6.7 用相似三角形解决问题-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级下册数学同步练习课时基础强化版（苏科版）

课时提优计划作业本数学九年级下册) 6.7用相似三角形解决问题 第1课时用相似三角形解决问题(1) 知识梳理 1.在平行光的照射下，物体所产生的影称为 2.在平行光的照射下，在同一时刻，不同物体的 与 成比例 强化巩固 1.在相同时刻太阳光下，若高为1.5m的测杆的影长为3m,则影长为30m的旗杆的高是 () A.15m B.16m C.18m D.20m 2.小青在校园内发现：旁边一棵树在阳光下的影子和她本人的影子在同一条直线上，树顶的影 子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图）.如果小 青的身高为1.65m,由此可推断出树高是 () A.3.1m B.3.2m C.3.3m D.3.4m 树 小青 (第2题) (第3题) 3.如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A、镜子O、树底 B三点在同一条水平线上，眼睛距离地面的高度为1.6m,OA=2.4m,OB=6m,则树高为 m. 4.大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验.在如图所示的实 验中，若物距为10cm,像距为18cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm,则蜡烛火焰的高 度是 A.o cm B.4 cm C. 1 3 cm D.5 cm L10 cm 18 cm N (第4题) (第5题) 5.操场上有一根竖直的旗杆AB,它的一部分影子(BC)落在水平地面上，另一部分影子(CD) 落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为1.2，地面的影长为2.8m,同时测得一根高 为2m的竹竿OM的影长ON=1.4m,则旗杆的高度是 () A.4.5m B.4.7m C.5.2m D.5.7m 52 第6章图形的相似 6.小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度.如图，她在某一时刻在地面上竖直立一 根2m长的标杆CD,测得其影长DE=1.8m.如果AB的影长BF=7.2m,请你在图中完 成相关的作图并求出旗杆AB的高. B DE 7.如图，为了确定路灯灯泡的位置，小明与小亮选取了长1的标杆AB,小明测得标杆在路灯 下的影长BC=1.5m,从点B出发沿着BC所在直线行走7.5m恰好在路灯的正下方.据此 可得，路灯灯泡离地面的高度为 ) A.5.6m B.6m C.6.4m D.7.5m 6 cm 15 cm 11 cm /cm ,水平线 图1 图2 (第7题) (第8题) 8.如图1是装了液体的高脚杯示意图，倒出一部分液体后如图2所示，此时液面 AB= cm. 9.如图1，平直的公路旁有一灯杆AB,在灯光下，小丽从灯杆的底部点B处沿直线前进4到 达点D处，在点D处测得自己的影长DE=1m,小丽身高CD=1.2m. (1)求灯杆AB的高度 (2)若小丽从点D处继续沿直线前进4到达点G处（如图2），求此时小丽的影长GH, D 图1 图2 拓展提升 10.圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具.图1为圭表示 意图.某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度.如图2，旗 杆MN的影长MA在水平地面上，将标杆AB(长度为1)竖直放置在影长的最远端点 A处，此时标杆AB的影长为AD.经测量，AD=1.2m,AM=12.1m (1)根据以上信息，计算旗杆MN的高度.（结果保留整数） (2)若该同学在操作过程中，测量完AD的长度后，准备测量AM的长度时，发现卷尺不够 长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量AM的长度，请问这样可以准确得到 旗杆的高度吗？简单说明理由. 表太阳 (标杆〉 fn 圭（影子刻度） 图1 图2 53 课时提优计划作业本数学九年级下册) 第2课时用相似三角形解决问题(2) 知识梳理 1.在点光源的照射下，物体所产生的影称为 2.一般地，在点光源的照射下，同一个物体在不同的位置，它的物高与影长 比例. 强化巩固 1.如图，小明在A时测得某树的影长为8，B时又测得该树的影长为2，若两次日照的光 线互相垂直，则树的高度为 ( ) A.2m B.4m C.6m D.8m A时 B时 (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，为了测绘护城河宽度，在河对岸选定点A,在近岸取点B、C、D、E,使得点A、B、D共 线，点A、C、E共线，且直线AB与河岸垂直，直线BC、DE均与直线AB垂直.设AD的长为 x,则下列等式成立的是 ( ADE怎 B.=BD x DE BC-CE C.x+BD-BC D.BC_BD x CE 3.如图，EF是一根杠杆，可绕支点O自由转动，当EF处于图中的位置时，点O到点E的水平 距离OM=2,点O到，点F的水平距离ON=4,若已知杠杆的OE段长为2.5，则杠杆的OF 段长为 4.如图，小明家的客厅有一张高0.75m的圆桌，直径BC为1m,在距地面2m的点A处有一 盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D、E,依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标 为(2,0)，则点E的坐标是 () A.(4,0) B.(3.6,0) C.(2.75,0) D.(3,0) 5.某市科研考察队为了求出某海岛上的山峰AB的高度，如图，在同一海平面的点D处和点F 处分别竖立标杆CD和EF,标杆的高都是5.5m,D、F两处相隔80m,从标杆CD向后退 11m到达点G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF向后退13m到 达点H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上.求山峰AB的高度及它和标杆 CD的水平距离.（注：图中各点都在一个平面内.） kE DG FH 54》 第6章图形的相似 6.如图，有一高度为8m的灯塔AB,在灯光下，身高为1.6m的小亮从距离灯塔底端4.8m 的点C处，沿BC方向前进3.2m到达点D处，那么他的影长 () A.变长了0.8mB.变长了1.2mC.变短了0.8m D.变短了1.2m (第6题) (第7题) 7.如图，广场上有一盏路灯挂在高9.6m的电线杆顶上，记电线杆的底部为O,把路灯看成一 个点光源，身高1.6m的小明站在点P处，且OP=2m.当小明向路灯移动0.5m时，影长 的变化是 () A.伸长了0.2mB.伸长了0.1mC.缩短了0.2mD.缩短了0.1m 8.小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，无法测量镜子与树之间的距 离，于是他利用镜子进行两次测量.如图，第一次他把镜子放在点C处，他在点F处正好在 镜中看到树尖A的像；第二次他把镜子放在点C处，他在点F处正好在镜中看到树尖A的 像.已知AB⊥BF,EF⊥BF,EF'⊥BF,小军的眼睛距地面1.7m(即EF=EF'= 1.7m),量得CC=12m,CF=1.8m,CF′=4.2m,求这棵古松树的高度.（镜子大小忽略 不计) 拓展提升 9.如图，王华在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好 接触到路灯AC的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接 触到路灯BD的底部.已知王华的身高是1.6m,两个路灯的高度都是9.6m,且AP=QB. (1)求两个路灯之间的距离. (2)当王华走到点B处时，在图中画出他在路灯AC下的影子BE,并求出影子BE的长 777777 《55选项符合题意；，△ABC与△A'BC是位似图形，∴.AB∥ A'B',故D选项不符合题意.4.50解析：，四边形ABCD 和四边形ABCD是位似图形，小。品-（器）广- (号)°-六：四边形ABCD的面积是8，四边形ABCD 面积是50.5.(1)AC与A'C平行.理由如下：，△ABC与 △A'B'C是位似图形，点A、B、A'、B、O共线，∠A= ∠CA'B',∴.AC∥A'C'.(2),△ABC与△A'B'C'是位似图 形，侣-0=2.AC/AC△0AC△0AC, 瓷=%=2,00=20C=10,∴cC=00-00 10-5=5.6.(1)如图，△A'BC即为所求.(2)如图， △BAC"即为所求. 5432.$5 11 B -3 7.C解析：如图所示. 8.(W5,√10)解析：，△ABC与△DEF位似，原点O是位 似中心，要使△DEF的面积是△ABC面积的5倍，∴.△DEF 与△ABC的相似比为√5：1，.点F的坐标为(1×√5，√2× √5)，即(W5,√10).9.如图，点O即为所求.(1)4解析： ,△ABC与△A'B'C'的相似比是1：2，且AB=2cm,∴.AB: AB'-1:2,则AB-4cm(2):OA'-号0A,△ABC的 面积为16cm,含c=(铝)》-（器）-是， S△ABC .SAAB'c=36 cm2. B B 拓展提升 10.△ACE与△BDF是位似三角形.理由如下：，'AC∥BD 课时提优计划作业本 ·1 cE/D,8器-8%8器-8品8器-8票又：ZA0E= ∠BOF,∴.△OAEp△OBF,∴.∠OAE=∠OBF,∴.AE∥BF 又，△ACE与△BDF对应点相交于点O,.△ACE与 △BDF是位似三角形. 6.7用相似三角形解决问题 第1课时用相似三角形解决问题(1) 知识梳理 1.平行投影2.物高影长 强化巩固 1.A解析：设旗杆的高是xm,根据题意，得-贡，解得 x=15.2.C解析：如图.，DE⊥AB,BC⊥AB,△ADE∽ △ACB.,树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一 点地站立于村影的中点，DE=165m,瓷-子BC 2DE=2×1.65=3.3(m). D 树 小青 A E B 3.4解析：过点O作OF⊥AB,设人眼晴处为点C,树顶为点D, 由入射角等于反射角可知∠COF=∠DOF..∠COA=90° ∠COF,∠DOB=90°-∠DOF,∴.∠COA=∠DOB.又 :∠CA0-=∠0BD=90,△A00△BD0,aS-8器 AC=1.6m,0A=24m,OB=6m,8-2,BD 4,即树高为4m.4.A解析：设蜡烛火焰的高度是xcm, 由相似三角形的性质得8=音，解得x=号，即蜡烛火焰的 高度是cm5.C解析：如图，过点D作DELAB于点 E.由题意可知，CD=1.2m,BC=DE=2.8m,OM=2m, 0N=14m则8别能师名=A282,解得AB=52, .旗杆的高度是5.2m N 6.根据题意作图如下.由题知，AF∥CE,∠B=∠CDE=90°， ∠AFB=∠CED,△ABP△CDE,铝8器CD m,DE=1.8m,BF=7.2m,.号，解得AB=8m 2 ·数学·九年级下册 8- 7.B解析：如图，DE为灯泡离地面的高度.AB∥DE, △A0△DBC'-8器，即品=..5解得 1 1.5 DE=6,∴路灯灯泡离地面的高度为6m D 8.3解析：如图，过点O作OM⊥CD交CD于点M,过点O 作O'N⊥AB交AB于点N.由题意可得△CDO∽△ABO, :.CD=04:OM=15-7=8(cm),0N=11-7=4(cm), …ABON -是，∴AB=3m 6 cm, N/B 15.cmo 0' 11 cm 7cm 水平线 图1 图2 9.(1)AB∥CD,BE=1+4=5(m),∴.△EABn△ECD, 5薨即侣-，解得AB=答：灯杆AB的商度为 6m2:AB/PG,△HBAc△HGF08器即 6。=8G乎，解得GH=2.答：此时小丽的影长GH是2m 1.2GH 拓展提升 10.(1)由题意可知，BD∥AN,.∠NAM=∠D.'∠NMA= ∠BAD=90,△MNAn△ABD,=即 1 是MNe10,答：颜杆MN的高度约为10m(2不可 以.理由如下：旗杆和标杆的影长随着时间的变化而变化，必 须同时测量，小明测量标杆影长后半个小时再测量旗杆影长， 此时旗杆影长已经发生变化，故不可以准确得到旗杆的高度： 第2课时用相似三角形解决问题(2) 知识梳理 1.中心投影2.不成 强化巩固 1.B解析：如图，设树顶为点C,树高为CD,且∠ECF=90°， ED=2m,DF=8m.,∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°， ∴∠ECD=∠F.:∠EDC=∠CDF=90°，∴.△EDC∽ △cDE,器器DC=EDFD-2X8=16-4m A时 B时 课时提优计划作业本 ·1 2.C解析：直线BC、DE均与直线AB垂直，.DE∥BC, △ADE△ABC器畏AD的长为iAB=AD叶 x DE DB=x十DB,一x十BD一B元，故C选项符合题意。3.5 解析：ME/NE,△Okn△PON,8兴8器，即 品OF=5.4B解析：过点B作BF1z轴于点P .BF=0.75m,BC=1m.BC∥DE,∴.△ABC∽△ADE, -O1P,即-2公5解得DB=160E=2+ 1.6=3.6(m),∴点E的坐标为(3.6,0).5.由题意，得AB1 BH,CD⊥BH,EF⊥BH,∴∠ABH=∠CDH=∠EFH=9O° ∠aD=∠GB,△cD0n△M,温器 BD:∠H=∠H,△EHF∽△AHB,需-8. 11 需g+-BD小中D++而解得BD 13 11 13 40,幕m0解得AB=255答：山峰AB的高度 为225.5m,它和标杆CD的水平距离是440m6.A 解析：如图，设小亮两次的影长分别为CH、DG.,EC∥AB, △HBCO△HAB,∴器-器若=C8解得 CH=L2.:DF∥AB,△GFDn△GAB,∴器-瓷 g=DG+28+3.2解得DG=2.DGCH=0,8m, DG ∴.他的影长变长了0.8m F GDH C B 7.D解析：如图，由题意，得AO∥CP,.△BPC△BOA, ÷需-器普2P…BP=04当小明向路灯移动 05m时，0=205+BP=1.5+BP,由需-5得站8 15+BP…BP=0.3,影长缩短了0.4-0.3=0,1(m. BP B 8.,∠ABC=∠EFC=90°，∠ACB=∠ECF,∴.△EFC∽ △ABC,器-器“∠ABC=∠EF'C=90,∠ACB= ·数学·九年级下册 9. ECF,品△EFCO△ABC,g-gEF=6,AB=DC=8,AD/∥BC,d△BCFAEDF,BS-SS设 Er-17m器 .CC=12m,CF=1.8m,CF'= CF-4,则DF=8-,…骨=8号z=兰，即CF的长为 42m,器=C号2解得CB=9,品=g,解得告，7C解析：①当△ADED△ABC时，有AD:AB= 4.2 AB=8.5.答：这棵古松树的高度为8.5m AE:AC,'.'AD=3 cm,AB=8 cm,AC=10 cm,.'.3 8= 拓展提升 AE:10,∴AE=5m:②当△AEDD△ABC时，有AD: 9a咖图QH/AC△BQH△BAC,器8器 AC=AE:AB,即3：10=AE:8,∴AE=号cm综上所述， 1.6 AP=BQ=xm,则AB=(2x+12)m,2x千12=g.6…x 3,经检验，x=3是原方程的解，∴.AB=18m(2)如图，BE即 AE的长为5cm或号cm8.C解析：C是线段AB的 为所求.BF/AC△BEFU△ABC,小-肥设影长黄金分割点(BCAG小器瓷-0.618，BC 2 旺为ya南品一导炫整一背地的8：C一紧启-，版D意级不行合 解∴影长为9m 意，只有C选项符合题意。身.(1)证明，：EF/DC,部 C 器部-品品瓷铝能又：∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC,∴.∠ADE=∠ABC,.DE∥BC H第 ②Er∥c,品=号'架号能号由1 复习课 知△ADE△ABC,-(=SE=9, SAABC 强化巩固 .S△ABc=25. 1.C解析：设线段a、b的比例中项是xcm,则x2=2×8,解得 10证明：(1：0D=0E,0B,∴8% =4,x2=一4（舍去），所以线段a、b的比例中项是4cm. 8:AD∥BC,△A0D△C0B,80-8S÷82- O 2D解析：设x=5k,y=3,则寸_24=号，故A选 y 3k O5·∠AOE=∠COD,.△AOE∽△COD,∠EA0= O 项不符合题意：号=2逊=号，故B选项不符合题意， 3k ∠DCO,.AF∥CD.'AD∥FC,.四边形AFCD是平行四 南--牛号故C法项不符合题意，十》 边形. (2),'AF∥CD,.∠AED=∠BDC,△BEF∽ y+3 费号故D选项符合圈意。3.C解析：△ABC☑ △BDC器-瓷：BC=BD,BE=BR:四边形AFCD 是平行四边形，∴.AF=CD.:AE·AF=AD·BF,∴.AE· △DAC,∴.∠DAC=∠B=35°，∠BAC=∠D=115°， DC=AD·BE. ∴.∠BAD=∠DAC+∠BAC=35°+115°=150°.4.D 拓展提升 解析：SAmE:SAmE=1:3,.BE:EC=1:3,.BE: BC=1:4.:DE∥AC,.△BDE∽△BAC,△DOE∽ 11.(1)2t(5V3-√3t)解析：在Rt△ABC中，∠BAC=60°， ..∠B=30°..AC=5cm,,∴.AB=2AC=10cm,..BC △c0A器-既-子Sae·Sm=()'= √AB-AC=5√3cm由题意知，BM=2tcm,CN=√3tcm, 5.10解析：如图.，BC⊥AD,ED⊥AD,.BC∥DE, ∴.BN=BC-CN=(5√3-√3t)cm(2)(103-15)解析： △MBCn△ADE,器-，即品82DE=10, .8 BM=BN,2=53-5,.t=53=105-15. 2+√3 即水塔的高度是10m. (3)存在.△MBN与△ABC相似，分两种情况讨论：当 △NM0△ABC时，有器-：器=5，t 53 2m -32m 吾，当△MBN0△CBA时，有兴=x·看 53 6.24解析：四边形ABCD是平行四边形，BC=AD= 5 5。,4=与综上所述，满足条件的：的值为号或汽 10 课时提优计划作业本·数学·九年级下册 …20·