6.4.3 课时2 正弦定理 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§6.4.3 课时2 正弦定理 目录 题型1：正弦定理解三角形 3 题型2：三角形解的个数 8 题型3：正弦定理求外接圆半径 12 题型4：三角形面积公式的应用 15 1. 正弦定理 (1) 定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等。 (2) 变形公式 ①。 ②。 ③ 。 ④。 (3) 推广与推论 在中，内角所对的边分别为,外接圆半径为 ①； ②边化角公式：; ③角化边公式：; ④; ⑤. 2. 三角形的面积 (1) ① (2) 将代入①式可得 ② 即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半。 (3) 将代入②式可得 ③ (4) 将代入③式可得 （为外接圆的半径） (5) （分别为内切圆的半径及的周长）。 证明：如图， (6) 海伦公式：，其中。 证明：根据余弦定理，所以 令，可得。 (7) 将代入中可得 ，其中。 (8) ，其中。 题型1：正弦定理解三角形 方法提炼 利用正弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两角与任一边，求其他两边和一角。 ②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。 【例1.1.】 在中，，，，则________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】因为，，，由正弦定理可知，，即， 故． 故答案为：. 【例1.2.】 在△ABC中，若，，，则___________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由三角形内角和求得，然后由正弦定理求得． 【详解】由三角形内角和定理可得：， 因为，， 由正弦定理可得， 故答案为：. 【例1.3.】 在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形 【分析】先根据同角三角函数得出，再应用正弦定理计算求解. 【详解】在中，，所以， 又因为，则由正弦定理得，解得. 故选：D. 【例1.4.】 在中，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理，即，所以， 又，所以，所以. 故选：B 【例1.5.】 设的内角所对的边分别为，若，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理，得到进而得到的大小. 【详解】在中，由正弦定理得，即，所以， 因为，所以或， 故选：A. 【例1.6.】 （多选）的内角A，B，C的对边分别为，则（    ） A． B． C． D．外接圆的面积为 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径、正弦定理解三角形 【分析】设的外接圆的半径为, 利用正弦定理求出，再利用余弦定理和正弦定理求出和即得解. 【详解】设的外接圆的半径为, 对于BD，因为，所以， 可得，故B正确； 所以外接圆的面积为，故D正确； 对于AC，由因为， 整理得所以或（舍去），故A正确； 由，解得.故C错误. 故选：ABD. 【例1.7.】 若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正弦定理及辨析 【分析】根据正弦定理和比例的性质可得，可得结果. 【详解】在中，，所以，所以， 由正弦定理以及比例的性质可得：. 故选：B 【例1.8.】 设中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理可得，结合大边对大角得，则，进而得到． 【详解】由正弦定理得，即， 解得， 又，， 则为锐角， ，则． 故选：B． 【例1.9.】 在中，a，b，c三边对应的角分别为A，B，C，若，，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、已知弦（切）求切（弦） 【分析】先根据同角三角函数的基本关系求出，，再根据两角和的正弦公式求得，进而结合正弦定理求解即可. 【详解】在中，，则， 因为，则，， 又，解得，，又， 在中，，所以， 所以， 所以. 故选：A. 【例1.10.】 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求c的值． 【答案】(1) (2)或2 【难度】0.5 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角得到，将转化为，利用两角和的正弦公式计算得解； （2）利用正弦定理得到，从而求出，按照的值分类讨论求解. 【详解】（1）由，得． 因为， 所以转化为， 所以． 因为，所以．因为，所以． （2）由正弦定理，得． 所以或． ①当时，由，得，所以； ②当时，由，得， 所以． 综上可得或2． 题型2：三角形解的个数 方法提炼 (1) 在中，已知两边及其中一边的对角，或已知两边及其夹角，或已知三边，则该三角形是唯一确定的。 (2) 在中，已知两边及其中一边的对角时，解的情况如下：（以为例） 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 【例2.1.】 （多选）在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，可得，，因，则, 因，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确. 故选：ABD. 【例2.2.】 （多选）在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（    ） A．当时，有两解 B．当时，有一解 C．当时，无解 D．当时，有两解 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由正弦定理对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】对于A，由正弦定理得，即，所以， 又因为，所以或，有两解，故A正确； 对于B，由正弦定理得，无解，故B错误； 对于C，由正弦定理得，无解，故C正确； 对于D，由正弦定理得， 又，所以为锐角，此三角形只有一解，故D错误. 故选：AC. 【例2.3.】 （多选）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若，，，满足此条件的三角形只有一个，则x的值可能为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由正弦定理及三角函数的图象与性质可判定结果. 【详解】由正弦定理得，则，又， 且满足条件的三角形只有一个，即x有唯一的角与其对应，所以， 故． 故选：ABC． 【例2.4.】 已知的三个角的对边分别为，，．若有两解，则的取值范围是___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】过点作，垂足为,当时，有两解，计算可得的取值范围. 【详解】过点作，垂足为 当时，有两解， 又， 所以. 故答案为：. 【例2.5.】 在中，角的对边分别为，，，若，，只有一个解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理求外接圆半径 【分析】利用正弦定理求外接圆半径，结合圆的性质分析求解. 【详解】的外接圆的半径， 如图所示，,是圆的直径. 可知点在优弧上（不包括端点）， 当为时，此时取到最大值； 当点从点A到时，此时越来越大，且； 当点从点到C时，此时越来越小，且； 综上所述：若只有一个解，则的取值范围为. 故选：D. 题型3：正弦定理求外接圆半径 【例3.1.】 设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理求出，然后根据正弦定理求出三角形外接圆半径. 【详解】由，可得， 则，因为，所以， 又，由正弦定理可得，解得. 故选：B. 【例3.2.】 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，且面积为，则的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正弦定理求外接圆半径、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】先利用面积公式，求出边，由余弦定理得出a，再利用正弦定理求解即可. 【详解】由题意，， ， 的外接圆的半径为. 故选：B 【例3.3.】 已知O是△ABC的外心，，，则△ABC的外接圆半径（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正弦定理求外接圆半径、数量积的运算律 【分析】首先结合圆的性质可得，则，再利用正弦定理求解可得答案. 【详解】O是△ABC的外心，则在上的投影向量为， 所以，解得， 由正弦定理，∴， 故选：B. 【例3.4.】 已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若且，则△ABC外接圆面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据余弦定理，结合三角恒等变换以及三角函数的性质可得，即可根据锐角三角形求解，进而根据正弦定理可得外接圆半径的取值，即可由圆的面积公式求解. 【详解】由和正弦定理可得，所以.由余弦定理得， 所以，即， 由正弦定理得， 因为，所以， 则，即. 因为是锐角三角形，所以，，所以. 又在上单调递增，所以，则. 因为是锐角三角形，所以，，， 所以，由正弦定理得，所以，所以， 所以外接圆面积. 故选：D 【例3.5.】 已知的内角为，，满足，且的面积为2，则外接圆面积等于________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理求外接圆半径 【分析】根据题意，利用恒等变形得，再结合即可求解． 【详解】 ， ， ，解得， 从而有外接圆面积等于． 故答案为：． 题型4：三角形面积公式的应用 【例4.1.】 已知锐角三角形中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，则__________. 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】根据三角形面积公式求解. 【详解】由题意知，，所以，又因为在锐角三角形中，，所以. 故答案为：. 【例4.2.】 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】先余弦定理可得，再由同角三角函数关系式可得，从而可求三角形的面积. 【详解】由，，，由余弦定理得， 又因为，所以， 所以. 故选：A 【例4.3.】 已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】由及，得， 而，则，所以的面积. 故选：C 【例4.4.】 在中，为边上的中点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】利用余弦定理及向量数量积的运算律求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为. 故选：D 【例4.5.】 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简已知得，进而求得，利用面积公式求得，最后利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，因为，所以由正弦定理得， 由及正弦定理得 ， 即，因为，所以，所以， 又，所以，所以，得，则， 所以由余弦定理可得，所以. 故选：D 【例4.6.】 记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、积化和差公式、三角形面积公式及其应用 【分析】根据正弦定理以及余弦的和差角公式可得，进而根据诱导公式以及辅助角公式得，根据三角函数的有界性得，即可求解角的大小，即可得解. 【详解】由题意及正弦定理，得， 又，所以，则， 因为， 所以， 所以， 又，所以， 所以，又， 所以当且仅当时，， 又，且，所以，， 所以，则， 故的面积． 故选:C ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §6.4.3 课时2 正弦定理 目录 题型1：正弦定理解三角形 3 题型2：三角形解的个数 4 题型3：正弦定理求外接圆半径 5 题型4：三角形面积公式的应用 6 1. 正弦定理 (1) 定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等。 (2) 变形公式 ①。 ②。 ③ 。 ④。 (3) 推广与推论 在中，内角所对的边分别为,外接圆半径为 ①； ②边化角公式：; ③角化边公式：; ④; ⑤. 2. 三角形的面积 (1) ① (2) 将代入①式可得 ② 即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半。 (3) 将代入②式可得 ③ (4) 将代入③式可得 （为外接圆的半径） (5) （分别为内切圆的半径及的周长）。 证明：如图， (6) 海伦公式：，其中。 证明：根据余弦定理，所以 令，可得。 (7) 将代入中可得 ，其中。 (8) ，其中。 题型1：正弦定理解三角形 方法提炼 利用正弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两角与任一边，求其他两边和一角。 ②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。 【例1.1.】 在中，，，，则________． 【例1.2.】 在△ABC中，若，，，则___________. 【例1.3.】 在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【例1.4.】 在中，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【例1.5.】 设的内角所对的边分别为，若，则（    ） A．或 B． C． D． 【例1.6.】 （多选）的内角A，B，C的对边分别为，则（    ） A． B． C． D．外接圆的面积为 【例1.7.】 若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C． D．6 【例1.8.】 设中，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.9.】 在中，a，b，c三边对应的角分别为A，B，C，若，，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【例1.10.】 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求c的值． 题型2：三角形解的个数 方法提炼 (1) 在中，已知两边及其中一边的对角，或已知两边及其夹角，或已知三边，则该三角形是唯一确定的。 (2) 在中，已知两边及其中一边的对角时，解的情况如下：（以为例） 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 【例2.1.】 （多选）在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 （多选）在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（    ） A．当时，有两解 B．当时，有一解 C．当时，无解 D．当时，有两解 【例2.3.】 （多选）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若，，，满足此条件的三角形只有一个，则x的值可能为（    ） A． B．2 C． D．3 【例2.4.】 已知的三个角的对边分别为，，．若有两解，则的取值范围是___________． 【例2.5.】 在中，角的对边分别为，，，若，，只有一个解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型3：正弦定理求外接圆半径 【例3.1.】 设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【例3.2.】 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，且面积为，则的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知O是△ABC的外心，，，则△ABC的外接圆半径（   ） A． B． C．2 D． 【例3.4.】 已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若且，则△ABC外接圆面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知的内角为，，满足，且的面积为2，则外接圆面积等于________． 题型4：三角形面积公式的应用 【例4.1.】 已知锐角三角形中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，则__________. 【例4.2.】 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．8 【例4.3.】 已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【例4.4.】 在中，为边上的中点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【例4.6.】 记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $