5.2.2.2解一元一次方程 学案 2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

第5章 一元一次方程 5.2.2.2解一元一次方程 ► 学习目标与重难点 学习目标： 1. 理解并掌握列一元一次方程解决实际问题的思路和方法。 2. 能够准确找出问题中的等量关系，设立未知数，列出方程并求解。 3.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，激发学生对数学文化的兴趣，拓宽数学视野。 学习重点：1.列一元一次方程解决实际问题的步骤和方法。 2.准确找出问题中的等量关系。 学习难点：1.如何将复杂的实际问题抽象为简单的数学模型。 2.设立恰当的未知数，避免方程设立错误。 ► 预习自测 一、知识链接 1.我国古代名著《九童算术》中有一问题:“今有凫起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海、今凫雁俱起，问何日相逢?"意思为:有只野鸭从南海起飞历经7天到达北海，有只大雁从北海起飞历经9天到达南海，如果野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能相遇?假设经过x天相遇，则可列一元一次方程为____________ 2、 自学自测 2.甲、乙两个旅行团共80人，甲团人数比乙团人数的2倍多5人。甲、乙两个旅行团各有多少人?若设乙,旅行团的人数是x人，则可列一元一次方程为_____________(方程不需要化简) ► 教学过程 一、创设情境、导入新课 教材第17页——阅读 丢番图的墓志铭与方程 古希腊数学家丢番图(Diophantus, 约246—330), 以研究一类方程(不定方程)著称于世，在他的墓碑上，刻着这样一段墓志铭： 坟中安葬着丢番图， 多么令人惊讶， 这里忠实地记录下他所经历的道路. 上帝给予的童年占六分之一， 又过十二分之一，两颊长胡， 再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛. 五年之后天赐贵子， 可怜迟到的宁馨儿， 享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。 悲伤只有用数论的研究去弥补， 又过四年，他也走完了人生的旅途. 试列出方程，算一算丢番图去世时的年龄. 回答： 二、合作交流、新知探究 探究一： 教材第14页 例6 如图5.2.4，天平的两个盘中分别盛有51g和45g盐，问：应从A盘中拿出多少盐放到B盘中，才能使天平平衡? 例7 新学期开学，学校团委组织八年级 65位新团员将教科书从仓库搬到七年级新生教室. 女同学每人每次搬3 包，男同学每人每次搬4包. 每位同学搬了2 次，共搬了450包. 问：这些新团员中有多少位男同学? 【读题，找找看，题目告诉了我们哪些等量关系?】 分析 题目告诉了我们好几个等量关系，其中有这样的等量关系： 回答： 设： 表5.2.2 男同学 女同学 总数 搬书的人数 x ？ 每人搬书的包数 ？ 共搬书的包数 ？ 解答： 【强调】列方程的关键就是寻找等量关系 探究二： 教材第16页 某市的出租车计价规则如下：行程不超过3千米，收起步价8元；超过部分每千米路程收费了1.20元。某天李老师和三位学生去探望一位病假的学生，坐出租车付了17.60元，他们共乘坐了多少路程？ 【强调】列一元一次方程解决实际问题，关键在于抓住问题中的等量关系，列出方程. 求得方程的解后，经过检验，得到实际问题的解答. 这一过程也可以简单地表述为： 其中分析和抽象的过程通常包括： (1) 弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数(设元)； (2) 找出问题中所给出的等量关系，它反映了未知量与已知量之间的关系； (3) 对这个等量关系中涉及的量，列出相关的代数式，根据等量关系，列出方程. 在设未知数和作出解答时，应注意量的单位. 探究三： 试一试 教材第16页 解答下面两个问题，注意比较这两个问题中的数量关系： (1) 小亮和老师一起整理了一篇教学材料，准备录入成电子稿. 按篇幅估计，老师单独录入需4h完成，小亮单独录入需6h完成. 小亮先录入了1h后，老师开始一起录入，问：还需要多少小时完成? 解答： (2) 甲、乙两车分别从相距360km的两地相向开出，已知甲车的速度为60km/h, 乙车的速度为90km/h. 若甲车先开1h, 问: 乙车开出多少小时后两车相遇? 解答： 【强调】列一元一次方程解决实际问题时需要注意以下几点： 1. 恰当地设未知数可以简化运算；且单位要统一. 2. 题中的相等关系不一定只有一个，要根据具体情况选择； 3. 求出方程的解后要检验，既要检验所求出的解是不是方程的解，又要检验所求出的解是否符合实际意义. 4、 总结反思、拓展升华 列一元一次方程解答问题的步骤： 1.明确问题背景。理解题目描述的实际情境，是列方程的第一步。 找出等量关系： 2.确定等量关系。这是列方程的关键，需要根据题意找出未知数与已知数之间的关系。 3.设立未知数： 4.列出方程：建立方程。根据等量关系，列出包含未知数的等式。 5.解方程： 6.检验答案 五、【作业布置】 1.利用方程解答下列问题： (1)x 的3 倍与2 的和等于x 的2 倍与1 的差，求x 的值； (2)已知整式－3x+2 与2x－1 的值互为相反数，求x 的值. 2.《九章算术》的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，全书收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，书中有这样一个问题:“今有醇酒一斗，直钱五十;行酒一斗，直钱一十、今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何?"意思是:今有醇酒(美酒)1斗，价格是50钱;行酒(普通酒)1斗，价格是10钱、现花30钱买了2斗酒，问醇酒，行酒各买得多少斗? 若设买得醇酒x斗，则可列一元一次方程为( ) A.50x+10x=30x2 B.50(2-x)+10x=30 C.50x+10(2-x)=30x2 D.50x+10(2-x)=30 3.利用一元一次方程解应用题:如图， 小刚将一个正方形纸片剪去一个宽为7cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为8cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么最终剩余的长方形纸片的面积为多少? 4.某湿地公园举行观鸟节活动，其门票价格如下： 该公园共出售出1200张门票，得总票款20000元，问全价票和半价票各售出多少张？ 半价票：20元/人 全价票：40元/人 【综合拓展类作业】 5.第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，而有着少数民族风格的“滨滨”妮妮“"吉祥物盲盒颇受大众关注，现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人 (1)若该工厂生产盲盒4的人数比生产盲盒8的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒8的工人人数; (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒,和3个盲盒8组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒/或10个盲盒B，目每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒4，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套? 【答案】 1. (+)x=1 【分析】题主要考查了一元一次方程的实际应用(相遇问题)，读懂题意，正确列出一元一次方程是解题的关键.把总路程看作单位“1”，从而可得野鸭与大雁每天的速度，即可列出方程, 【详解】解:设经过x天相遇，则可列一元一次方程为(+)x=1 2.2x+5+x=80 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设乙旅行团的人数是x人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键 【详解】解:设乙旅行团的人数是x人， 由题意得，2x+5+x=80， 课后作业： 1.解：(1)列方程，得3x+2=2x－1. 移项、合并同类项，得x=－3. (2)根据题意，得－3x+2+2x－1=0. 移项，得－3x+2x=－2+1. 合并同类项，得－x=－1. 系数化为1，得x=1. 2. 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用--购买问题，解答本题的关键是熟练掌握“总价=单价x数量” 由买醇酒x斗，行酒(2-x)斗，醇酒价格是50钱，行酒价格是10钱，花30钱共买了2斗两种酒，列出方程即可 【详解】设买醇酒x斗，则买行酒(2-x)斗， ·醇酒价格是50钱;行酒价格是10钱:花30钱共买了2斗两种酒， .50x+10(2-x)=30. 故选:D. 3. 【答案】2352cm2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，等量关系式:剪去一个宽为7cm的长条的面积=剪去一个宽为&cm的长条的面积，据此列方程，求出正方形的边长，即可求解;找出等量关系式是解题的关键. 【详解】解:设正方形的边长为xcm，则有7x=8(x-7)， 去括号得：7x=8x-56 解得：x=56 则剩余的长方形纸片的长为:56-7=49(cm) 剩余的长方形纸片的宽为:56-8=48(cm) 最终剩余的长方形纸片的面积为:49x48=2352(cm2) 答:最终剩余的长方形纸片的面积为2352cm24. 4. 设全价票售出 x 张，半价票售出 y 张。 根据题目条件，我们可以建立以下等量关系： 门票总数量方程：x+y=1200 总票款方程：40x+20y=20000 首先，我们可以从第一个方程中解出 y：y=1200−x 然后，我们将这个表达式代入第二个方程中： 40x+20(1200−x)=20000 展开并化简得：x=1000 最后，我们将 x=1000 代入第一个方程中求出 y：y=200 所以，全价票售出 1000 张，半价票售出 200 张。 【综合拓展类作业】 5.【知识点】 配套问题(一元一次方程的应用) 解读 【答案】(1)生产盲盒B的工人人数为400人 (2)该工厂应该安排250名工人生产4，750名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键. 【详解】(1)解:设生产B的人数为x人，则生产4的人数为(2x-200)人， 于是(2x-200)+x=1000 解得:x=400 答:生产盲盒B的工人人数为400人 (2)解:设安排m人生产4，则安排(1000-m)人生产B， 于是3x20m=2x10(1000-m) 解得:m=250 :1000-m=1000-250=750(人) 答:该工厂应该安排250名工人生产4，750名工人生产才能使每天生产的盒正好配套 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $