专题一： 规律探究（剖析方法+针对训练）-2026年中考数学二轮选择题专项复习 讲义

专题一 代数综合 题型1 规律探究 考法 1 数式规律 第一步 剖析方法 解题关键 1.通过对比相邻两个数式的规律，逐步推出后续数式. 2.通过观察、分析、归纳、猜想得出第n项的数式，进而代入求解 一般步骤 1.观察 观察数式的特征，包括数字的大小、符号、排列顺序、运算关系等 2.分析 对观察到的特征进行分析，尝试找出数式之间的变化规律，从以下几个方面入手：(1)数字的差值；(2)相邻两数是否有倍数关系或者是否为某个数的倍数；(3)和项数n 的平方关系；(4)符号规律，奇数项为负则为(-1)"，偶数项为负则为 (5)分数型：统一形式后分别观察分子和项数n及分母和项数n的关系，或观察分子与分母相互之间的关系 3.归纳 根据分析得到的规律，归纳出一般性的结论，可以用代数式来表示这个规律 4.验证 将归纳出的规律代入原数式中进行验证，看是否符合所有的数式 特别地，当所给的数呈阶梯状排列时，一般有以下两种解题思路： 1.将所给数展开成一行数据，总结出数和项数n的关系式，进而确定所求数所处的位置n，代入计算； 2.选取特定位置(如每行第1个数或每行最后1个数等)的数，观察规律，得出数和行序数 n的关系式 第二步 精学典例 【例】(2024·绵阳中考)如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数，为2；第二行有2个数，为4，6；…；第n行有n个数.探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是 ( ) A.36 B.96 C.226 D.426 第三步 针对训练 2 学科网（北京）股份有限公司 1.(2023·常德中考)观察下边的数表(横排为行，竖排为列)，按数表中的规律，分数 若排在第a行第b列，则a-b的值为 ( ) A.2 003 B.2 004 C.2 022 D.2 023 2.(2024·徐州中考)观察下列各数:3,8,18,38,….按此规律,第5~7个数可能为( ) A.48,58,68 B.58,78,98 C.76,156,316 D.78,158,318 3.(2025·扬州中考)清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;···.根据上述规律，写出第5组勾股数为 . 4.(2022·鄂尔多斯中考)按一定规律排列的数据依次为 , , , ，…若按此规律继续排列下去，则第30个数是 . 5.(2023·呼伦贝尔中考)观察下列各式： 请利用你所发现的规律，计算： 6.(2024·成都中考)在综合实践活动中，数学兴趣小组对1~n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k 进行了探究.发现：当n=2时,只有{1,2}一种取法,即k=1;当n=3时,有{1,3}和{2,3}两种取法,即k=2;当n=4时,可得k=4;···.若n=6,则k的值为 ;若n=24,则k的值为 . 7.新考法阅读理解题(2025·安徽中考)对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0，则 若余数为1，则m=2n;若余数为2,则m=n+1.这种得到 m 的过程称为对n 进行一次变换.对所得的数m 再进行一次变换称为对n进行二次变换，依次类推.例如，正整数n=4，根据4除以3的余数为1，由4×2=8，知对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由8+1=9，知对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3=3，知对4进行三次变换得到的数为3. (1)对正整数15 进行三次变换，得到的数为 ; (2)若对正整数 n 进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 . 考法2 图形规律 第一步 剖析方法 步骤 具体内容 1.观察图形 观察图形的基本构成元素，如点、线、面等；分析图形的变化方式，如递增、递减、循环等 2.分类整理 将图形按照一定的标准(形状、大小、颜色等)进行分类，如有不同颜色和形状的图案，可先按颜色分类再分析规律 3.寻找规律 通过计算、对比等方法，找出图形构成元素数量与序号之间的关系.列出前几个图形的相关数据，尝试用代数式表示规律 4.验证规律 将找出的规律应用到后面的图形中进行验证，确保规律的正确性 第二步 【例】(2025·江西中考)如图，△ABC 是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC,AB 的中点得到△A₁B₁C₁;再分别取 A₁C,B₁C,A₁B₁的中点得到△A₂B₂C₂;….以此类推,则△AnBnCn的面积为 ( ) A. B. C. D. 第三步 针对训练 1.(2025·重庆中考)按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有 16 个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是 ( ) A.32 B.28 C.24 D.20 2.(2022·阜新中考)如图，在平面直角坐标系中，在直线N=x+1和x轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形(图中所示的阴影部分)，其中一条直角边在x轴上，另一条直角边与x 轴垂直，则第 100个等腰直角三角形的面积是 ( ) A.2⁹⁸ B.2⁹⁹ C.2¹⁹⁷ D.2¹⁹⁸ 3.(一题多解)(2023·万宁一模)用棋子摆出一组图形(如图)，按图上所显示的规律继续摆下去，摆到第 100 个图形时，总共用了 枚棋子. 4.(2025·甘肃中考)勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美.勾股树的形成过程如图所示，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形……则第5 个图形中共有 个正方形. 5.(2024·淄博临淄区一模)如图，小明同学在观察图案中“◎”“★”的排列方式时，通过研究每个图案中它们数量的规律，发现第n 个图案中“★”的个数是“◎”的个数的2倍，则n的值为 . 6.(2022·东营模拟)将2 022个边长为1的正方形按如图所示的方式排列,点A,A₁,A₂,A₃,…,A₂₀₂₂和点M,M₁,M₂,M₃,…,M₂₀₂₁是正方形的顶点,连接AM₁,AM₂,AM₃,…,AM₂₀₂₁分别交正方形的边A₁M,A₂M₁,A₃M₂,…,A₂₀₂₂M₂₀₂₁于 点 N₁, N₂, N₃, …, N₂₀₂₂, 四 边 形M₁N₁A₁A₂的 面 积 是 S₁, 四 边 形M₂N₂A₂A₃的面积是S₂……则S₂₀₂₁的值为 7.(2025·自贡中考)如图,在△ABC 中,AC=BC,CD⊥AB 于点D,AB=CD=2.以点 B为圆心，DB 的长为半径画弧，交BC 于点E₁，以点 C 为圆心，CE₁ 的长为半径画弧，交CD 于点D₁,过点 D₁ 作 D₁F₁⊥CD,交 AC于点F₁；再以点 F₁为圆心，F₁D₁ 的长为半径画弧,交 AC 于点 F₂,以点 C 为圆心,CF₂的长为半径画弧，交CD 于点 D₂，过点 D₂作D₂E₂⊥CD,交 BC 于点 E₂;又以点 E₂为圆心……重复以上操作，则. 的长为 . 考法 3 坐标规律 第一步剖析方法 坐标规律探究题通常会在平面直角坐标系中给出一系列点的坐标，通过观察，分析这些坐标的变化.找出其内在规律，进而得出后续点的坐标或满足特定条件的点的坐标. 常见考法 技巧 1.周期循环法 若循环周期为m，运动次数为M, 则第 M 次运动后的点的坐标即为第一个周期中第q 次运动后的点的坐标 2.路径延伸法 需要分析清楚前两次位置点的运动路径和坐标，进而延伸到所求 3.非周期定位法 当点的运动不具备周期性时，一般可先确定象限的位置，再判断此象限内点的横、纵坐标规律 第二步精学典例 【例】(2025·西宁一模)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-3,0),B(0,4),对△OAB 连续作旋转变换,依次得到△1,△2,△3,△4,…,则△2 025的直角顶点的坐标为 . 第三步针对训练 1.(2024·河南模拟)如图所 示，直线y=与x轴、y轴分别交于A，B 两点,△AOB 绕点 A 顺时针旋转 90°后得到△,按此规律继续旋转，则第2025次旋转结束后，点的坐标为（ ） A.(3,4) B.(7,4). C(7,3) D.(3,7) 2.(2024·内江中考)如图，在平面直角坐标系中,AB⊥y轴,垂足为 B,将△ABO 绕点A逆时针旋转到△AB₁O₁的位置，使点 B 的对应点 B₁ 落在直线 上，再将△AB₁O₁绕点 B₁ 逆时针旋转到△A₁B₁O₂的位置，使点 O₁ 的对应点 O₂ 也落在直线 上……以此类推，若点 B 的坐标为(0,3),则点 B₃₇的坐标为 ( ) A.(180,135) B.(180,133) C.(-180,135) D.(-180,133) 3.(一题多解)(2022·黔西南州中考)如图，在平面直角坐标系中,A₁(2,0),B₁(0,1),他们的中点为C₁;A₂(0,3),B₂(-2,0),A₂B₂的中点为C₂;A₃(-4,0),B₃(0,-3),A₃B₃的中点为 C₃;A₄(0,-5),B₄(4,0),A₄B₄的中点为 C₄；···.按此作法继续进行下去，则点C₂₀₂₂的坐标为 4.(一题多解)(2022·淄博中考)如图，正方形ABCD 的中心与坐标原点O 重合，将顶点D(1,0)绕点A(0,1)逆时针旋转90°得点 D₁,再将点 D₁绕点B 逆时针旋转90°得点 D₂，再将点 D₂绕点C 逆时针旋转90°得点 D₃，再将点 D₃绕点 D 逆时针旋转 90°得点 D₄,再将点 D₄绕点 A 逆时针旋转90°得点 D₆……以此类推，则点 D₂₀₂₂的坐标是 . 5.(2024·潜江月考)如图，将抛物线 在直线y=x 上平移 个单位长度得到抛物线 C₁，抛物线 C₁与y轴的交点为A₁；再将抛物线 C₁在直线y=x 上平移 个单位长度得到抛物线 C₂，抛物线C₂与 y轴的交点为A₂；再将抛物线C₂在直线y=x上平移 个单位长度得到抛物线C₃，抛物线C₃与y轴的交点为A₃……如此进行下去，则点 A₁₀的纵坐标为 . 6.(2025·齐齐哈尔中考)利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，以OA 为边作 Rt△OAA₁,使 30°,再 以 OA₁ 为边 作 Rt△OA₁A₂,使∠OA₁A₂=90°,∠A₁OA₂=30°,过点 A,A₁,A₂作 记作第1条弧；以 OA₂ 为边作Rt△OA₂A₃,使 30°,再 以 OA₃ 为边 作 Rt△OA₃A₁,使∠OA₃A₄=90°,∠A₃OA₄=30°,过点 A₂,A₃,A₁作 记作第2条弧……按此规律，第2 025 条弧上与原点 O 的距离最小的点的坐标为 . 课后作业： 题型一规律探索题 (一)数式规律探究 1.(2024·江西)观察a,a²,a³,a⁴,…,根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为_________. 2.(2023·牡丹江)观察下面两组数:1,5,11,19,29,…;1,3,6,10,15,…取每组数的第7个数,计算这两个数的和是 ( ) A.92 B.87 C.83 D.78 3.(2024·扬州)1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数:1,1,2,3,5,……,这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为 ( ) A.676 B.674 C.1348 D.1350 4.(2023·山东)已知一列均不为1 的数a₁,a₂,a₃,…, an满足如下关系: 若 则a₂023的值是 ( ) A. B. D.2 C. - 3 5.(2024·德阳)将一组数 按以下方式进行排列： 第一行 第二行 2 第三行 … … 则第八行左起第1个数是 ( ) A.7 B.8 C. D.4 (二)图形规律探究 6.(2023·重庆)用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是 ( ) A.39 B.44 C.49 D.54 7.分形的概念是由数学家本华·曼德博提出的.如图是分形的一种，第1个图案有2个三角形，第2个图案有4个三角形，第3个图案有8个三角形，第4个图案有16个三角形，……，按此规律分形得到第n个图案中三角形的个数是 ( ) A.2n B.2ⁿ⁻¹ C.2ⁿ⁺¹ D.2" 8.如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.例如：称图中的数1，5，12，22，…为五边形数，则第7个五边形数是 ( ) A.62 B.70 C.84 D.108 9.如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S₁，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S₂，……，按照此规律继续下去，则Sₙ的值为 ( ) A. B. C. D. 10.(2023·达州)如图,四边形ABCD是边长为 的正方形,曲线DA₁B₁C₁D₁A₂……是由多段90°的圆心角所对的弧组成的，其中， 的圆心为A，半径为AD； 的圆心为B，半径为 的圆心为C，半径为 的圆心为D，半径为 …的圆心依次为A,B,C,D循环,则弧. 的长是 ( ) A. B.2023π C. D.2022π (三)平面直角坐标系中的规律探究 11.如图，已知等边 顶点A₁在双曲线 上,点 B₁的坐标为(2,0).过点 B₁作 交双曲线于点 A₂，过点A₂作 交x轴于点 B₂，得到第二个等边 过点 B₂作 交双曲线于点A₃，过点A₃作 交x轴于点 B₃，得到第三个等边 以此类推，则点. 的坐标为 . 12.如图,在平面直角坐标系中,A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2),把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A……的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 ( ) A.(-1,0) B.(0,2) C.(-1,-2) D.(0,1) 13.如图，直线l为 过点 作 轴，与直线l交于点 ，以原点O为圆心，( 长为半径画弧交x轴于点 再作 轴，交直线l于点. ，以原点O为圆心，( 长为半径画弧交x轴于点. ，按此作法进行下去，点 的坐标为 . 14.(2024·广安)已知直线 与x轴相交于点 以 为边作等边三角形( 点B₁在第一象限内，过点B₁作x轴的平行线与直线l交于点. ，与y轴交于点 以 为边作等边三角形C₁A₂B₂(点B₂在点B₁的上方)，以同样的方式依次作等边三角形( 等边三角形C₃A₄B₄,…,则点 的横坐标为 . 15.如图, 都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A₁,A₂,A₃,…,An都在x轴上,点 都在反比例函数 的图象上，则点B₁ 的坐标为 ,点 B₂₀₂₃的坐标为 . (四)函数规律 16.一个小球沿一个斜坡上下滚动，其速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的图象如图所示.下列说法错误的是( ) A.小球的初始速度为6m/s B.小球先沿斜坡向上滚动，再沿斜坡向下滚动 C.当3≤t≤6时,小球的速度每秒增加2m /s D.小球在整个滚动过程中，当t=3时，到达斜坡的最低处 17.在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y(千米)与行驶时间x(小时)的函数关系的图象，下列说法错误的是( ) A.乙先出发的时间为0.5小时 B.甲的速度是80千米/小时 C.甲出发0.5小时后两车相遇 D.甲到B 地比乙到A 地早小时 18.如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系，则下列结论中正确的有 ( ) ①若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元； ②若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元； ③若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多； ④若两种方案通讯费用相差 10 元，则通话时间是 145 分或185分. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 19.如图,正方形ABCD的边长为4cm,点 P 以1 cm/s的速度从点A 出发沿着AB方向运动到点 B 停止,点 Q 以2cm/s的速度沿B→C→D 运动到点 D 停止,P,Q两点同时出发，设运动的时间为 x s，△PBQ的面积为 则y关于x的函数图象大致是 ( ) 20.如图1，点C 是半圆AB上一个动点，点 C 从点 A 开始向终点 B 运动的整个过程中， 的长l与时间t(秒)的函数关系如图2所示，则点 C 运动3秒时，扇形OAC的面积为 ( ) A. B. C. D. 21.(2023·河南)如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点 B.设点 P 运动的路程为x， 图2是点 P 运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为 ( ) A.6 B.3 C. D. 9 学科网（北京）股份有限公司 第一部分选填压轴题答案 题型1 规律探究 考法 1 数式规律 【例】C 【解析】由题意可知,2=1×2,6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6,…,所以第n行的最后1个数可表示为n(n+1).由题图可知，第n行从左至右第3个数为第(n-1)行的最后1个数加6,可表示为n(n-1)+6(n为大于2的整数). 因为5×6+6=36,故A 选项不符合题意. 因为9×10+6=96,故 B选项不符合题意. 因为14×15+6=216,15×16+6=246,且 216<226<246，故C选项符合题意. 因为20×21+6=426,故D选项不符合题意. 1. C【解析】观察题中数表可得，同一行的分数，分子与分母的和不变,π/m(m,n为正整数)在第(m+n-1)行第n列, 在第2042行第20列,∴a=2042,b=20, ∴a-b=2042-20=2022. 2. D 【解析】∵3×2+2=8,8×2+2=18,18×2+2=38,∴第5个数为38×2+2=78,第6个数为78×2+2=158,第7个数为158×2+2=318. 3.11，60，61 【解析】通过观察可得，题目中几组勾股数的第一个数为连续奇数:3,5,7,9,…,故第n个数为2n+1;第二个数为偶数:4=2×2=2×1×2,12=2×6=2×2×3,24=2×12=2×3×4,40=2×20=2×4×5,……,故第n个数为2n(n+1)；每组勾股数的第三个数比第二个数多1，故第 n 组勾股数的第三个数为2n(n+1)+1.综上所述,第n组勾股数为2n+1,2n(n+1),2n(n+1)+1.故第5组勾股数为11,60,61. 【解析】观察 , , , ,…,知第 n 个数是 当n=.30时, 【解析 6.9 144 【解析】当n=6时,从1,2,3,4,5,6中,任取两数之和大于6,取法有{6,1},{6,2},{6,3},{6,4},{6,5},{5,2},{5,3},{5,4},{4,3}, ∴k=5+3+1=9; 当n=24时,从1,2,3,…,22,23,24中,任取两数之和大于24，取法有 (24,1),(24,2),…,(24,23),(23,2)(23,3),…,(23,22),....(22,3),(22,4),…,(22,21),,(14,11),(14,12).(14.13). (13.12),∴k=23+21+19+…+3+1=144. 7.(1)2 (2)11 【解析】(1)∵15÷3=5, ∴15 进行一次变换后得到的数为 ∵5÷3=1……2, ∴15 进行二次变换后得到的数为5+1=6. ∵6÷3=2, ∴15 进行三次变换后得到的数为2. (2)当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，第一次变换后的数为1×3=3，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3 的余数为1时，第一次变换后的数为 ，此时不符合题意； 当对正整数 n 进行第一次变换后，所得的数除以3 的余数为2时，第一次变换后的数为1-1=0，此时不符合题意.综上所述，第一次变换后所得的数为3. 当n除以3的余数为0时,n=3×3=9,符合题意; 当 n 除以3 的余数为1时， 不符合题意； 当n除以3的余数为2时,n=3-1=2,符合题意, ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为2+9=11. 考法 2 图形规律 【例】C 【解析】因为 A₁,B₁,C₁ 分别是 AC,BC,AB 的中点,所以 A₁B₁∥AB,B₁C₁∥AC,A₁C₁∥BC,A₁B₁= 所 以 △A₁B₁C₁ ∽ △BAC, 则 因为△ABC 的面积为1,所以△A₁B₁C₁的面积为 易得△A₂B₂C₂的面积为 ,△A₃B₁C,(的面积为7 ,…. 所以△A。B，C。的面积可表示为 1. C【解析】第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，……则第 n个图中有4n个圆点，所以第⑥个图中有4×6=24(个)圆点. 2. C 【解析】当x=0时,y=0+1=1.据题意，得第1个等腰直角三角形的直角边长为1，第1个等腰直角三角形的面积为 同理可得、第2 个等腰直角三角形的面积为 2-2、 第3个等腰直角三角形的面积为 第4个等腰直角三角形的面积为 按照此规律，得第100 个等腰直角三角形的面积为 3.15 150 一题多解 方法① 根据题图，得摆出前4 个图形所用棋子的枚数分别是3，6，9，12，∴摆出第 n个图形所用棋子的枚数是3n，∴摆到第 100个图形时，所用棋子的枚数是3+6+9+12+…+300=3×(1+2+3+ 方法② 按行分析第 n个图形，第一行有1 枚棋子，最后一行有(n+1)枚棋子，中间(n-1)行均有2枚棋子，∴摆出第n个图形所用棋子的枚数是1+(n+1)+2(n-1)=3n.∴摆到第100 个图形时，所用棋子的枚数是3+6+9÷12+…+300=3×(1+2+3+4+…+100)=3× 方法③ 按边分析第n个图形，三角形的每条边均有(n+1)枚棋子、而顶点处的棋子是两条边共用的，∴摆出第n个图形所用棋子的枚数是3(n+1)-3=3n，∴摆到第100个图形时,所用棋子的枚数是3+6+9+12+…+300= 3×(1 + 2 + 3 + 4+…+ 100) = 3× 4.31 【解析】由题图可知，第1个图形中有1个正方形，第2个图形中有 (个)正方形. 第3个图形中有 (个)正方形. ∴第5个图形中共有 (个)正方形. 5.11 【解析】∵图案中“◎”的个数依次为3,6,9,…, ∴第n个图案中“◎”的个数为3n. ∵图案中“★”的个数依次为1,3,6,10,…, ∴第n个图案中“★”的个数为 ∴由题意，得 解得 n=11或n=0(舍去),∴n的值为11. 【解析】如图.∵MN₁∥OA,∴△M₁MN₁∽△M₁OA, ∴四边形M₁N₁A₁A₁的面积 同理可得 ∴四边形M₁N₁A₁A₁的面积 由此 可 知, 四 边 形 M. N. A. A.., 的面 积 S. 【解析】∵在△ABC 中,AC=BC,CD⊥AB 于点D,AB=CD=2, ∴AD=BD=1,∠F₁CD₁=∠D₁CE₂, ∵以点 B 为圆心，DB 的长为半径画弧，交BC 于点E₁ ∵以点C 为圆心，CE₁的长为半径画弧，交CD 于点D₁ ∵过点 D₁作D₁F₁⊥CD,交AC 于点F₁, ∴AD∥D₁F₁, ∴△CD₁F₁∽△CDA, 即 ∵以点 F₁ 为圆心,F₁D₁ 的长为半径画弧,交 AC 于点F₂, ∵以点C 为圆心，CF₂的长为半径画弧，交CD于点D₂， ∵过点 D₂作D₂E₂⊥CD,交 BC 于点E₂, ∴△CD₂E₂∽△CD₁F₁, 同理可得， ∴D₂₀₂₃F₂₀₂₃的长为 考法3 坐标规律 【例】(8 100,0) 【解析】∵A(-3,0),B(0,4),OA⊥OB, 由题图可知，△3 的直角顶点的坐标为(4+5+3，0)，即(12×1,0), △6的直角顶点的坐标为(12+4+5+3,0),即(12×2,0), △9的直角顶点的坐标为(12×2+4+5+3,0),即(12×3,0). 依次类推，△3n的直角顶点的坐标为(12n，0)，其中 n为正整数. ∵2 025÷3=675, ∴△2 025的直角顶点的坐标为(12×675,0),即(8 100,0). 1. B 【解析】对于 当x=0时,y=3;当y=0时， 解得x=4,∴AO=4,OB=3, ∴第1次旋转后,得 B₁(4+3,4),即 B₁(7,4); 第2次旋转后 B₂(4+4,-3),即 B₂(8,-3); 第3次旋转后 B₃(4-3,-4),即 B₃(1,-4); 第4次旋转后与点 B 重合,B₄(0,3).发现4 次一循环,2025÷4=506……1, ∴第2 025 次旋转结束后,点 B₂₀₂₅ 与点 B₁(7,4)重合,∴B₂₀₂₅(7,4). 2. C【解析】将y=3代入 得x=-4,∴点A 的坐标为(-4,3),∴OB=3,AB=4. 在Rt△ABO中, 由所给旋转方式可知，点B₂₀₋₁(n为正整数)在直线 上. 令2n-1=37,解得n=19, ∴12n-3=12×19-3=225,即( 令点 B₃₇ 的坐标为 解得m=-180(正值已舍), ∴点 B₃₇的坐标为(-180,135). 一题多解 由题意，得点 Cn在四个象限循环出现. ∵2 022÷4=505……2, ∴点C₂₀₂₂在第二象限. 方法① ∵位于第二象限内的点C₂的坐标为 点C。的坐标为 点C₁₀的坐标为 ∴第二象限内点 Cn的坐标为 ∴当 n=2 022 |时， ∴点 C₂₀₂₂ 的坐标为 方法② ∵A₂(0,3),A₆(0,7),A₁₀(0,11),…, ∴y轴正半轴上A。(0,n+1),∴A₂₀₂₂(0,2 023). ∴x轴负半轴上Bₙ(-n,0), ∵点C₂₀₂₂为A₂₀₂₂B₂₀₂₂的中点， ∴点C₂₀₂₂ 的坐标为 即 4.(-2 023,2 022)一题多解方法①如图，过点D₁作D₁E⊥y轴于点E,过点 D₂作D₂F⊥x轴于点F,过点D₃作D₃G⊥y轴于点G,过点 D₄作D₄H⊥x轴于点H,过点 D₅作 D₅K⊥y轴于点 K. ∵正方形ABCD 的中心与坐标原点O重合,D(1,0), ∴OA=OB=OC=OD=1,AB=BC=CD=AD= ∠BAO=∠CBO=∠DCO=∠ADO=45°, ∴B(-1,0),C(0,-1). ∵将顶点 D(1,0)绕点 A(0,1)逆时针旋转90°得点 D₁, ✗ 一1=2,∴D₁(1,2). ∵再将点 D₁ 绕点 B 逆时针旋转90°得点 D₂, ∴∠D₂BF=45°,BD₂=BD₁=2 ∵∠D₂FB=90°,∴D₂F=BD₂·sin∠D₂BF=2 ∴OF=OB+BF=1+2=3,∴D₂(-3,2). 同理可得,D₃(-3,-4),D₄(5,-4),D₅(5,6),D₆(-7,6),…….观察发现,每4 次一个循环,D₄。(4n+1,-4n),D₁ₙ₊₁(4n+1,4n+2),D₄₆+₂(-4n-3,4n+2), 方法② 由题可知，点D。在四个象限循环出现. ∵2022÷4=505……2, ∴点 D₂₀₂₂ 在第二象限. 根据题意,得 D₂(-1-2,2),D₆(-1-6,6),D₁₀(-1-10,10),…, ∴在第二象限内,Dₙ(-1-n,n), ∴点 D₂₀₂₂的坐标是(-2 023,2 022). 5.110 【解析】因为直线y=x与x轴正方向的夹角是45°,所以抛物线 在直线 y=x上平移 个单位长度，相当于将抛物线 先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿 y轴向上平移1个单位长度， 则抛物线 C₁的函数解析式为 将x=0代入函数解析式，得 所以点 A₁的纵坐标为 同理可得，点A₂的纵坐标为 点A₃的纵坐标为 …… 所以点 A。的纵坐标为 当n=10时, 所以点A₁₀的纵坐标为110. 【解析】根据题意可知，OA=2， ∵过点A,A₁,A₂作 为第1条弧，过点A₂,A₃,A₄作 为第2条弧，…， ∴A₄₀₁₅A₅₀₀)为第2025条弧, ∴第2 025 条弧上与原点O的距离最小的点为A₄₀₄₈， ∴12 次操作循环一周. ∵4048÷12=337……4, ∴∠AOA₄₀₆=120°. 过点Atou₅ 作 A₄ou₈M⊥x轴于点M，如图所示， ∴第2025 条弧上与原点 O 的距离最小的点的坐标为 作业答案： 1. 2.C 3.D 4.A 5.C 6. B 7.D 8.B 9.C 10.A 11. 12.A. 13. 14. 15.(1,1)， 16.D 17.D 18.C 19.B 20.B 21.A 11 学科网（北京）股份有限公司 $