6.4.3.2 正弦定理 巩固训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§6.4.3 课时2 正弦定理 1. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 2. 已知圆的半径为，分别为该圆的内接三角形的三边，若，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 3. 在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有唯一解 B．，，无解 C．，有两解 D．，有唯一解 4. 在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 5. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 6. （多选）在中，下列关系中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7. （多选）对于有如下命题，其中正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，且有两解，则的取值范围是 C．在锐角中，不等式恒成立 D．在中，若，则必是等边三角形 8. （多选）在△ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是锐角三角形 C．若，则外接圆的半径为 D．若，则 内切圆的半径为 9. 在中，若，，，则______． 10. 在中，若，，，则__________，的面积__________． 11. 的内角的对边分别为，已知为锐角. (1)求； (2)若，求的周长. 12. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且. (1)求C； (2)若的面积为求c. 13. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，求的外接圆面积； (2)若，求角. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §6.4.3 课时2 正弦定理 1. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【详解】由余弦定理得， 又，所以，所以， 所以由正弦定理得． 2. 已知圆的半径为，分别为该圆的内接三角形的三边，若，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】利用正弦定理以及三角形的面积公式结合已知条件即可求解. 【详解】设分别为角所对的边， 在中，由正弦定理可得：， 所以， ， 所以三角形的面积为， 故选：C. 3. 在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有唯一解 B．，，无解 C．，有两解 D．，有唯一解 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】对于A，由勾股定理逆定理即可判断；对于BCD，由正弦定理即可判断. 【详解】对于A，因为，所以是以为直角边的直角三角形，故A正确； 对于B，若，，则，解得， 所以有两个解，故B错误； 对于C，若，则，解得，所以无解，故C错误； 对于D，若，则，解得， 所以有两个解，故D错误. 故选：A. 4. 在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据题意结合三角形内角和可得，再根据正弦定理可得，进而可得. 【详解】由，且，所以， 由正弦定理可得，解得， 又，∴，∴，故 故选：A 5. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】因为，，所以. 由正弦定理可知，，所以，， 又，所以，所以. 由余弦定理知，，所以，即. 又， 所以，所以. 故选：D. 6. （多选）在中，下列关系中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】正弦定理及辨析、正弦定理解三角形、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由正弦定理计算求解判定各个选项. 【详解】由正弦定理，得， 又，，B正确；A错误；C错误； 由， 得，D正确． 故选：BD. 7. （多选）对于有如下命题，其中正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，且有两解，则的取值范围是 C．在锐角中，不等式恒成立 D．在中，若，则必是等边三角形 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由正弦定理将角化边，再由余弦定理可得，判断出角为钝角，判断A；由三角形有两解的充要条件列表达式，可得的范围，判断B；由锐角三角形的性质判断出与的关系，判断C；由余弦定理可得，判断出的形状，判断D． 【详解】A中，，即， 由正弦定理可得，由余弦定理可得， 因为，所以，即为钝角，所以该三角形为钝角三角形，故A正确； B中，若，且有两解，则，即， 即的范围为，所以B错误； C中，在锐角中，只有时，不等式才恒成立，所以C不正确； D中，若，由余弦定理可得， 即，即，所以，所以必是等边三角形，故D正确． 故选：AD． 8. （多选）在△ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是锐角三角形 C．若，则外接圆的半径为 D．若，则 内切圆的半径为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】选项A：由正弦定理得出三边比例，设参数表示三边，进而求出、、的比例. 选项B：大边对大角，最大则最大，用余弦定理算，小于说明是钝角. 选项C：先求，再用正弦定理计算. 选项D：用面积公式和联立求解. 【详解】在△ABC中，根据正弦定理知 得    则   所以，故A正确； 易知角C为最大角，则 因为，所以 ，所以角C 为钝角，故是钝角三角形，故B错误； 设外接圆的半径为R，则由正弦定理得，解得 故C错误； 设内切圆的半径为r，，， 则由正弦定理得 解得 故D正确. 故选： AD. 9. 在中，若，，，则______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理计算求解. 【详解】因为， 由正弦定理，得，得. 故答案为：. 10. 在中，若，，，则__________，的面积__________． 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】利用正弦定理求出的值，结合大边对大角定理可求得角的值，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】由正弦定理得， 又，， 则， ． 故答案为：，. 11. 的内角的对边分别为，已知为锐角. (1)求； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）先根据余弦定理计算得出，再计算得出再结合角的范围得出； （2）先根据正弦定理得出，再由余弦定理求出，即可得到的周长. 【详解】（1）因为，即， 由余弦定理得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为为锐角，所以，. （2）由（1）知，又， 由正弦定理得， 由余弦定理， 则，即， 解得或（舍去）， 所以的周长为. 12. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且. (1)求C； (2)若的面积为求c. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用余弦定理以及正弦定理，整理化简等式，根据和角公式，可得答案； （2）利用面积公式建立方程组，结合余弦定理，可得答案. 【详解】（1）由余弦定理，得 所以 由正弦定理得 即，所以. 又，所以，所以. 因为，所以，所以. 又，所以. （2）因为的面积为，所以，即. 联立方程，解得或（舍）. 由余弦定理，得. 13. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，求的外接圆面积； (2)若，求角. 【答案】(1) (2)或. 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、正弦定理求外接圆半径 【分析】（1）设的外接圆的半径为，由条件利用正弦定理化边为角可得，化简可得，由此可求，再求的外接圆面积； （2）由正弦定理化边为角，结合（1）可得，利用三角恒等变换公式可得，结合角的范围及特殊角三角函数值可得结论. 【详解】（1）设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 所以， 在中，由， 可得，又 所以 所以 所以， 所以， 而，所以，即， 因为为内角，所以，所以 所以，故， 所以外接圆的面积为， （2）由，可得， 在中，由正弦定理得，由（1） 所以， 因为，所以， 所以， 则，得， ，或， 或. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $