第04讲 正方形的性质和判定（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

本讲义聚焦正方形的性质与判定核心知识点，系统梳理平行四边形、矩形、菱形到正方形的从属关系，以正方形“矩形+菱形”双重属性为学习支架，构建从概念、性质到判定及综合应用的知识体系。 资料通过“性质应用-判定推理-综合拓展”三级题型设计，如折叠问题中方程思想的运用、综合题辅助线转化策略，培养学生几何直观与推理能力。课中助力教师分层教学，课后通过变式练习帮助学生巩固知识，提升解决复杂问题的能力。

第04讲 正方形的性质和判定 考点1：正方形的概念和性质 考点2：正方形的判定 考点3：正形的综合应用 考点4：中点四边形 重点： （1）掌握正方形的双重属性（矩形 + 菱形），理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系。 （2）熟记正方形的性质与判定定理，能准确区分判定条件的前提（如 “矩形 + 邻边相等”）。 （3）灵活运用面积、边长、对角线的关系进行计算。 （4）掌握中点四边形的性质 难点： （1）判定定理的灵活选择：根据题干条件（如已知平行四边形 / 矩形 / 菱形），选择最简判定路径，避免逻辑混乱。 （2）综合题的辅助线添加：学会连对角线将正方形转化为等腰直角三角形，利用勾股定理或全等解题。 （3）从属关系的理解：突破 “正方形是特殊的矩形 / 菱形，矩形 / 菱形不一定是正方形” 的逻辑辨析，构建知识体系。 （4）折叠与坐标系综合题：结合方程思想，解决含未知线段的计算问题，考虑多解情况。 知识点1：正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用正方形的性质求角度】 【典例1】如图，在正方形外侧作等边，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，直线，四边形是正方形，点C在直线n上，点D在直线m上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用正方形的性质求边长】 【典例2】如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则正方形的边长为（   ） A．4 B． C．6 D． 【变式1】如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，则的长为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【变式2】如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为36，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3】如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，若，，则线段的长度为（    ） A．10 B． C． D． 【题型3根据正方形的性质求面积】 【典例3】如图，三个边长为4cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，直线l过正方形的顶点B，点A，C到直线l的距离分别为1和2，则正方形的面积是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，此时对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（    ） A． B．8 C．4 D． 【变式3】如图，E是正方形内一点，于E，若，，则阴影部分的面积为（    ） A．48 B．76 C．78 D．84 【题型4 正方形的折叠问题】 【典例4】如图，在边长为2的正方形中，E是边上一点，将沿翻折，得到．若为等边三角形，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点G，G刚好是边的中点，则的长是（    ）    A．3 B．4 C．4.5 D．5 【变式2】如图，是正方形的对角线，E是上的点，，将沿折叠，使点B落在点F处，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点在上的点处，折痕为．若，则线段的长是（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 知识点2：正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 【题型5 添一条件使四边形是正方形】 【典例5】已知四边形中，，如果只添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（    ） A． B． C． D．与互相平分 【变式1】如图，菱形的对角线，相交于点，那么下列条件中，能判断菱形是正方形的为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，仍不能使矩形成为正方形的是（    ）    A． B．平分 C． D．是等边三角形 【变式3】如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（    ）    A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 【题型6 正方形的判定】 【典例6】如图，在矩形中，点M是对角线上一点，于点E，于点F，．求证：四边形是正方形． 【变式1】如图，在中，，是中线，E是中点，过A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)如果 ，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【变式2】如图，在矩形中，的平分线交于的平分线交于，求证：四边形是正方形． 【题型7 正方形的性质与判定综合】 【典例7】如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式1】如图，在矩形中，点，分别在，上．将矩形分别沿，翻折后点，均落在点处，此时，，三点共线，若． (1)求证：矩形为正方形； (2)若，求的长． 【变式2】已知：四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若正方形的边长为，，求正方形的边长． 【变式3】在正方形中，点P在对角线上，点E，F分别在边，上，且于点P． (1)特例发现：如图1，当点P在对角线，的交点处时，求证：； (2)探究证明：如图2，当点P不在对角线，的交点处时，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展运用：在（2）的条件下，若，，连接，请直接写出的长． 1．在正方形中，，则正方形的周长为（   ） A．9 B．12 C． D．6 2．如图，在正方形外侧，作等边，则为（　　） A．75° B．55° C．15° D．25° 3．若正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为（   ） A．1 B．3 C． D．4 4．已知正方形的周长等于，则它的面积是（    ） A． B． C． D． 5．如图，把正方形沿着对角线． 的方向移动到正方形的位置，它们重叠的部分的面积是正方形面积的一半，若，则正方形移动的距离是（   ）    A． B． C． D．无法确定 6．如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 7．在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 8．如图，以正方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系．若点的坐标为，则点的坐标为___________． 9．如图，在正方形中，，对角线交于点，E是延长线上一点，且，则的长度是________ ． 10．如图，在正方形中，点在边上，以为边作矩形，使经过点，若，则矩形的面积等于________． 11．如图，在中，是边的中点，过点 作直线，交的角平分线于点E，交的外角的角平分线于点，连接． (1)求证：四边形为矩形． (2)请添加一个条件，使四边形为正方形，直接写出该条件． 12．如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． (1)试判定四边形的形状，并说明理由； (2)已知，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 正方形的性质和判定 考点1：正方形的概念和性质 考点2：正方形的判定 考点3：正形的综合应用 考点4：中点四边形 重点： （1）掌握正方形的双重属性（矩形 + 菱形），理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系。 （2）熟记正方形的性质与判定定理，能准确区分判定条件的前提（如 “矩形 + 邻边相等”）。 （3）灵活运用面积、边长、对角线的关系进行计算。 （4）掌握中点四边形的性质 难点： （1）判定定理的灵活选择：根据题干条件（如已知平行四边形 / 矩形 / 菱形），选择最简判定路径，避免逻辑混乱。 （2）综合题的辅助线添加：学会连对角线将正方形转化为等腰直角三角形，利用勾股定理或全等解题。 （3）从属关系的理解：突破 “正方形是特殊的矩形 / 菱形，矩形 / 菱形不一定是正方形” 的逻辑辨析，构建知识体系。 （4）折叠与坐标系综合题：结合方程思想，解决含未知线段的计算问题，考虑多解情况。 知识点1：正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用正方形的性质求角度】 【典例1】如图，在正方形外侧作等边，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形和等边三角形的性质得，，，，则，，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求出的度数． 此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， 故选：A． 【变式1】如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据正方形与等边三角形的性质得出，，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∴ 故选C． 【变式2】如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，从而可求出的度数，然后利用等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可. 【详解】解：∵在正方形内作等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3】如图，直线，四边形是正方形，点C在直线n上，点D在直线m上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，平行线的性质． 由正方形可得，利用三角形的内角和定理可求得，进而得到，根据即可得到． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D 【详解】详解片段 【题型2 利用正方形的性质求边长】 【典例2】如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则正方形的边长为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定等，构造全等三角形是解题的关键．先证明得到，由旋转的性质可得，则，由三线合一定理得到，则可利用勾股定理得到，据此可得答案． 【详解】解：如图，作于 由正方形的性质可得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，则的长为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了正方形性质、全等三角形知识；解题的关键是通过正方形面积求边长，设未知数表示相关线段，利用勾股定理建立方程求解；先由正方形的面积求出其边长，易证得，根据，证得，． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 同理可证 ∴， 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故选D． 【变式2】如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为36，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点．掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点D是斜边的中点， ∴． 故选：D． 【变式3】如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，若，，则线段的长度为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，由旋转性质得到，从而得到是等腰三角形，结合等腰三角形性质确定是线段的垂直平分线，再由正方形性质，利用三角形全等的判定得到，进而由全等性质得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于， ∵将边绕点逆时针旋转至点， ， ∵， ∴， ∵在正方形中，，， ， ， ∴，， ， 在和中， ， ， ∴， ∵在中，， ∴， ． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，读懂题意，准确构造出辅助线，灵活运用相关几何性质求解是解决问题的关键． 【题型3根据正方形的性质求面积】 【典例3】如图，三个边长为4cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：A． 【变式1】如图所示，直线l过正方形的顶点B，点A，C到直线l的距离分别为1和2，则正方形的面积是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、余角的性质、勾股定理、正方形的性质，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的性质与判定． 首先根据题意，利用判定出，然后再利用全等三角形的性质，得出，，然后再根据勾股定理得出，即可得出正方形的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴，， 根据勾股定理，可得：， ∴， ∴正方形的面积． 故选：C． 【变式2】如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，此时对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（    ） A． B．8 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可知，过点E作，交的延长线于点，根据等边三角形的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再根据求解即可． 【详解】如图，    ∵菱形中，， ， 是等边三角形， ∵对角线， ， ， 如图3过点E作，交的延长线于点， 是等边三角形， ， ∴， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【变式3】如图，E是正方形内一点，于E，若，，则阴影部分的面积为（    ） A．48 B．76 C．78 D．84 【答案】B 【分析】此题重点考查正方形的性质、勾股定理的应用、三角形及正方形的面积公式等知识与方法，先由，，，根据勾股定理求得，再分别求出正方形的面积和的面积，即可由求出阴影部分的面积． 【详解】解：，，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 阴影部分的面积是76， 故选：B． 【题型4 正方形的折叠问题】 【典例4】如图，在边长为2的正方形中，E是边上一点，将沿翻折，得到．若为等边三角形，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形与折叠问题，等边三角形的性质，勾股定理等知识，过点作，交于，则四边形是矩形，根据等边三角形、正方形与折叠的性质可得，，，，得，，再根据勾股定理即可求解．熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中，， 由折叠可知，，，， ∴， 过点作，交于，则四边形是矩形， ∵为等边三角形， ∴，则， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， 在中，，即：， 解得：， 故选：A． 【变式1】如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点G，G刚好是边的中点，则的长是（    ）    A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和全等三角形的综合知识，根据勾股定理列方程是本题的解题关键．连接，证明，得到，折叠，得到，设，则，则中根据勾股定理列方程可求出的值． 【详解】解：如图，连接，    ∵四边形是正方形， ∴，． ∵沿对折至， ∴，， ∴，， 又是公共边， ∴， ∵G刚好是边的中点， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理列方程：， 解得：． 所以的长是4， 故选：B． 【变式2】如图，是正方形的对角线，E是上的点，，将沿折叠，使点B落在点F处，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的折叠问题及勾股定理，熟练掌握正方形的性质，在中，利用勾股定理求得x的值是解题的关键． 【详解】解：设， 四边形是正方形，且是对角线， ，，， 是由沿折叠得到，且， ，，， ， 在中，， ， 解得：或（舍去）， ， 故选B． 【变式3】如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点在上的点处，折痕为．若，则线段的长是（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】设，根据题意求出，根据折叠的性质得到，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】设，则， ∵，， ， 在中，， 即， 解得：， 即． 故选B． 【点睛】本题考查折叠问题、正方形的性质以及勾股定理，掌握折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等是解题关键． 知识点2：正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 【题型5 添一条件使四边形是正方形】 【典例5】已知四边形中，，如果只添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（    ） A． B． C． D．与互相平分 【答案】C 【分析】本题考查正方形的判定．正方形的判定方法有：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形． 【详解】解：∵， ∴四边形为矩形， 因此再添加条件：一组邻边相等或对角线互相垂直，即可判定四边形为正方形， ∴当或时，四边形为正方形， ∴四个选项中只有C选项符合题意． 故选：C． 【变式1】如图，菱形的对角线，相交于点，那么下列条件中，能判断菱形是正方形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定．根据菱形的性质和正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、由，不能判断菱形是正方形；故A不符合题意； B、四边形是菱形，， 菱形是正方形，故B符合题意； C、由不能判断菱形是正方形；故C不符合题意； D、由不能判断菱形是正方形；故D不符合题意． 故选：B． 【变式2】如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，仍不能使矩形成为正方形的是（    ）    A． B．平分 C． D．是等边三角形 【答案】D 【分析】根据正方形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A选项，添加，满足“对角线互相垂直的矩形是正方形”，不合题意； B选项，平分，则，，，，，，是正方形，不合题意； C选项，添加，满足“有一组邻边相等的矩形是正方形”，不合题意； D选项，是等边三角形，则，不满足，不能使矩形成为正方形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，能熟记正方形的判定定理是解题的关键． 【变式3】如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（    ）    A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴和互相平分， ∵， ∴四边形是菱形， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法：对角线相等的菱形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，是解题的关键． 【题型6 正方形的判定】 【典例6】如图，在矩形中，点M是对角线上一点，于点E，于点F，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定．熟练掌握正方形的判定是解题的关键．根据矩形的性质可得，根据矩形的判定定理可得四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可证明． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【变式1】如图，在中，，是中线，E是中点，过A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)如果 ，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，证明见解析 【分析】（1）先证明，即可得，又由在中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得，即可证得：； （2）当时，四边形是正方形．由，可证得：四边形是平行四边形，又由，根据三线合一的性质，可得，，继而可得四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵在中，，是中线， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形是正方形． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是中线， ∴， ∵， ∴四边形是正方形． 【点睛】此题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识．难度适中，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 【变式2】如图，在矩形中，的平分线交于的平分线交于，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．首先结合矩形的性质证明四边形是平行四边形，再根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”证明四边形是矩形，然后根据“邻边相等的矩形为正方形”证明四边形是正方形． 【详解】证明：如下图， 四边形是矩形， ， ． 平分， ， ， ； 同理可得， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 【题型7 正方形的性质与判定综合】 【典例7】如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，作于，于，根据正方形的性质可得，进而说明，再证明可得，再结合四边形是矩形即可证明结论； （2）同（1）的方法判断出得到，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图，作于，于，则，   点是正方形对角线上的点， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， ∴， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． （2）解：的值是定值，定值为，理由如下： 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、矩形的判定、三角形的全等的性质和判定、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 【变式1】如图，在矩形中，点，分别在，上．将矩形分别沿，翻折后点，均落在点处，此时，，三点共线，若． (1)求证：矩形为正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由翻折得，，，则，所以，而，即可证明，而四边形是矩形，所以四边形是正方形； （2）由翻折和正方形的性质得出，根据，得出，，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】（1）证明：由翻折得，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形，且， 四边形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的长是8． 【点睛】此题重点考查正方形的判定、折叠的性质、勾股定理、矩形的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 【变式2】已知：四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若正方形的边长为，，求正方形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2)正方形的边长为 【分析】（1）作于，于，得到，然后证得，得到，则有，根据正方形的判定即可证得矩形是正方形； （2）证明，可得，，进而可证明，连接，利用勾股定理即可求得正方形的边长． 【详解】（1）证明：如图，作于，于， 得矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； （2）解：正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 连接， ， ， 正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线，证得是解题的关键． 【变式3】在正方形中，点P在对角线上，点E，F分别在边，上，且于点P． (1)特例发现：如图1，当点P在对角线，的交点处时，求证：； (2)探究证明：如图2，当点P不在对角线，的交点处时，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展运用：在（2）的条件下，若，，连接，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可得证； （2）过点P分别作的垂线，垂足分别为M，N ．证明，即可得出结论； （3）勾股定理求出的长，证明是等腰直角三角形，进一步进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴．    ∴都是等腰直角三角形． ∴．    ∵， ∴． ∴， 即．    在和中 ∴．    ∴． （2）解：过点P分别作的垂线，垂足分别为M，N ． ∵四边形是正方形， ∴． ∴四边形是矩形． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是正方形． ∴． ∴即． 在和中 ∴． ∴． （3）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式．解题的关键是证明三角形全等． 1．在正方形中，，则正方形的周长为（   ） A．9 B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查正方形的周长计算．根据正方形的四条边长度相等，周长等于边长的4倍求解即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴正方形的每条边均为3， 所以，周长为， 故选：B． 2．如图，在正方形外侧，作等边，则为（　　） A．75° B．55° C．15° D．25° 【答案】A 【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是求出，的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， 在中，，， ∴， ， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 3．若正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为（   ） A．1 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，根据正方形的性质得出边长相等，四个内角都是直角，正方形的对角线长为，即可作答． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴该正方形的对角线长为， 故选：C． 4．已知正方形的周长等于，则它的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正方形的性质求得正方形的边长，然后再求正方形的面积即可． 【详解】解：∵正方形的周长等于， ∴该正方形的边长为， ∴该正方形的面积为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的边长相等以及面积公式是解答本题的关键． 5．如图，把正方形沿着对角线． 的方向移动到正方形的位置，它们重叠的部分的面积是正方形面积的一半，若，则正方形移动的距离是（   ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据正方形面积的计算方法，列方程求解即可． 【详解】解：设，则，由题意得， ， 解得，不合题意，舍去， 即平移的距离为． 故选：B． 【点睛】本题考查平移的性质，正方形的性质，掌握正方形面积的计算方法是正确解答的前提． 6．如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点．连接，则交于点O，证明，可得，从而得到四边形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接，则交于点O， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故选：B 7．在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形和正方形的判定，解题的关键是先判定四边形为矩形，再根据正方形的判定条件添加合适条件． 先根据已知角的条件判定四边形是矩形，再分析各选项能否使矩形变为正方形即可． 【详解】解： ∴四边形是矩形， ∴当时，四边形是正方形， 故选：D． 8．如图，以正方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系．若点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称点的性质以及正方形性质，根据题意得：D与C关于原点对称，进而得出答案． 【详解】解：∵以正方形的边的中点为原点建立坐标系，点的坐标为， ∴点D的坐标为，， ∴， 故答案为：． 9．如图，在正方形中，，对角线交于点，E是延长线上一点，且，则的长度是________ ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合正方形的性质得，再根据勾股定理算出，因为，所以，再在中，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形对角线互相平分且相等， ∴ ∴， ∴， 则， ∵， ∴在中，， 故答案为：． 10．如图，在正方形中，点在边上，以为边作矩形，使经过点，若，则矩形的面积等于________． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、矩形的性质，连接，根据正方形的性质求得，再根据矩形的性质得到即可求解． 【详解】解：连接，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，在中，是边的中点，过点 作直线，交的角平分线于点E，交的外角的角平分线于点，连接． (1)求证：四边形为矩形． (2)请添加一个条件，使四边形为正方形，直接写出该条件． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)，或（答案不唯一） 【分析】（1）根据角平分线可得，可证，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，可得是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，由此即可求证； （2）根据正方形的判定方法“有一组邻边相等的矩形是正方形”，“对角线相互垂直的平行四边形是正方形”即可求解． 【详解】（1）证明：已知平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知四边形是矩形， ∴根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，“对角线相互垂直的平行四边形是正方形”得，添加条件为：，或（答案不唯一）， 添加条件为：， ∵四边形是矩形，， ∴矩形是正方形； 添加条件：， ∵， ∴， ∵， ∴，即，且四边形是矩形， ∴矩形是正方形； 综上所述，添加条件为：：，或（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的证明，正方形的判定和性质的综合，掌握矩形判定和性质，正方形的判定和性质是解题的关键． 12．如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． (1)试判定四边形的形状，并说明理由； (2)已知，求的长． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2)23 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，图形的旋转， （1）根据旋转的性质可得，即可求解； （2）根据正方形的性质可得，，再由旋转的性质可得：，设，则，，在中，根据勾股定理，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： ∵将绕A点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：在正方形中，， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $