专题11 动态平衡和临界极值问题 讲义-2026届高考物理一轮复习模型精讲及课时精练

专题11 动态平衡和临界极值问题 题型一 动态平衡问题 1 题型二 平衡中的临界、极值问题 2 课时精练 8 【基础回顾】 1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。 2.做题流程 3.解决极值和临界问题的三种方法 极限 分析法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 数学 分析法 通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值） 图解法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 题型一 动态平衡问题 1.“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 一个力（F1）恒定，另一个力（F2）方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化。 若F1与F2不垂直，当F3⊥F2时，F3有最小值，F3min＝F1sin θ，如图乙。 2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 一力恒定（如重力），其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向平行，即三力构成的矢量三角形与△ACO几何三角形相似，则对应边比值相等。 基本矢量图，如图所示 基本关系式：。 3.一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题 利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 【例题精讲】 1．（2026•天津模拟）工人师傅在安装高层住户玻璃时，由于无法通过电梯搬运，需要楼上和楼下工人协作配合，楼上师傅通过光滑定滑轮拉动绳子，楼下师傅站在一楼地面上固定位置将绳子往远离楼体的方向拉，以避免窗户被磕碰，如图所示。两段绳子的拉力分别为T1和T2，窗户在两段绳子的作用下缓慢竖直向上运动。窗户从一楼地面竖直向上运动的过程中（　　） A．T1和T2的合力变小 B．楼下师傅需要收缩绳子 C．楼下师傅受到地面的支持力不变 D．T1和T2均增大 2．（2026•杞县校级开学）如图所示，光滑半球面上的小球（可视为质点）被一绕过光滑小定滑轮的轻绳在力F的作用下由底端缓慢拉到顶端的过程中，绳的拉力F及半球面对小球的支持力FN的变化情况为（　　） A．F不变，FN减小 B．F变小，FN不变 C．F变小，FN变小 D．F变小，FN增大 3．（2026•滨州一模）在一地铁站的施工工地，需要利用绳索将一重物沿一竖直面内的轨道从水平地面上的A点缓慢运送到底部C点处，已知AB部分是半径为R、圆心角为60°的圆弧轨道，A点是圆弧轨道的最高点，BC部分为倾斜直轨道，两轨道在B点相切，轨道和定滑轮均视为光滑。定滑轮位于A点正上方2R高度处。在运送过程中，人牵引绳子的位置不动，重物可视为质点。则（　　） A．A到B过程中，轨道对重物的支持力不断增大 B．A到B过程中，绳子对重物的拉力先增大后减小 C．B到C过程中，地面对人的静摩擦力逐渐增大 D．B到C过程中，轨道对重物的支持力不断增大 4.（2026•许昌模拟）如图所示，水平地面上有一竖直木板，光滑铁球被不可伸长的细绳悬挂并靠在木板上。现使木板绕下端顺时针缓慢转至水平状态（转向如图虚线处），转动过程中绳子与木板之间的夹角保持不变，铁球始终处于平衡状态。则转动过程中（　　） A．铁球受到的支持力一直增大，绳子拉力一直减小 B．铁球受到的支持力一直减小，绳子拉力一直增大 C．铁球受到的支持力先增大后减小，绳子拉力一直减小 D．铁球受到的支持力一直减小，绳子拉力先增大后减小 5.（2025秋•浙江期中）如图所示，一倾角30°的固定斜面上有甲、乙两柱体，两柱体的截面分别为半径均为R的圆和四分之一圆，甲的左侧顶着一块垂直斜面的挡板。若甲柱体与乙柱体的质量相等，柱体的曲面和挡板可视为光滑，现将挡板缓慢地沿斜面向上移动，直到圆柱体甲刚要落至斜面为止，整个过程乙始终保持静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两柱体间的弹力先变小后变大 B．甲柱体受到挡板的弹力变小 C．乙与斜面间动摩擦因数的最小值为 D．乙与斜面间动摩擦因数的最小值为 （多选）6．（2025秋•南阳期末）如图所示，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。一小球在拉力F的作用下，从圆弧最低点缓慢移动至右侧最高点，拉力F始终沿圆弧切线方向，关于该过程，下列说法正确的是（　　） A．拉力F一直增大 B．拉力F先增大后减小 C．凹槽对小球的支持力一直减小 D．凹槽对小球的支持力先减小后增大 （多选）7．（2025秋•渝中区校级期末）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑轻质定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端与斜面上的物块M相连，另一端跨过两个等高的固定的光滑轻滑轮K与光滑小球N相连，小球N置于半球面上，半球面的圆心O恰与滑轮K处在同一竖直线上，整个系统处于静止状态。现水平向左缓慢移动半球面，直至小球N达到O的正上方，已知M始终保持静止。则在此过程中（　　） A．半球面对小球N的支持力大小不变 B．M所受细绳的拉力大小一定一直减小 C．定滑轮K受到的弹力先增大后减小 D．M所受斜面的摩擦力大小可能一直减小 题型二 平衡中的临界、极值问题 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： （1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 （2）绳子恰好伸直，拉力F＝0。 （3）刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 （1）极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端（极大或极小），从而找出平衡的临界点和极值点。 （2）数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）。 （3）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 【例题精讲】 1．（2025秋•市南区校级月考）如图所示，有一倾角θ＝30°的斜面B，质量为M。质量为m的物体A静止在B上。现用水平力F推物体A，在F由零逐渐增加至再逐渐减为零的过程中，A和B始终保持静止。重力加速度为g，对此过程下列说法正确的是（　　） A．地面对B的支持为等于Mg B．A对B压力的最小值为，最大值为 C．A所受摩擦力的最小值为0，最大值为 D．A所受摩擦力的最小值为，最大值为 2．（2025秋•平房区校级期末）春节前，小明需移开沙发清扫污垢。如图所示，质量m＝10kg的沙发放置在水平地面上，沙发与地面间的动摩擦因数，小明用力F推沙发，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，下列说法不正确的是（　　） A．若力F＝100N，斜向下与水平方向夹角θ＝30°时，其水平分力大小为 B．若力F＝100N，斜向下与水平方向夹角θ＝30°时，沙发恰好能做匀速直线运动 C．若力F斜向下与水平方向夹角θ＞60°时，无论力F多大，沙发都不会动 D．若力F方向能任意改变，让沙发匀速运动，F斜向上与水平方向成60°时，F最小 3．（2025秋•中原区校级月考）木块a、b、c和轻弹簧p、q及轻质细线连接成如图所示的装置，桌面水平，滑轮光滑。木块a、b、c的质量均为2kg，木块a与桌面间的动摩擦因数为0.4，两弹簧的劲度系数均为8N/cm，取g＝10m/s2。开始时，弹簧p处于原长，木块a、b间细线恰好伸直但不绷紧，三木块均处于静止状态。现水平向左缓慢拉动弹簧p，当木块c刚好离开地面时，弹簧p左端向左移动的距离为（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 4.（2025秋•天津校级月考）如图所示，用轻质细绳悬挂一质量为m的小球，再对小球施加一个力，使小球平衡时悬线绷紧且与竖直方向成β角，则所加力的最小值为（　　） A．mgsinβ B．mgcosβ C．mgtanβ D．mgcotβ 5.（2025秋•道里区校级月考）如图所示，半圆柱体乙置于水平地面上，圆柱体甲静置于乙和竖直挡板之间，开始时两柱体柱心连线O1O2与水平方向夹角为60°。现将挡板缓慢向右移动，直到甲刚要落至地面，乙始终保持静止。已知甲和乙的半径均为R，质量分别为3m和m，柱体的曲面光滑，则乙与地面间动摩擦因数的最小值为（已知sin30°，cos30°）（　　） A． B． C． D． （多选）6．（2025秋•九龙坡区校级月考）在粗糙水平地面上放置一个边长为a、质量为M的正方体ABCD，正方体与地面间的动摩擦因数为μ，在正方体右侧有一竖直光滑墙壁，如图所示，在墙壁和正方体之间放置一半径为R、质量为m的球，球的球心为O，OB与竖直方向的夹角为θ，正方体和球均保持静止，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法错误的是（　　） A．仅改变球的质量，其余条件不变，为保证正方体仍处于静止状态，球的质量应小于 B．将正方体向左推动很小一段距离，其余条件不变，系统仍保持静止，正方体受到的摩擦力不变 C．当正方体的右侧面AB到墙壁的距离小于时，无论球的质量是多少，正方体都不会滑动 D．改变正方体到墙壁的距离，系统始终保持静止，则tanθ的最大值为 （多选）7．（2025秋•北京校级期中）用轻绳吊一个重为G的小球，欲施一力F使小球在图示位置平衡（θ＜30°），下列说法正确的是（　　） A．若力F为最小值时，力F方向与竖直方向成θ角 B．若力F为最大值时，力F方向与竖直方向成2θ角 C．若力F与绳拉力大小相等，力F方向与竖直方向成θ角 D．若力F与G大小相等，力F方向与竖直方向成2θ角 课时精练 1、 选择题（共8小题） 1．（2026•株洲一模）如图，一根轻绳上端固定，下端系一小球，小球在外力F作用下处于静止状态，此时轻绳与竖直方向的夹角为θ。现F缓慢增大但方向保持不变，当F变为原来的2倍时，轻绳与竖直方向的夹角为2θ，此时外力F与小球受到的重力之比为（　　） A．sinθ B．2sinθ C．cosθ D．2cosθ 2.（2026•惠农区校级开学）如图所示，倾角为θ的斜面固定在水平面上，一个重力为G的光滑小球放在斜面上，并用装有转轴（图中未画出）的竖直挡板挡住，小球处于静止状态，挡板对小球的作用力大小为F1，斜面对小球的作用力大小为F2。在挡板绕转轴O逆时针缓慢转过90°的过程中，下列说法正确的是（　　） A．挡板竖直时，F1＝Gcosθ B．挡板竖直时， C．挡板缓慢转动过程中，F2逐渐减小 D．挡板缓慢转动过程中，F1先增大后减小 3.（2026•广东模拟）如图所示，大湾区跨海大桥检修时，工人使用支架系统作业。水平横杆AB一端固定在桥体（A点），另一端B点通过等长轻绳BC和BD悬挂检修篮，轻绳BC和BD与竖直方向夹角均为θ＝37°，检修篮及工人总质量m＝80kg，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（　　） A．轻绳BC的拉力大小约为667N B．横杆AB在B点对轻绳的弹力方向水平向右 C．横杆AB在B点对轻绳的弹力大小为800N D．若θ增大，轻绳BC的拉力将减小 4.（2026•浙江开学）如图所示的家用燃气炉架有四个爪，四个爪均匀分布，若将总质量为m的半球形锅放在炉架上，忽略爪与锅之间的摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．每个爪对锅的弹力是由于锅发生弹性形变产生的 B．每个爪与锅之间的弹力等于 C．若m一定，锅的半径越大，每个爪对锅的弹力越小 D．若m一定，锅的半径越大，燃气炉架对锅的作用力越小 5．（2026•恩施市开学）如图，质量为m的小球，用一细线悬挂在天花板上，现在对小球施加一个大小不变的外力F，且F＜mg，在小球可能的平衡位置中，细线偏离竖直方向的最大角度的正切值为（　　） A． B． C． D． 6．（2026•惠农区校级开学）图甲为我国研制的盾构机刀盘吊装场景，刀盘由绳索与长方形钢架组成的设备悬挂于空中，处于静止状态，四条相同绳索分别牵引住钢架的四个顶点，如图乙。刀盘与钢架总重力为G，每条绳索与竖直方向的夹角均为α，不计绳索重力，下列说法正确的是（　　） A．每根绳索对钢架的拉力大小为 B．刀盘所受的合力方向竖直向上 C．若每根绳索增加相同的长度，每根绳索的拉力将变小 D．绳索对钢架的拉力大于钢架对绳索的拉力 7．（2025秋•赣州期末）如图所示，半径为R的半圆形容器固定在水平面上，容器内壁光滑，一个质量为m、可视为质点的小球静止在容器的底部，现用一个大小等于mg的外力F作用在小球上，使小球向右沿容器内壁缓慢上移。已知重力加速度大小为g，在小球运动过程中，则（　　） A．外力F的方向一定沿顺时针方向转动 B．容器内壁对小球的作用力一定越来越小 C．通过改变外力F的方向，可以使小球运动到B点 D．小球能上升的最大高度为 8．（2025秋•吉安期末）如图所示，一根轻绳一端系一个质量为m的小球，另一端系在一个轻质的光滑圆环P上，圆环套在固定光滑杆上，在轻绳的中点O施加一个水平向右的力F，当力F逆时针缓慢变为竖直的过程中，圆环始终静止，关于OP绳上的力与力F的大小变化正确的是（　　） A．OP上的力一直减小，力F一直减小 B．OP上的力一直增大，力F先增大后减小 C．OP上的力一直减小，力F先减小后增大 D．OP上的力一直增大，力F一直增大 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2026•昭阳区校级开学）如图所示，某同学将一橡皮擦轻放在塑料尺的一端，并将该端伸出桌面边缘，塑料尺缓慢向外移动，弯曲程度变大，橡皮擦相对塑料尺始终保持静止，则在此过程中尺子对橡皮擦的（　　） A．支持力增大 B．支持力减小 C．作用力不变 D．摩擦力减小 （多选）10．（2026•东兴区校级开学）如图所示，带孔滑块P套在水平杆上，并用轻绳将P与小球Q相连，与水平方向成一定夹角的拉力F作用在小球Q上，开始时拉力与细线成钝角，系统静止。现保持F的方向不变，缓慢减小拉力F，下列判断正确的是（　　） A．细线张力先减小后增大 B．细线张力一直减小 C．P受到横杆的支持力先增大后减小 D．P受到横杆的摩擦力一直减小 （多选）11．（2019•新课标Ⅰ）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°．已知M始终保持静止，则在此过程中（　　） A．水平拉力的大小可能保持不变 B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加 C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加 三、解答题（共3小题） 12.（2026•昭阳区校级开学）如图所示，质量为m的物体甲通过3段轻绳悬挂，3段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为M的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝53°，物体甲及人均处于静止状态。求：（已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，取g＝10m/s2） （1）轻绳OA、OB受到的拉力是多大？ （2）地面对人的摩擦力是多大？方向如何？ （3）若人的质量M＝50kg，人与水平面之间的动摩擦因数为μ＝0.4，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则欲使人在水平面上不滑动，物体甲的质量m最大不能超过多少？ 13.（2026•天山区校级开学）擦黑板是同学们经常要做的劳动，已知黑板擦的质量为m。用水平力F将黑板擦压在竖直的黑板面上，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则： （1）当F＝2mg时，黑板擦恰能保持静止，求黑板擦与黑板间的动摩擦因数μ； （2）当F＝0.5mg时，求黑板擦受到的摩擦力大小。 14.（2026•九台区校级开学）用三根细线a、b、c将重力均为G的两个小球1和2连接并悬挂，如图所示。两小球均处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线c水平。 （1）求细线a对小球1的拉力大小Fa； （2）求细线b对小球2的拉力大小Fb； （3）保持小球1、2的位置不变，改变细线c的方向后小球仍能处于静止状态，求细线c的拉力Fc的最小值。 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 动态平衡和临界极值问题 题型一 动态平衡问题 1 题型二 平衡中的临界、极值问题 2 课时精练 17 【基础回顾】 1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。 2.做题流程 3.解决极值和临界问题的三种方法 极限 分析法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 数学 分析法 通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值） 图解法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 题型一 动态平衡问题 1.“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 一个力（F1）恒定，另一个力（F2）方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化。 若F1与F2不垂直，当F3⊥F2时，F3有最小值，F3min＝F1sin θ，如图乙。 2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 一力恒定（如重力），其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向平行，即三力构成的矢量三角形与△ACO几何三角形相似，则对应边比值相等。 基本矢量图，如图所示 基本关系式：。 3.一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题 利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 【例题精讲】 1．（2026•天津模拟）工人师傅在安装高层住户玻璃时，由于无法通过电梯搬运，需要楼上和楼下工人协作配合，楼上师傅通过光滑定滑轮拉动绳子，楼下师傅站在一楼地面上固定位置将绳子往远离楼体的方向拉，以避免窗户被磕碰，如图所示。两段绳子的拉力分别为T1和T2，窗户在两段绳子的作用下缓慢竖直向上运动。窗户从一楼地面竖直向上运动的过程中（　　） A．T1和T2的合力变小 B．楼下师傅需要收缩绳子 C．楼下师傅受到地面的支持力不变 D．T1和T2均增大 【答案】D 【解析】解：A.由三力平衡则T1、T2的合力与重力等大反向，合力不变，故A错误； B.窗户向上运动的过程中，楼下工人师傅需要逐渐放绳子，故B错误； D.由动态分析图解法可知，θ减小，α增大，所以T1和T2均增大，故D正确； C.对楼下师傅进行受力分析则mg＝FN+T2cosθ θ减小，T2增大，T2cosθ增大，楼下师傅受到地面的支持力减小，故C错误。 故选：D。 2．（2026•杞县校级开学）如图所示，光滑半球面上的小球（可视为质点）被一绕过光滑小定滑轮的轻绳在力F的作用下由底端缓慢拉到顶端的过程中，绳的拉力F及半球面对小球的支持力FN的变化情况为（　　） A．F不变，FN减小 B．F变小，FN不变 C．F变小，FN变小 D．F变小，FN增大 【答案】B 【解析】解：作出小球的受力示意图，如图所示 设半球面半径为R，定滑轮到球面最高点的距离为h，定滑轮与小球间绳长为L，从图中可得到力的三角形与距离的三角形相似，根据三角形相似对应边成比例可得： 解得， 由于在拉动过程中h、R不变，L变小，F变小，FN不变。故ACD错误，B正确。 故选：B。 3．（2026•滨州一模）在一地铁站的施工工地，需要利用绳索将一重物沿一竖直面内的轨道从水平地面上的A点缓慢运送到底部C点处，已知AB部分是半径为R、圆心角为60°的圆弧轨道，A点是圆弧轨道的最高点，BC部分为倾斜直轨道，两轨道在B点相切，轨道和定滑轮均视为光滑。定滑轮位于A点正上方2R高度处。在运送过程中，人牵引绳子的位置不动，重物可视为质点。则（　　） A．A到B过程中，轨道对重物的支持力不断增大 B．A到B过程中，绳子对重物的拉力先增大后减小 C．B到C过程中，地面对人的静摩擦力逐渐增大 D．B到C过程中，轨道对重物的支持力不断增大 【答案】D 【解析】解：AB、重物在D点时，对其受力分析，构建矢量三角形如图所示： 由图可知力的矢量三角形和△OO'D相似，有，所以在重物从A到B的过程中，轨道对重物的支持力不变，绳子的拉力逐渐增大，故AB错误； C、重物在E点时，对其受力分析，构建矢量三角形如图所示： 由几何关系可知，重物从B到C的过程中，θ逐渐增大，轨道对重物的支持力逐渐增大，绳拉力逐渐减小，故C错误； D、对人受力分析如图所示： 将力正交分解，水平方向受力平衡，有Tcosγ＝f，绳拉力逐渐减小，地面对人的静摩擦力逐渐减小，故D正确。 故选：D。 4.（2026•许昌模拟）如图所示，水平地面上有一竖直木板，光滑铁球被不可伸长的细绳悬挂并靠在木板上。现使木板绕下端顺时针缓慢转至水平状态（转向如图虚线处），转动过程中绳子与木板之间的夹角保持不变，铁球始终处于平衡状态。则转动过程中（　　） A．铁球受到的支持力一直增大，绳子拉力一直减小 B．铁球受到的支持力一直减小，绳子拉力一直增大 C．铁球受到的支持力先增大后减小，绳子拉力一直减小 D．铁球受到的支持力一直减小，绳子拉力先增大后减小 【答案】C 【解析】解：对铁球受力分析，构建矢量三角形如图所示： 绳拉力与支持力夹角不变，可用辅助圆分析，由图可知绳拉力逐渐减小，支持力先增大后减小，故C正确，ABD错误。 故选：C。 5.（2025秋•浙江期中）如图所示，一倾角30°的固定斜面上有甲、乙两柱体，两柱体的截面分别为半径均为R的圆和四分之一圆，甲的左侧顶着一块垂直斜面的挡板。若甲柱体与乙柱体的质量相等，柱体的曲面和挡板可视为光滑，现将挡板缓慢地沿斜面向上移动，直到圆柱体甲刚要落至斜面为止，整个过程乙始终保持静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两柱体间的弹力先变小后变大 B．甲柱体受到挡板的弹力变小 C．乙与斜面间动摩擦因数的最小值为 D．乙与斜面间动摩擦因数的最小值为 【答案】C 【解析】解：AB、根据题意分析可知，如图所示，对甲受力分析 将挡板缓慢地沿斜面向上移动，直到圆柱体甲刚要落至斜面为止，甲、乙两柱体间的弹力FN2一直增大；挡板对甲的弹力FN1一直增大。 故AB错误； CD、根据题意分析可知，如图所示 由几何关系，可得，解得α＝30° 根据边角关系，可知在力的平行四边形中，有FN1＝mg 对甲、乙整体受力分析，如图 由平衡条件，可得垂直于斜面方向上N＝2mgcos30°；平行于斜面方向上f＝2mgsin30°+FN1 又f＝μN联立，解得 故C正确，D错误。 故选：C。 （多选）6．（2025秋•南阳期末）如图所示，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。一小球在拉力F的作用下，从圆弧最低点缓慢移动至右侧最高点，拉力F始终沿圆弧切线方向，关于该过程，下列说法正确的是（　　） A．拉力F一直增大 B．拉力F先增大后减小 C．凹槽对小球的支持力一直减小 D．凹槽对小球的支持力先减小后增大 【答案】AC 【解析】解：对小球受力分析，构建矢量三角形如图所示： 拉力始终沿切线方向，则拉力和支持力方向始终垂直，可用辅助圆分析，由图可知拉力逐渐增大，支持力逐渐减小，故AC正确，BD错误。 故选：AC。 （多选）7．（2025秋•渝中区校级期末）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑轻质定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端与斜面上的物块M相连，另一端跨过两个等高的固定的光滑轻滑轮K与光滑小球N相连，小球N置于半球面上，半球面的圆心O恰与滑轮K处在同一竖直线上，整个系统处于静止状态。现水平向左缓慢移动半球面，直至小球N达到O的正上方，已知M始终保持静止。则在此过程中（　　） A．半球面对小球N的支持力大小不变 B．M所受细绳的拉力大小一定一直减小 C．定滑轮K受到的弹力先增大后减小 D．M所受斜面的摩擦力大小可能一直减小 【答案】BC 【解析】解：AB、对小球N进行受力分析，如图所示。根据相似三角形关系可得：。现水平向左缓慢移动半球面，则KN减小，因此绳子的拉力T减小，而支持力FN保持不变。由此可知，角度γ大于90°且在减小；角度β增大到180°；角度α小于90°且也在减小。因此，绳子的拉力T一直减小到零，而支持力FN一直增大。故A错误，B正确； C、定滑轮K受到的弹力大小等于绕过它的两段绳子拉力的合力。其中一段绳子保持水平，另一段绳子KN随小球N的移动而逐渐趋于竖直，两段绳子之间的夹角逐渐减小，根据合力公式可知，夹角减小会使合力增大；而由B项分析可知，绳子拉力FT本身在减小，这会使合力减小。在这两个因素的共同竞争下，滑轮K受到的弹力会先增大后减小，故C正确； D、物块M所受斜面的摩擦力f取决于FT与重力沿斜面分量Mgsinθ的关系。若初始状态下FT＞Mgsinθ，摩擦力沿斜面向下，随着FT减小，f先减小；当FT减小到小于Mgsinθ时，摩擦力将变为沿斜面向上并反向增大。由于过程持续到N到达O正上方，此时FT达到最小值，通常会经历先减小后增大的过程，故“一直减小”是不确定的，故D错误。 故选：BC。 题型二 平衡中的临界、极值问题 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： （1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 （2）绳子恰好伸直，拉力F＝0。 （3）刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 （1）极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端（极大或极小），从而找出平衡的临界点和极值点。 （2）数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）。 （3）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 【例题精讲】 1．（2025秋•市南区校级月考）如图所示，有一倾角θ＝30°的斜面B，质量为M。质量为m的物体A静止在B上。现用水平力F推物体A，在F由零逐渐增加至再逐渐减为零的过程中，A和B始终保持静止。重力加速度为g，对此过程下列说法正确的是（　　） A．地面对B的支持为等于Mg B．A对B压力的最小值为，最大值为 C．A所受摩擦力的最小值为0，最大值为 D．A所受摩擦力的最小值为，最大值为 【答案】B 【解析】解：A、对AB整体受力分析，竖直方向受力平衡，地面对B的支持力N＝Mg+mg，与推力无关，故A错误； BCD、对A受力分析如图所示： 将力正交分解，垂直斜面方向有NA＝mgcos30°+Fsin30°，当F＝0时，B对A的支持力有最小值，当F时，B对A的支持力有最大值，由牛顿第三定律可知A对B压力的最小值为，最大值为， 沿斜面方向有f+mgsinθ＝Fcosθ，当F＝0时，A受到的摩擦力f，即摩擦力大小为，方向沿斜面向上，当mgsinθ＝Fcosθ时，A受到的摩擦力为零，此时F，当F时，A受到的摩擦力f，方向沿斜面向下，所以A受到的摩擦力先沿斜面向上由减小到零，再沿斜面向下由零增大到，故最小值为零，最大值为，故B正确，CD错误。 故选：B。 2．（2025秋•平房区校级期末）春节前，小明需移开沙发清扫污垢。如图所示，质量m＝10kg的沙发放置在水平地面上，沙发与地面间的动摩擦因数，小明用力F推沙发，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，下列说法不正确的是（　　） A．若力F＝100N，斜向下与水平方向夹角θ＝30°时，其水平分力大小为 B．若力F＝100N，斜向下与水平方向夹角θ＝30°时，沙发恰好能做匀速直线运动 C．若力F斜向下与水平方向夹角θ＞60°时，无论力F多大，沙发都不会动 D．若力F方向能任意改变，让沙发匀速运动，F斜向上与水平方向成60°时，F最小 【答案】D 【解析】解：AB．若力F斜向下与水平方向成θ＝30°，地面对沙发的摩擦力大小为Ff＝μ（mg+Fsin30°） 代入数据得Ff＝50N 沙发恰好能做匀速直线运动，所以两个力大小相等方向相反，力F在水平方向的分力大小为，故AB正确； C．若力F斜向下与水平方向成θ角，则最大静摩擦力大小为Ff＝μ（mg+Fsinθ） 若要使物体静止不动，应该满足Fcosθ≤μ（mg+Fsinθ） 得F（cosθ﹣μsinθ）≤μmg 如果满足cosθ﹣μsinθ＜0 代入数据得θ＞60°，即此时无论F多大，物体都会保持静止，故C正确； D．如图所示，设沙发做匀速直线运动时所受支持力和滑动摩擦力的合力为F合，支持力与F合之间的夹角为α，由于 则 代入数据得tanα 代入数据得α＝30° 根据沙发受力平衡可知，受力分析如图 沙发所受重力和推力F的合力F′合与F合反向，由此可知，当力F与F′合垂直时，F最小，此时F斜向上，与水平方向夹角为30°，故D错误。 本题选择错误的，故选：D。 3．（2025秋•中原区校级月考）木块a、b、c和轻弹簧p、q及轻质细线连接成如图所示的装置，桌面水平，滑轮光滑。木块a、b、c的质量均为2kg，木块a与桌面间的动摩擦因数为0.4，两弹簧的劲度系数均为8N/cm，取g＝10m/s2。开始时，弹簧p处于原长，木块a、b间细线恰好伸直但不绷紧，三木块均处于静止状态。现水平向左缓慢拉动弹簧p，当木块c刚好离开地面时，弹簧p左端向左移动的距离为（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 【答案】C 【解析】解：初始时对木块b受力分析，有F1＝mg＝2×10N＝20N，弹簧q处于压缩状态，由胡克定律可知F1＝kx1， 木块c刚好离开地面时，对木块c受力分析，有F2＝mg＝2×10N＝20N，弹簧q处于拉伸状态，由胡克定律可知F2＝kx2， 木块c刚好离开地面时，对bc整体受力分析，有T＝2mg＝2×2×10N＝40N，对木块a受力分析，有F＝μmg+T＝0.4×2×10N+40N＝48N，对弹簧p，由胡克定律可知F＝kx3， 弹簧p左端向左移动的距离x＝x1+x2+x3，代入数据可得x＝11cm，故C正确，ABD错误。 故选：C。 4.（2025秋•天津校级月考）如图所示，用轻质细绳悬挂一质量为m的小球，再对小球施加一个力，使小球平衡时悬线绷紧且与竖直方向成β角，则所加力的最小值为（　　） A．mgsinβ B．mgcosβ C．mgtanβ D．mgcotβ 【答案】A 【解析】解：根据题意分析可知，对小球进行受力分析，如图所示 以小球为研究对象，小球受重力mg、绳拉力FT、外力F。根据平衡条件知F与FT合力与mg等大反向。即F与FT的合力为 G′＝mg 在合力G′一定，其一分力FT方向一定的前提下，另一分力的最小值条件是F垂直于绳所在直线向上，则有 F＝mgsinβ，故A正确，BCD错误； 故选：A。 5.（2025秋•道里区校级月考）如图所示，半圆柱体乙置于水平地面上，圆柱体甲静置于乙和竖直挡板之间，开始时两柱体柱心连线O1O2与水平方向夹角为60°。现将挡板缓慢向右移动，直到甲刚要落至地面，乙始终保持静止。已知甲和乙的半径均为R，质量分别为3m和m，柱体的曲面光滑，则乙与地面间动摩擦因数的最小值为（已知sin30°，cos30°）（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：在此过程中，当地面对乙的静摩擦力最大时刚好不滑动，此情况下动摩擦因数最小。设O1O2与竖直方向的夹角为θ，对甲受力分析如下图所示： 由平衡条件可得挡板对甲的弹力为：N＝3mgtanθ 对甲、乙整体受力分析，易知地面对乙的支持力大小为：FN＝4mg，地面对乙的静摩擦力大小为：f＝N＝3mgtanθ。可知θ越大，f越大，由几何关系可知甲刚要落至地面时θ最大，且满足：cosθm，解得：θm＝60°，则有： fmax＝3mgtanθm°≤μFN＝4μmg，解得：μ 则乙与地面间动摩擦因数的最小值，故D正确，ABC错误。 故选：D。 （多选）6．（2025秋•九龙坡区校级月考）在粗糙水平地面上放置一个边长为a、质量为M的正方体ABCD，正方体与地面间的动摩擦因数为μ，在正方体右侧有一竖直光滑墙壁，如图所示，在墙壁和正方体之间放置一半径为R、质量为m的球，球的球心为O，OB与竖直方向的夹角为θ，正方体和球均保持静止，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法错误的是（　　） A．仅改变球的质量，其余条件不变，为保证正方体仍处于静止状态，球的质量应小于 B．将正方体向左推动很小一段距离，其余条件不变，系统仍保持静止，正方体受到的摩擦力不变 C．当正方体的右侧面AB到墙壁的距离小于时，无论球的质量是多少，正方体都不会滑动 D．改变正方体到墙壁的距离，系统始终保持静止，则tanθ的最大值为 【答案】ABD 【解析】解：A．设正方体和球之间的弹力为N1，墙壁对球的弹力为N2，地面对正方体的弹力与摩擦力分别为FN、Ff，对正方体受力分析如图甲所示，由平衡条件可得：Ff＝N1sinθ≤μFN 对球体受力分析如图乙所示，由平衡条件可得：N1cosθ＝mg 对正方体和球体构成的整体受力分析如图丙所示，由平衡条件可得：FN＝（M+m）g 联立可得：mgtanθ≤μ（M+m）g 解得：，故A错误； B．由上述分析可得：Ff＝mgtanθ，将正方体向左推动一小段距离，θ增大，则Ff增大，故B错误； D．由：mgtanθ≤μ（M+m）g，解得：，故D错误； C．由：，当tanθ≤μ时，无论球的质量是多少，正方体都不会滑动，则正方体右侧面AB到墙壁的距离应小于R+Rsinθ，当tanθ＝μ时，sinθ，可得正方体右侧面AB到墙壁的距离应小于，故C正确。 本题选择错误的，故选：ABD。 （多选）7．（2025秋•北京校级期中）用轻绳吊一个重为G的小球，欲施一力F使小球在图示位置平衡（θ＜30°），下列说法正确的是（　　） A．若力F为最小值时，力F方向与竖直方向成θ角 B．若力F为最大值时，力F方向与竖直方向成2θ角 C．若力F与绳拉力大小相等，力F方向与竖直方向成θ角 D．若力F与G大小相等，力F方向与竖直方向成2θ角 【答案】CD 【解析】解：受力分析如图所示： 由图解法可得 A、F最小时，与竖直方向的夹角为；，故A错误； B、F不存在最大值，可以无限大，故B错误； C、F与绳拉力大小相等时，F与竖直方向夹角为θ，故C正确； D、F与G大小相等时，F与竖直方向夹角为2θ，故D正确； 故选：CD。 课时精练 1、 选择题（共8小题） 1．（2026•株洲一模）如图，一根轻绳上端固定，下端系一小球，小球在外力F作用下处于静止状态，此时轻绳与竖直方向的夹角为θ。现F缓慢增大但方向保持不变，当F变为原来的2倍时，轻绳与竖直方向的夹角为2θ，此时外力F与小球受到的重力之比为（　　） A．sinθ B．2sinθ C．cosθ D．2cosθ 【答案】B 【解析】解：设外力F与水平方向的夹角为α，分析小球受力情况，如图所示： 根据平衡条件得 水平方向有Fcosα＝Tsinθ 竖直方向有Fsinα+Tcosθ＝mg 当外力变为2F时，设绳子的拉力为T′，同理可得 2Fcosα＝T′sin2θ，2Fsinα+T′cos2θ＝mg 联立解得F：mg＝2sinθ：1，故ACD错误，B正确。 故选：B。 2.（2026•惠农区校级开学）如图所示，倾角为θ的斜面固定在水平面上，一个重力为G的光滑小球放在斜面上，并用装有转轴（图中未画出）的竖直挡板挡住，小球处于静止状态，挡板对小球的作用力大小为F1，斜面对小球的作用力大小为F2。在挡板绕转轴O逆时针缓慢转过90°的过程中，下列说法正确的是（　　） A．挡板竖直时，F1＝Gcosθ B．挡板竖直时， C．挡板缓慢转动过程中，F2逐渐减小 D．挡板缓慢转动过程中，F1先增大后减小 【答案】C 【解析】解：AB．挡板竖直时对小球进行受力分析，利用矢量三角形法则作图，如图所示： 根据平衡条件可得： 挡板对小球的作用力大小：F1＝Gtanθ 斜面对小球的作用力大小：，故AB错误； CD．挡板绕转轴O逆时针缓慢转过90°的过程中，根据图像可知，F1先减小后增大，F2逐渐减小，故C正确，D错误。 故选：C。 3.（2026•广东模拟）如图所示，大湾区跨海大桥检修时，工人使用支架系统作业。水平横杆AB一端固定在桥体（A点），另一端B点通过等长轻绳BC和BD悬挂检修篮，轻绳BC和BD与竖直方向夹角均为θ＝37°，检修篮及工人总质量m＝80kg，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（　　） A．轻绳BC的拉力大小约为667N B．横杆AB在B点对轻绳的弹力方向水平向右 C．横杆AB在B点对轻绳的弹力大小为800N D．若θ增大，轻绳BC的拉力将减小 【答案】C 【解析】解：A．以工人和检修篮为对象，竖直方向根据平衡条件可得：2Tcos37°＝mg，解得轻绳BC拉力大小T＝500N，故A错误； BC．杆在B点对轻绳的支持力与地球对轻绳、工人和检修篮的重力是一对平衡力，其大小等于800N，方向竖直向上，故B错误，C正确； D．两绳BC和BD拉力的合力不变，等于mg，竖直方向根据平衡条件可得：2Tcosθ＝mg，θ增大，每根绳子中的拉力大小增大，故D错误。 故选：C。 4.（2026•浙江开学）如图所示的家用燃气炉架有四个爪，四个爪均匀分布，若将总质量为m的半球形锅放在炉架上，忽略爪与锅之间的摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．每个爪对锅的弹力是由于锅发生弹性形变产生的 B．每个爪与锅之间的弹力等于 C．若m一定，锅的半径越大，每个爪对锅的弹力越小 D．若m一定，锅的半径越大，燃气炉架对锅的作用力越小 【答案】C 【解析】解：A、谁施力谁形变，所以每个爪对锅的弹力是由于爪发生弹性形变产生的，故A错误； B、设每个爪与锅之间的弹力F方向与水平方向夹角为θ，竖直方向根据平衡条件有：4Fsinθ＝mg 解得：Fmg，故B错误； C、设正对的一对爪之间的距离为d，锅的半径为R，根据几何关系可得：sinθ 解得：F，若m一定，锅的半径越大，每个爪对锅的弹力越小，故C正确； D、根据平衡条件可知，燃气炉架对锅的作用力等于锅的重力，若m一定，燃气炉架对锅的作用力不变，故D错误。 故选：C。 5．（2026•恩施市开学）如图，质量为m的小球，用一细线悬挂在天花板上，现在对小球施加一个大小不变的外力F，且F＜mg，在小球可能的平衡位置中，细线偏离竖直方向的最大角度的正切值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：对小球受力分析，小球受3力作用：重力、外力F和线的拉力，如图所示： 重力不变，F的大小不变，三力平衡构成封闭三角形，当F与细线垂直时，细线偏离竖直方向角度最大，根据几何关系可得细线偏离竖直方向的最大角度的正切值为：tanθ，故D正确，ABC错误。 故选：D。 6．（2026•惠农区校级开学）图甲为我国研制的盾构机刀盘吊装场景，刀盘由绳索与长方形钢架组成的设备悬挂于空中，处于静止状态，四条相同绳索分别牵引住钢架的四个顶点，如图乙。刀盘与钢架总重力为G，每条绳索与竖直方向的夹角均为α，不计绳索重力，下列说法正确的是（　　） A．每根绳索对钢架的拉力大小为 B．刀盘所受的合力方向竖直向上 C．若每根绳索增加相同的长度，每根绳索的拉力将变小 D．绳索对钢架的拉力大于钢架对绳索的拉力 【答案】C 【解析】解：A．刀盘处于平衡状态，对刀盘进行受力分析有 4FTcosα＝G 故每根绳索对刀盘与钢架的拉力大小为 故A错误； B．刀盘处于平衡状态，故刀盘所受的合力为零，故B错误； C．若每根绳索增加相同的长度，根据拉力的表达式，α变小，cosα变大，则每根绳索的拉力将变小，故C正确； D．根据牛顿第三定律，绳索对钢架的拉力等于钢架对绳索的拉力，故D错误。 故选：C。 7．（2025秋•赣州期末）如图所示，半径为R的半圆形容器固定在水平面上，容器内壁光滑，一个质量为m、可视为质点的小球静止在容器的底部，现用一个大小等于mg的外力F作用在小球上，使小球向右沿容器内壁缓慢上移。已知重力加速度大小为g，在小球运动过程中，则（　　） A．外力F的方向一定沿顺时针方向转动 B．容器内壁对小球的作用力一定越来越小 C．通过改变外力F的方向，可以使小球运动到B点 D．小球能上升的最大高度为 【答案】D 【解答】解：刚开始移动时和小球到达最高点时，分别对小球受力分析，构建矢量三角形如图所示： A、由图可知外力F的初始方向斜向下时，沿逆时针方向转动，初始方向斜向上时，沿顺时针方向转动，故A错误； B、外力逆时针转动时，容器对小球的作用力逐渐减小，外力顺时针转动时，容器对小球的作用力逐渐增大，故B错误； CD、由几何关系可知θ＝30°，小球上升的最大高度h＝R（1﹣cos30°），代入数据可得h＝（1）R，故C错误，D正确。 故选：D。 8．（2025秋•吉安期末）如图所示，一根轻绳一端系一个质量为m的小球，另一端系在一个轻质的光滑圆环P上，圆环套在固定光滑杆上，在轻绳的中点O施加一个水平向右的力F，当力F逆时针缓慢变为竖直的过程中，圆环始终静止，关于OP绳上的力与力F的大小变化正确的是（　　） A．OP上的力一直减小，力F一直减小 B．OP上的力一直增大，力F先增大后减小 C．OP上的力一直减小，力F先减小后增大 D．OP上的力一直增大，力F一直增大 【答案】C 【解答】解：对点O受力分析，构建矢量三角形如图所示： 轻质圆环始终静止，即OP绳拉力方向始终垂直于杆，由图可知，OP上的拉力一直减小，力F先减小后增大，故C正确，ABD错误。 故选：C。 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2026•昭阳区校级开学）如图所示，某同学将一橡皮擦轻放在塑料尺的一端，并将该端伸出桌面边缘，塑料尺缓慢向外移动，弯曲程度变大，橡皮擦相对塑料尺始终保持静止，则在此过程中尺子对橡皮擦的（　　） A．支持力增大 B．支持力减小 C．作用力不变 D．摩擦力减小 【答案】BC 【解析】解：将橡皮擦所在位置等效为沿塑料尺切线方向的一个斜面，斜面倾角为θ，对橡皮擦进行分析，如图所示， 则有f＝mgsinθ，N＝mgcosθ；根据牛顿第三定律有f'＝f，N′＝N。在橡皮擦离桌边越来越远，塑料尺也越来越弯曲的过程中，等效斜面倾角θ逐渐增大，可知f'增大，N'减小，即橡皮擦对尺子的压力减小，尺子对橡皮擦的摩擦力增大，尺子对橡皮擦的合力不变，大小等于橡皮擦的重力，方向竖直向上。故BC正确，AD错误。 故选：BC。 （多选）10．（2026•东兴区校级开学）如图所示，带孔滑块P套在水平杆上，并用轻绳将P与小球Q相连，与水平方向成一定夹角的拉力F作用在小球Q上，开始时拉力与细线成钝角，系统静止。现保持F的方向不变，缓慢减小拉力F，下列判断正确的是（　　） A．细线张力先减小后增大 B．细线张力一直减小 C．P受到横杆的支持力先增大后减小 D．P受到横杆的摩擦力一直减小 【答案】AD 【解析】解：AB．小球Q的重力G不变、受到拉力F方向不变，在三个力作用下平衡，如图所示，刚开始拉力与细线成钝角，拉力F和细线垂直时最小，张力T先减小后增大，故B错误，A正确； CD．对P和Q整体，设拉力F与水平夹角为θ，杆对P的支持力FN＝（mPg+mQg）﹣Fsinθ 因为F减小，所以FN一直增大； 整体在水平方向，只有P受到横杆的摩擦力大小f＝Fcosθ 则F一直减小，f也一直减小，故C错误，D正确。 故选：AD。 （多选）11．（2019•新课标Ⅰ）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°．已知M始终保持静止，则在此过程中（　　） A．水平拉力的大小可能保持不变 B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加 C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加 【答案】BD 【解答】解：AB、根据M、N均保持静止，进行受力分析可知，N受到竖直向下的重力及水平方向的拉力F，变化的绳子拉力T，如下图所示： 在向左拉动的时候，绳子拉力T和水平拉力F都不断增大，故A错误，B正确； CD、对于M的受力，开始时可能是T＝mgsinθ﹣f，当T不断增大的时候，f减少；当T＞mgsinθ时，随着T的增大，f将增大，所以沿斜面的摩擦力f可能先减小后增大；也可能是T＝mgsinθ+f，当T不断增大的时候，摩擦力f增大；故C错误，D正确。 故选：BD。 三、解答题（共3小题） 12.（2026•昭阳区校级开学）如图所示，质量为m的物体甲通过3段轻绳悬挂，3段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为M的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝53°，物体甲及人均处于静止状态。求：（已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，取g＝10m/s2） （1）轻绳OA、OB受到的拉力是多大？ （2）地面对人的摩擦力是多大？方向如何？ （3）若人的质量M＝50kg，人与水平面之间的动摩擦因数为μ＝0.4，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则欲使人在水平面上不滑动，物体甲的质量m最大不能超过多少？ 【答案】（1）轻绳OA、OB受到的拉力分别是mg、mg； （2）地面对人的摩擦力是mg，方向水平向左； （3）欲使人在水平面上不滑动，物体甲的质量m最大不能超过15kg。 【解析】解：（1）对结点O与物体进行受力分析，如图所示 设甲通过绳子对O的拉力mg，OB的拉力F和OA的拉力T，处于平衡状态，则有： T，F＝mg•tanθ 解得：Tmg，Fmg； （2）对人受力分析，在水平方向上受OB的拉力F'和地面对人的摩擦力f处于平衡状态，则有：f＝F'＝F 结合上述解得：fmg，方向水平向左； （3）人在竖直方向上受重力Mg和支持力N，若人的质量M＝50kg，人与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.4。 则人受到的最大静摩擦力为：fmax＝μN＝μMg 此时物体甲的质量达到最大，结合上述有：fmaxmmaxg； 解得：mmax＝15kg。 答：（1）轻绳OA、OB受到的拉力分别是mg、mg； （2）地面对人的摩擦力是mg，方向水平向左； （3）欲使人在水平面上不滑动，物体甲的质量m最大不能超过15kg。 13.（2026•天山区校级开学）擦黑板是同学们经常要做的劳动，已知黑板擦的质量为m。用水平力F将黑板擦压在竖直的黑板面上，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则： （1）当F＝2mg时，黑板擦恰能保持静止，求黑板擦与黑板间的动摩擦因数μ； （2）当F＝0.5mg时，求黑板擦受到的摩擦力大小。 【答案】（1）黑板擦与黑板间的动摩擦因数为0.5； （2）黑板擦受到的摩擦力大小为mg。 【解析】解：（1）当F＝2mg时，黑板擦恰能保持静止，则黑板擦与黑板间的静摩擦力达到最大值。 对黑板擦，竖直方向根据平衡条件可知，黑板擦受到的静摩擦力大小f1＝mg 又f1＝μN1＝μF＝μ•2mg 联立解得黑板擦与黑板间的动摩擦因数μ＝0.5 （2）当F＝0.5mg时，黑板擦相对于黑板面向下运动，黑板擦受到的滑动摩擦力大小为 f2＝μN2＝μF＝0.5×0.5mgmg 答：（1）黑板擦与黑板间的动摩擦因数为0.5； （2）黑板擦受到的摩擦力大小为mg。 14.（2026•九台区校级开学）用三根细线a、b、c将重力均为G的两个小球1和2连接并悬挂，如图所示。两小球均处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线c水平。 （1）求细线a对小球1的拉力大小Fa； （2）求细线b对小球2的拉力大小Fb； （3）保持小球1、2的位置不变，改变细线c的方向后小球仍能处于静止状态，求细线c的拉力Fc的最小值。 【答案】（1）细线a对小球1的拉力大小Fa为G； （2）细线b对小球2的拉力大小Fb为G； （3）细线c的拉力Fc的最小值为G。 【解析】解：（1）将两球和细线b视为整体，分析受力如图所示： 根据平衡条件可得 FaG Fc＝2Gtan30°G （2）对小球2进行受力分析，由平衡条件有 G2 联立解得：FbG （3）以1、2两小球为整体研究，根据受力平衡可得力的矢量三角形如下图所示： 可知当Fc与水平方向成30°斜向上时，Fc达到最小值，且其最小值为 Fcmin＝2Gsin30°＝G 答：（1）细线a对小球1的拉力大小Fa为G； （2）细线b对小球2的拉力大小Fb为G； （3）细线c的拉力Fc的最小值为G。 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $