精品解析：江苏省江阴市2022年第七届“优利信杯”俱乐部竞赛九年级数学试卷

第七届初中数学学科“优利信杯”俱乐部竞赛 九年级试卷（2022.3.25） （本试卷满分150分，考试时间为150分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 若，则的值是（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】D 【解析】 【分析】将变形为，利用整体代入法进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴，， ∴. 2. 有一列数：，，…，，从第2个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的倒数的差，若，设，则式子的值为（ ） A. 10 B. C. －11 D. －6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意发现规律：按3、、的顺序循环，每3个数为一个循环周期，则，再代入计算即可． 【详解】解：若， 则，，， …… 观察发现，按3、、的顺序循环，每3个数为一个循环周期， ， ， ． 3. 数的整数部分是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 以上都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】利用放缩法估算分母的取值范围，进而得到原式的范围，即可求出整数部分． 【详解】解：设， ∵这10个分数中，最大项为，最小项为， ∴，即， 对不等式三边取倒数，不等号方向改变，可得： ，即， ∴ 原式的整数部分为． 4. 如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若等边三角形边长为3cm，则该莱洛三角形的周长为（　　） A. 2π B. 9 C. 3π D. 6π 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用弧长公式计算即可． 【详解】该莱洛三角形的周长＝3×＝3π． 故选：C． 【点睛】本题考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了等边三角形的性质． 5. 如图，四边形内接于，且恰好是的直径，过点A作的切线交的延长线于点E，平分．若，，则的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线性质、角平分线定义、等腰三角形性质、平行线判定、矩形判定、垂径定理、勾股定理，解题的关键是严格证明，构造矩形与垂径分弦，结合勾股定理求解直径． 连接，作于；由切线性质得，由得，结合平分得，故，推出，进而得；证四边形为矩形，得；由垂径定理得，设半径为，在中用勾股定理列方程，解得，直径为． 【详解】解：连接，作于， ∵是的切线， ∴，即． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∴，即． ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴, ∵， ∴（垂径定理）． 设半径为，则，． 在中，由勾股定理：，，解得． ∴直径． 6. 如图，在的网格中有一格点三角形，在这个网格图中要再画一个格点三角形，使其与关于某条直线对称，则符合条件的三角形共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】通过变换对称轴的位置，确定对称格点三角形的个数． 【详解】解：如图，分别以的网格的中间两条直线和两条对角线所在直线为对称轴， 则符合条件的三角形共有4个． 7. 如图，已知，增加下列条件中的一个：，，，可以证明的是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 【答案】D 【解析】 【分析】通过“”证明，即可判断；通过“”证明，即可判断；先通过等边对等角得，然后通过等角对等边得，再由“”证明，即可判断． 【详解】解：在和中，， ∴； 在和中，， ∴； 连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴； 综上可得：可以证明的是或或． 8. 如图，E是正方形内一点，E到点A、D、B的距离、、分别为1、、，延长交于点F，则的面积为（ ） A. B. C. D. 以上都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】将绕点A顺时针旋转得到，作垂足为N，先证明是直角三角形，推出，在中求出，，利用求出，，求出，，即可求出的面积． 【详解】解：如图，将绕点A顺时针旋转得到，作垂足为N， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴，， ∴，， ∴的面积为． 二、填空题（本大题共8小题，每空4分，共36分） 9. 定义：我们把能使等式成立的有序实数对称之为“共生实数对”．若是“共生实数对”，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“共生实数对”的定义，将代入给定等式，得到关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：是“共生实数对”， 将代入等式得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 10. 小明经探究发现：不论字母系数m取何值，函数的图像恒过一定点P，则P点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不论字母系数m取何值图像恒过一定点P，取值与m无关，则字母m的系数为0，进而可得答案． 【详解】解： 当，即时，， 所以无论字母系数m取何值时，图像恒过一定点P． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，知道字母m的系数为0时，才与m的取值无关． 11. 已知，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义求出两个绝对值和的最小值，结合已知乘积确定和的取值范围，再根据正偶次幂的性质，可知原式最小对应最小，进而计算得到结果。 【详解】解：根据绝对值的几何意义，表示数轴上点到点与点的距离之和，其最小值为，当且仅当时取到最小值， 同理，表示数轴上点到点与点的距离之和，其最小值为，当且仅当时取到最小值， 已知， 若任意一个绝对值和大于其最小值，则乘积大于， 因此可得，， 因为是正偶数，所以的大小由决定，越小，原式的值越小， 由，不等式两边同乘得，结合，同向不等式相加得： ，即 可知恒为负数，其绝对值的最小值为， 当，时取到， ∴． 12. 已知，，其中m、n均为实数，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知条件将底数替换为对应的幂的形式，求出，再将分式通分后代入计算即可． 【详解】解：，， ，， ，， ， ． 13. 如图，已知直线、所对应的函数表达式分别为与，且点在直线与之间，则字母m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意把点A的坐标分别代入两个函数表达式，求得对应的m的值，即可解答． 【详解】解：根据题意，把点代入， 得，解得； 把点代入， 得，解得； ∴当点在直线与之间时，m的取值范围为． 14. 如图，已知二次函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由函数沿y轴翻折得到，根据，求出函数与函数交点，的坐标，再根据函数图象得到不等式的解集． 【详解】解：如图，将沿y轴翻折得到，与函数交于，， 函数关于y轴对称，且，， ，， 化简为， 根据函数图像，可知当时，二次函数的图像在一次函数的图像上方， ∴不等式的解集为． 15. 如图，正方形的边长为2，分别以B、C为圆心，以2为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据等边三角形的性质得到，，再求得，，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 16. 如图，在中，已知，，，点P从A点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，将沿折叠，点A落在点处．在整个运动过程中，点到直线的最大距离为______；点P到达点B时，线段扫过的面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）首先得到点的运动轨迹是以点C为圆心，为半径的圆上，如图，当时，点到直线的距离最大，过点B作，求出，，然后求出，，进而求解即可； （2）画出相应的图形，从而利用扇形面积和三角形面积公式计算求解． 【详解】解：（1）由题意可得点的运动轨迹是以点C为圆心，为半径的圆上， ∵点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，， ∴最大为 如图，当时，点到直线的距离最大，过点B作， ∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴点到直线距离的最大值是； （2）如图，当点P到达点B时， 由折叠得， ∴， ∴ ∴线段扫过的面积为：． 三、解答题（本大题共有8小题，共82分） 17. 先化简再求值：+，其中，a在1，2，这三个数中选取． 【答案】2+ 【解析】 【详解】试题分析：首先将分式的分子和分母进行因式分解，然后将除法转化为乘法，然后进行约分计算. 试题解析：原式=== 由题意可知a≠±1，a≠2 ∴ 当a＝时，原式==2＋ 考点：分式的化简求值. 18. 按要求求值 （1）已知实数a、b满足，求的值． （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将方程变形，得到，再根据非负性求出，，即可得到答案； （2）根据题意，得，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：方程变形，， 即， ， 即， 得． ， ， ， ，， ； 【小问2详解】 解：根据题意，得，． ， ． 19. 如图，在四边形中，已知，，，求四边形的边的长． 【答案】 【解析】 【分析】延长、相交于点E，过点C作于F，可知为等边三角形，，设长为x，则，，根据30度角的性质得到，根据勾股定理得到，在中，由勾股定理得，求出，取合适的值即可． 【详解】解：如图，延长、相交于点E，过点C作于F， ∵， ∴， ∴为等边三角形，， 设长为x，则，． 由此可得， ∴，． 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 显然不符合题意，舍去， ∴． ∴长为． 20. 如图，已知梯形的边在x轴的正半轴上，，，过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线于点D，交边于点E． （1）若点C的坐标为，记与的面积之和为S，则当点E在什么位置时，S最小？ （2）若，且的面积为2，求双曲线所对应的函数表达式． 【答案】（1）当时，S有最小值，此时 （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、梯形的性质、三角形面积计算、二次函数的最值，解题的关键是利用反比例函数上点的坐标特征表示相关点坐标，结合几何图形性质建立面积表达式或方程求解． （1）由点及梯形性质得、，分别表示与的面积，求和得到关于的二次函数，配方求最小值； （2）由得为OC中点，设得，进而得，结合的面积为列方程求，得到双曲线解析式． 【小问1详解】 解：由，，，得，． ， 当时，最小，此时． 答：当点坐标为时，最小． 【小问2详解】 解：， 为OC的中点． 设，则． ， ，． ，，． 故双曲线的函数表达式为． 答：双曲线对应的函数表达式为． 21. 如图，已知二次函数（）的图像与轴交于、两点，在的左边，是这个二次函数的图像位于轴上方部分的一个动点，是的中点，连接并延长交于点． （1）请直接写出这个二次函数的顶点坐标（用含的代数式表示）； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把二次函数的解析式整理成顶点坐标式，可得：，可知抛物线的顶点坐标为； （2）解方程，可得：点的坐标为、点的坐标为，可得，过点作交于点，可得：，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，所以可得． 【小问1详解】 解：整理（）， 可得：， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：或， ， 点的坐标为、点的坐标为， ， 如下图所示，过点作交于点， 则，， ， 是的中点， ， 在和中，， ， ， ． 22. 如图，以的三边为边作等边三角形． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）设的中点为，延长交于点，延长交于点，连接，若，①试探究线段与的数量关系；②请直接写出的度数． 【答案】（1） ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）①线段与的数量关系是，理由如下： 设的中点为，延长交于点，延长交于点，连接、， ∵，为的中点， ∴， ，， ∵， ，， ， 如图，连接，相交于点交于点交于点， AI 则是的中位线，是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， 由（1）知：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）通过证明，，分别得出：，，从而由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”得证结论； （2）①由已知等边三角形、得出， 从而由“等腰三角形‘三线合一’”得出，；连接，相交于点交于点交于点，则是的中位线，是的中位线，得到四边形是平行四边形、；由已知和（1）可证明，得到，，从而得出；②由①知：、，通过等量代换、三角形内角和定理可得：． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① 略 ②由①知：，， ， ， ， 的度数为． 23. 如图，四边形是正方形，、分别是边、上的一点，且平分． （1）若是边的中点，求证：． （2）试探究线段、、之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，可证根据全等三角形的性质可得：，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，所以可得； （2）延长到点，使得，连接，可证，根据全等三角形的性质可得：，，根据等角对这可证，从而可证结论成立． 【小问1详解】 解：如下图所示，过点作交于点， ， 由四边形是正方形得， ， 又，， 在和中，， ， ，， 又， ， 又，， 在和中，， ， ， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，延长到点，使得，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ，， 又， ， 即， 四边形是正方形得， ， 又， ， ， 即， 又， ． 24. 在中，已知，，． （1）如图①，与的三边都相切，求的半径； （2）如图②，与是内互相外切的两个等圆，且分别与，的两边都相切，求这两个等圆的半径；； （3）如图③，若，若内有个依次外切且都与相切的等圆，、分别与，相切，求这些等圆的半径． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接三角形的内心和三角形的各个顶点，根据三角形的总面积等于分割成的三个小三角形的面积，进行计算； （2）连接两圆的圆心和每个圆的圆心和三角形的三个顶点，把大三角形分割成了三个三角形和一个梯形，根据三角形的总面积等于四部分的面积的和，进行计算； （3）连接第一个圆和最后一个圆的圆心，以及两个圆的圆心和三角形的三个顶点，根据（2）的思路进行计算． 【小问1详解】 解：（1）在中，，，， ． 如图①，设与的边，，分别切于点，，． 连接，，，，，． 于是，，． ，， ∵ ， ． 【小问2详解】 如图③，连接，，，，，则 ． 等圆，外切， ，且． 过点作于点，交于点，则 ，． ． ， 解得． 【小问3详解】 如图③，连接，，，，，则 ，， 等圆，，，依次外切，且均与边相切， ，，，均在直线上，且， ． 过点作于点，交于点， 则，， ． 解得． 【点睛】本题考查圆的有关知识，三角形内切圆，两圆位置关系等知识，解决此题的方法是根据三角形的面积的不同计算方法进行计算，学会利用面积法求直角三角形斜边上的高，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七届初中数学学科“优利信杯”俱乐部竞赛 九年级试卷（2022.3.25） （本试卷满分150分，考试时间为150分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 若，则的值是（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 2. 有一列数：，，…，，从第2个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的倒数的差，若，设，则式子的值为（ ） A. 10 B. C. －11 D. －6 3. 数的整数部分是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 以上都不正确 4. 如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若等边三角形边长为3cm，则该莱洛三角形的周长为（　　） A. 2π B. 9 C. 3π D. 6π 5. 如图，四边形内接于，且恰好是的直径，过点A作的切线交的延长线于点E，平分．若，，则的直径为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在的网格中有一格点三角形，在这个网格图中要再画一个格点三角形，使其与关于某条直线对称，则符合条件的三角形共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，已知，增加下列条件中的一个：，，，可以证明的是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 8. 如图，E是正方形内一点，E到点A、D、B的距离、、分别为1、、，延长交于点F，则的面积为（ ） A. B. C. D. 以上都不正确 二、填空题（本大题共8小题，每空4分，共36分） 9. 定义：我们把能使等式成立的有序实数对称之为“共生实数对”．若是“共生实数对”，则的值为______． 10. 小明经探究发现：不论字母系数m取何值，函数的图像恒过一定点P，则P点坐标为______． 11. 已知，则的最小值为______． 12. 已知，，其中m、n均为实数，则______． 13. 如图，已知直线、所对应的函数表达式分别为与，且点在直线与之间，则字母m的取值范围为______． 14. 如图，已知二次函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，则关于x的不等式的解集是______． 15. 如图，正方形的边长为2，分别以B、C为圆心，以2为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为______． 16. 如图，在中，已知，，，点P从A点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，将沿折叠，点A落在点处．在整个运动过程中，点到直线的最大距离为______；点P到达点B时，线段扫过的面积为______． 三、解答题（本大题共有8小题，共82分） 17. 先化简再求值：+，其中，a在1，2，这三个数中选取． 18. 按要求求值 （1）已知实数a、b满足，求的值． （2）已知，且，求的值． 19. 如图，在四边形中，已知，，，求四边形的边的长． 20. 如图，已知梯形的边在x轴的正半轴上，，，过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线于点D，交边于点E． （1）若点C的坐标为，记与的面积之和为S，则当点E在什么位置时，S最小？ （2）若，且的面积为2，求双曲线所对应的函数表达式． 21. 如图，已知二次函数（）的图像与轴交于、两点，在的左边，是这个二次函数的图像位于轴上方部分的一个动点，是的中点，连接并延长交于点． （1）请直接写出这个二次函数的顶点坐标（用含的代数式表示）； （2）求的值． 22. 如图，以的三边为边作等边三角形． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）设的中点为，延长交于点，延长交于点，连接，若，①试探究线段与的数量关系；②请直接写出的度数． 23. 如图，四边形是正方形，、分别是边、上的一点，且平分． （1）若是边的中点，求证：． （2）试探究线段、、之间的关系，并说明理由． 24. 在中，已知，，． （1）如图①，与的三边都相切，求的半径； （2）如图②，与是内互相外切的两个等圆，且分别与，的两边都相切，求这两个等圆的半径；； （3）如图③，若，若内有个依次外切且都与相切的等圆，、分别与，相切，求这些等圆的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $