第03讲 菱形的性质和判定（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

本讲义聚焦菱形的性质与判定核心知识点，从菱形的定义出发，系统梳理其边（四边相等）、角（对角相等）、对角线（垂直平分且平分对角）的性质，延伸至面积计算（对角线乘积的一半），再到判定方法（邻边相等的平行四边形、对角线垂直的平行四边形、四边相等的四边形），构建从基础到综合应用的学习支架。 该资料通过易错点提示（如菱形与矩形对角线性质混淆、判定忽略平行四边形前提）培养学生推理意识，分层设计求角度、线段长、面积等题型（典例+变式）提升几何直观，综合题结合直角三角形转化问题发展应用意识。课中助力教师突出重点难点，课后练习题帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

第03讲 菱形的性质和判定 考点1：菱形的概念和性质 考点2：菱形的面积 考点3：菱形的判定 考点4：菱形的性质与判定综合 重点： （1）菱形性质的应用 （2）菱形的判定 （3）菱形性质与判定的互逆应用 难点： （1）性质混淆：易与矩形对角线性质混淆（菱形对角线垂直，矩形对角线相等）。 （2）判定易错点：忽略判定前提，如直接用 “对角线垂直” 证菱形，未先证平行四边形。 （3）综合应用：结合对角线性质构造直角三角形，求解边长、角度；添加辅助线（连对角线）转化问题 知识点1：菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【典例1】如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，点是矩形的对角线的中点，以、为邻边可作菱形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键．连接，根据矩形的性质得到，，再根据菱形的性质证明是等边三角形，则，即可求出的度数． 【详解】解：连接， ∵点是矩形的对角线的中点， ∴点是中点， ， ∴， ∵以、为邻边可作菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C 【变式3】如图，在菱形中，连接，过点作于点，若，则的度数为（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线平分对角是解题的关键． 先根据，求出，再根据菱形的对角线平分对角求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵菱形， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【题型2 根据菱形的性质求线段长】 【典例1】如下图，菱形的对角线，的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（   ） A．5 B．10 C．6 D．8 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得出，，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， 所以这个菱形的边长为5． 【变式1】如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（    ） A． B．4 C．7 D．14 【答案】A 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 【变式2】如图，菱形的对角线与相交于点，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式的综合运用，利用“等面积法”将边长与高建立联系是解题的关键，先根据菱形对角线的性质结合勾股定理求出边长，再通过面积相等列出等式，进而求出的长． 【详解】解：在菱形中， ，，， ， ， ， ． 故选：． 【变式3】如图，菱形的对角线、相交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，由菱形的面积可得，进而由菱形的性质和勾股定理可得，得到，即得，最后根据直角三角形的性质即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 知识点2：菱形的面积（等面积求高） 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 【题型3 根据菱形的性质求面积】 【典例3】如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 【答案】C 【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】已知一个菱形的对角线的长分别为4和3，则这个菱形的面积为（   ） A．6 B．11 C．16 D．9 【答案】A 【分析】本题考查菱形的面积计算，掌握菱形面积等于对角线乘积的一半是解题关键． 直接代入数据计算即可得出答案． 【详解】解：∵菱形的面积为对角线长乘积的一半， ∴该菱形的面积=， 故选：A． 【变式2】如图，在菱形中，对角线与交于点，延长至点，连接交于点．若为的中点，，则菱形的面积为（    ） A． B．6 C．12 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，根据证明得，由勾股定理得，最后由菱形的性质可求面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又为的中点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，由勾股定理得： ∴, ∴； ∴菱形的面积， 故选：A． 【变式3】有两张宽为3，长为9的矩形纸片如图所示叠放在一起，使重叠的部分构成一个菱形，则菱形的最大面积是（　　） A．27 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】根据菱形的高即矩形的宽固定为3，则边长最大时，菱形面积最大，然后根据勾股定理求出菱形的边长，然后根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 此时菱形ABCD的面积最大． 设AB＝x，EB＝9−x，AE＝3， 则由勾股定理得到：32＋（9−x）2＝x2， 解得：x＝5， S最大＝5×3＝15； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，难度较大，解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的面积最大和最小，然后根据图形列方程． 知识点3：菱形的判定 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 【题型4 添一条件使四边形是菱形】 【典例4】如图， ，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项能使变为菱形，符合对角线互相垂直，、、均不能使变为菱形，不符合题意． 故选：D． 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，下列条件不能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 根据菱形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， 故A不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， 故B不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， 故C不符合题意； 无法证明四边形是菱形， 故D符合题意； 故选：D． 【变式2】在的前提下，下列条件能够判定“四边形ABCD是菱形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定和菱形的判定，矩形的判定，判断即可得到结论． 【详解】解：∵，， 四边形是平行四边形， A、，四边形是平行四边形， 四边形是菱形，故A符合题意； B、四边形是平行四边形， ，，不能判定四边形是菱形，故B不符合题意； C、四边形是平行四边形， ，，不能判定四边形是菱形，故C不符合题意； D、四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，故D不符合题意， 故选：A． 【变式3】小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】B 【分析】本题主要考查特殊四边形的关系，熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键．根据四边形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 邻边相等的矩形是正方形，故选项B错误，符合题意； 邻边相等的平行四边形是菱形形，故选项C正确，不符合题意； 有一个角是直角的菱形是正方形，故选项D正确，不符合题意； 故选B． 【题型5 菱形的判定】 【典例5】用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知四边形，在边上求作一点，在边上求作一点，在边上求作一点，使四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图—角平分线和线段的垂直平分线，菱形的判定定理，解题的关键是掌握基本的尺规作图以及角平分线和线段垂直平分线的性质． 根据菱形的判定定理结合角平分线和线段垂直平分线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示，菱形即为所求， 作的平分线，交于点，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，且， ∴四边形为菱形． 【变式1】如图，在中，是的平分线，E是上一点， 交于点F，与交于点G．求证：四边形是菱形． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了菱形的判定，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质与菱形的判定，先得出，在和中，根据全等三角形的判定得出和，得出，，在和中，得出，得出，根据，得出，从而得出，即可得出，从而得出四边形是菱形． 【详解】证明：∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【变式2】如图，四边形是矩形（）． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接、，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用基本作图，作出线段的垂直平分线即可； （2）设交于点O，如图，先证明得到，再证明四边形为菱形即可． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）证明：如图，设交于点O， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查了作图——基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式3】如图，在四边形中，．点O是四边形内一点，且满足．求证： (1)； (2)四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等边对等角，三角形外角的性质，菱形的判定，掌握以上知识是关键． （1）根据等边对等角，三角形外角的性质得到，结合图形，计算角的和差即可求解； （2）根据题意证明，，得到，结合（1），根据两组对角相等的四边形是平行四边形，最后结合；菱形的判定方法即可求解，． 【详解】（1）证明：如图1，延长至E， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， 即， 又∵， ∴； （2）解：如图2，连接， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 即， 由（1）可知，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【题型6 菱形的性质与判定综合】 【典例6】如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，等角对等边，熟知菱形的判定定理和正方形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线的定义推出，则可得到，据此可得结论； （2）可证明四边形是正方形，再根据正方形对角线相等，且正方形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形． 平分 ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：如图所示，连接， 由（1）可知，四边形是菱形． ，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 【变式1】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质． （1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴． 【变式2】在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键． （1）先证明，推出，结合，推出四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，从而推出四边形是菱形即可； （2）过点作交的延长线于点，则，根据菱形的性质和推出和都是等边三角形，得出，再求出，根据所对的直角边等于斜边的一半，得出，最后根据勾股定理求解和即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形． （2）过点作交的延长线于点，则， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∴， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∴CF的长是． 【变式3】如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识的综合，掌握菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据题意得到，四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合菱形的判定方法即可求解； （2）过点作于点，得到是等腰直角三角形，运用勾股定理得到，根据四边形是菱形，直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，则，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，则（负值舍去）， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴． 1．已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， A．菱形的四边相等，故本选项中数据正确，不符合题意； B．∵菱形的四边相等， ∴， ∴，故本选项数据正确，不符合题意； C．∵菱形， ∴， ∴，即，故本选项数据正确，不符合题意； D．∵菱形， ∴，故本选项数据有误，符合题意， 故选：D． 2．在菱形中，，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的性质，根据菱形的对边平行可得，再由菱形的对角线平分一组对角可求出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴． 故选：D． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C的坐标是，则顶点A，B的坐标分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】过C作，根据勾股定理求出的长度，继而根据菱形的性质求得的长即可求得答案． 【详解】解：过C作于E， ∵顶点C的坐标是， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点B的坐标为即，点的坐标为． 4．如图，在菱形中，对角线相交于点，，则的长是（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的对角线相互平分且垂直是解题的关键． 根据菱形的对角线相互平分且垂直，可得，，，然后由勾股定理求得，即可解答． 【详解】解：∵菱形中，对角线相交于点，， ∴，，， ∴， ∴． 故选：B． 5．如图，菱形中，，，于，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出是解此题的关键． 根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：设线段和线段相交于点， ∵菱形，，， ∴，，． ∵，， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ， ． 故选：D． 6．欲证明右图四边形为菱形，下列条件中错误的是（   ） A．且， B．， C． D．且， 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的判定，解决本题的关键是根据菱形的判定定理进行判断．菱形的判定定理有：四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【详解】解：A选项： 且， 四边形是平行四边形， 又 ， 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证四边形是菱形， 故A选项不符合题意； B选项：，， ，， 不能证明， 不能证明四边形是菱形， 故B选项符合题意； C选项：， 根据四条边相等的四边形是菱形，可证四边形是菱形， 故C选项不符合题意； D选项： 且， 四边形是平行四边形， 又 ， 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可证四边形是菱形， 故D选项不符合题意． 7．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个面积为的四边形，当时，则纸条的宽度是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，菱形的面积公式及勾股定理．先根据已知条件判断重合部分四边形的形状，再结合菱形面积公式求出纸条的宽度即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， 如图，过点A分别作，边上的高为，，连接AC， ∵两条纸条宽度相同， ∴， ∴，即， ∴四边形为菱形， 设菱形的边长为x， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，即纸条宽度为． 故选：D． 8．在菱形中，与相交于点O，E为的中点，且，．    (1)求的度数； (2)求菱形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据E为的中点，且，得到，结合菱形性质得到，从而得到是等边三角形，即可得到的度数； （2）根据是等边三角形结合勾股定理求出直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵E为的中点，且， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：∵，E为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是得到是等边三角形． 9． 如图，矩形中，点E 为边上任意一点，连结，点 F 为线段 的中点，过点F 作，与分别相交于点M、N，连结． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，当 时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的判定与性质，熟记矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据已知证明，得，结合，点为线段的中点，即可证得结论； （2），则，设，则，利用勾股定理求出即可解答． 【详解】（1）证明：矩形中，， ， ∵点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ． 10．如图，AD是的角平分线，过点D分别作的平行线，交于点E，交于点F． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若．求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)120 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、角平分线的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，，则即可得出结论； （2）连接交于点O，由菱形的性质得，，再由勾股定理得的值，进而即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵AD是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴四边形的面积 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 菱形的性质和判定 考点1：菱形的概念和性质 考点2：菱形的面积 考点3：菱形的判定 考点4：菱形的性质与判定综合 重点： （1）菱形性质的应用 （2）菱形的判定 （3）菱形性质与判定的互逆应用 难点： （1）性质混淆：易与矩形对角线性质混淆（菱形对角线垂直，矩形对角线相等）。 （2）判定易错点：忽略判定前提，如直接用 “对角线垂直” 证菱形，未先证平行四边形。 （3）综合应用：结合对角线性质构造直角三角形，求解边长、角度；添加辅助线（连对角线）转化问题 知识点1：菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【典例1】如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点是矩形的对角线的中点，以、为邻边可作菱形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在菱形中，连接，过点作于点，若，则的度数为（  ）． A． B． C． D． 【题型2 根据菱形的性质求线段长】 【典例1】如下图，菱形的对角线，的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（   ） A．5 B．10 C．6 D．8 【变式1】如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（    ） A． B．4 C．7 D．14 【变式2】如图，菱形的对角线与相交于点，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，菱形的对角线、相交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则 ． 知识点2：菱形的面积（等面积求高） 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 【题型3 根据菱形的性质求面积】 【典例3】如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 【变式1】已知一个菱形的对角线的长分别为4和3，则这个菱形的面积为（   ） A．6 B．11 C．16 D．9 【变式2】如图，在菱形中，对角线与交于点，延长至点，连接交于点．若为的中点，，则菱形的面积为（    ） A． B．6 C．12 D． 【变式3】有两张宽为3，长为9的矩形纸片如图所示叠放在一起，使重叠的部分构成一个菱形，则菱形的最大面积是（　　） A．27 B．12 C．15 D．18 知识点3：菱形的判定 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 【题型4 添一条件使四边形是菱形】 【典例4】如图， ，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，下列条件不能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】在的前提下，下列条件能够判定“四边形ABCD是菱形”的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【题型5 菱形的判定】 【典例5】用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知四边形，在边上求作一点，在边上求作一点，在边上求作一点，使四边形为菱形． 【变式1】如图，在中，是的平分线，E是上一点， 交于点F，与交于点G．求证：四边形是菱形． 【变式2】如图，四边形是矩形（）． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接、，求证：四边形是菱形． 【变式3】如图，在四边形中，．点O是四边形内一点，且满足．求证： (1)； (2)四边形是菱形． 【题型6 菱形的性质与判定综合】 【典例6】如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【变式1】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【变式2】在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【变式3】如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 1．已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（   ） A．B．C． D． 2．在菱形中，，则的度数为（       ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C的坐标是，则顶点A，B的坐标分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．如图，在菱形中，对角线相交于点，，则的长是（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 5．如图，菱形中，，，于，则等于（    ）． A． B． C． D． 6．欲证明右图四边形为菱形，下列条件中错误的是（   ） A．且， B．， C． D．且， 7．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个面积为的四边形，当时，则纸条的宽度是（    ） A．2 B．4 C． D． 8．在菱形中，与相交于点O，E为的中点，且，．    (1)求的度数； (2)求菱形的面积． 9． 如图，矩形中，点E 为边上任意一点，连结，点 F 为线段 的中点，过点F 作，与分别相交于点M、N，连结． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，当 时，求的长． 10．如图，AD是的角平分线，过点D分别作的平行线，交于点E，交于点F． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若．求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $