值为或， 故选：D． 5．（24-25七年级下·山东济南·期中）若能用完全平方公式分解因式，则k的值为（    ） A．5 B．7 C．5或 D．或7 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的结构，将原式与展开式对比，确定中间项系数，进而解方程求出的值 【详解】解：原多项式为，若能用完全平方公式分解， ∴其形式应为，展开后为， ∴， 当时，解得，即； 当时，解得，即； 因此，的值为或， 故选：C 6．（24-25七年级下·山东济南·期中）若是一个完全平方式，则m的值是（   ） A．4 B．或7 C．或4 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据题意可知，进而可得出，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：∵若是一个完全平方式， ∴ ∴， 解得：或， 故选：B 二、填空题 7．（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的化简求值． 先化简，再将，代入计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 8．（24-25七年级下·山东济南·期中）利用整式乘法公式计算： (1)； (2) 【答案】(1)89996 (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可； （2）把原式变形为，进一步变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（24-25七年级下·山东济南·期中）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材：如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 任务1：将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：________（只填序号） 任务2：四张长为、宽为的长方形纸片按如图方式拼成了一个正方形，请你通过拼图写出、、之间的等量关系是________________________． 任务3：（1）若满足，求的值． （2）计算． 任务4：如图，正方形和正方形边长分别为，，若，，是的中点，求出图中的阴影部分面积的和． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4： 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 任务1：根据梯形及正方形的面积公式求解判定即可得解； 任务2：根据大正方形的面积减去个小长方形的面积，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积；根据两种方法得到的面积相等列出等式； 任务3：（1）根据完全平方公式变形求值即可求解． （2）根据乘以，根据平方差公式求值即可求解． 任务4：根据阴影部分面积等于，进行化简，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】解：任务1：图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，不可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 故答案为：； 任务2：方法，大正方形的面积减去4个小长方形的面积得：， 方法，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积得：； 则； 故答案为：； 任务3：（1）设 ∵， ∴ ∴ ． （2）． 任务4：阴影部分面积等于 ， ，， ， 阴影部分面积等于． 10．（24-25七年级下·山东济南·期中）用简便方法计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握这两个公式是解题的关键． （1）先变形，再根据完全平方公式计算即可； （2）将写成，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 11．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，我们常常可以通过构造几何图形，用面积直观地推导公式． (1)观察下图，通过下图中阴影部分面积的表示可以得到我们熟悉的数学公式 ． (2)请你借助下面的正方形，画出能说明完全平方公式的图形，并在图上标注清楚相应的字母．（只画出图形，不写推理过程） (3)有两个大小不同的正方形A和B，现将A，B并列放置后构造新的正方形得到图①，其阴影部分的面积为20；将B放在A的内部得到图②，其阴影部分（正方形）的面积为9．求正方形A、B的面积之和． 【答案】(1) (2)见解析 (3)正方形A、B的面积之和为29 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景和平方差公式，解题的关键是根据图形得出数量关系． （1）根据阴影部分的面积相等列出等式即可； （2）根据画出图形即可； （3）设正方形A、B的边长分别为m，n，根据图①和图②中的阴影面积得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可 【详解】（1）解：图一中阴影面积 图二中阴影面积 ∵阴影部分的面积相等 ∴； （2）解：如图所示，    大正方形的面积为 大正方形的面积还可以表示为 ∴ ∴； （3）解：设正方形 A、B 的边长分别为 m，n， ∵图①中阴影部分的面积为20， ∴，即， ∵图②中阴影部分（正方形）的面积为9， 即 ∴正方形A、B的面积之和为29． 12．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）先化简，后求值：，其中，． 【答案】 【分析】先根据平方差公式和安全平方公式将括号展开，再合并同类项，最后将m和n的值代入计算即可． 本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 【详解】 ． 把，代入上式得： 原式． 13．（24-25七年级下·山东青岛·期中）【知识生成】 将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为的正方形和两个长方形． （1）用两种方法表示该大正方形的面积，可推导公式得：_____． 若，则该大正方形的边长为_____； 【知识运用】 （2）两正方形如图2方式摆放．正方形边长记为，正方形边长记为，点，，在一条直线上，点为的中点，若，求图中阴影部分的面积_____ 【知识拓展】 （3）如图3，观察棱长为的大正方体的分割，可得到． ①利用多项式的乘法法则，证明等式成立； ②已知，请直接写出的值：_____． 【答案】（1），8（2）270（3）①利见解析；② 162 【分析】（1）大正方形的边长为，表示正方形的面积为，根据分割法计算面积得正方形的面积为，根据同一个图形的面积相等，得到，解答即可． 根据，得到，解答即可． （2）根据点为的中点，，得到，由，得，结合图形，得到图中阴影部分的面积为，变形代入解答即可． （3）① 根据等式，解答即可． ②根据公式直接代入解答即可． 【详解】（1）解：大正方形的边长为，表示正方形的面积为， 根据分割法计算面积得正方形的面积为， 根据同一个图形的面积相等，得到． 由，得到， 故，（舍去）， 故答案为：，8． （2））解：由点为的中点， 故， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， ， 故答案为：270． （3）① 解：根据题意，得， 故． ②解：由， 得， 由， 故， 故答案为：162． 【点睛】本题考查了正方形的性质，完全平方公式的推导，分割法求面积，公式的变形计算，线段的中点，和的立方计算，熟练掌握公式是解题的关键． 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $