规律探究问题长难阅读题专题训练 -2026年九年级中考一轮压轴复习（福建专用）

2025-2026学年 九年级上学期数学材料阅读题、情景题训练（规律探究方向）-中考一轮压轴复习（福建专用） 规律探究问题长难阅读题专题训练汇编 考点一 以旋转/折叠为背景的材料阅读类问题 1．综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探究活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． (1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图1放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①的度数等于______； ②线段，，之间的数量关系为______． (2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图2中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明． (3)【拓展应用】如图3，已知，，．小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出以、、为三边构成的三角形的面积． 【答案】(1)①45；② (2)仍然成立，见解析 (3)或24 【难度】0.4 【分析】（1）①根据旋转的性质得到，然后证明出，然后根据全等三角形的性质得到； ②根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可； （2）将绕点旋转顺时针得，与重合，根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：和，首先根据旋转的性质构造全等三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 故答案为：45； ②绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：仍然成立 ， 如图所示，将绕点旋转顺时针得，与重合， ，，， 又， ，即，，三点在一条直线上， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ， ； （3）解：如图所示，当时， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ，， 由题意可得，， ，， ， 由（1）得， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ∴，即以、、为三边构成的三角形的面积为6； 如图所示，当时， 将绕点顺时针旋转得到， ， ，， ， ， ， ， ，则， 由（1）得， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ∴， ∴，即以、、为三边构成的三角形的面积为24． 综上所述，以、、为三边构成的三角形的面积为24或6． 【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 2．综合与实践课上、数学老师让同学们通过折纸进行探究活动． 【动手操作】 如图1，将平行四边形纸片沿过顶点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点，再沿着过点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点．将纸片展平，画出对应点，及折痕，，连接，，． 【初步探究】 （1）确定和的位置关系及线段和的数量关系． 求知小组经过一番思考和研讨后，发现，证明过程如下： 由折叠，可知，． 又由平行四边形的性质，可知，∴． ∴①______．∴． 先测量和的长度，猜想其关系为②______． 奋进小组经过一番思考和研讨后，发现在寻找和的数量关系时，方法不一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点，构造平行四边形，然后证可得结论 补充上述过程中横线上的内容：①______；②______． 【类比探究】 （2）如图2，将平行四边形纸片特殊化为矩形纸片，重复上述操作．请判断和的位置关系及和的数量关系是否发生变化，并说明理由． 【拓展运用】 （3）如图3，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点，连接．当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）①；②；（2）不发生变化．理由见解析；（3）的长为或 【难度】0.4 【分析】（1）由平行四边形的性质，折叠的性质及平行线的性质可得出答案； （2）由折叠的性质可得出，．证出．过点作交于点，由折叠的性质，可知，证出．则可得出结论； （3）可分和 两种情况讨论．由勾股定理及直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：（1）补充内容为：①；②． 故答案为：①；②； （2）不发生变化． 理由如下：由折叠的性质，可知，． 又∵， ． ． ∴． 过点作交于点， 如图1所示，则． ∵，， 四边形为平行四边形． ． ∵， ． 将矩形纸片沿过顶点的直线折叠， ， ． ． 由折叠的性质，可知， ． （3）， 不可能为直角． 则可分和两种情况讨论． ①当时， 如图2所示． ， ， ，，三点共线， 即． 由（2）可知四边形为平行四边形， 此时四边形为菱形， ． 又， ． ， 设，则，． 在中，， 即， 解得． ． 由（2）可知， ； ②当时， 如图3所示．设，则，， ，， ∴． 又∵， ∴， ． 又， ． ． ， ， 即． 又， ， ． ， 解得 或 （舍去）． ， 由（2）可知， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握以上知识是解题的关键． 考点二 以圆为背景的材料阅读类问题 3．阅读理解： （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________． ②类型二，“定角定弦”： 如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴_______，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． 请完成后面的解题过程． （2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）． （3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长． 【答案】（1）①28；②见解析；（2）4；（3） 【难度】0.4 【分析】（1）①根据圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得； ②先求出，从而可得点在以（定弦）为直径的上，然后连接交于点，此时最小，根据圆的性质可得，利用勾股定理求出的长，根据线段长的最小值等于即可得； （2）连接，先利用矩形的性质、勾股定理可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，则当点在线段上时，的值最小，最小值为，由此即可得； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，则点的运动路径是在以为直径的圆的上，再利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得，，最后利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：（1）①∵，， ∴如图1，以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上， ∵是所对的圆心角，而是所对的圆周角，且， ∴， 故答案为：28． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． ∵的直径， ∴， 在中，， ∴线段长的最小值为． （2）如图3，连接， ∵在矩形中，，， ∴， ∵点与点关于直线的对称， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小，最小值为， 故答案为：4． （3）如图4，连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在点的运动过程中，始终有， 又∵点从点开始运动到点时，点也随之运动， ∴点的运动路径是在以为直径的圆的上， 如图4，取的中点，连接， ∴，， ∴点的运动路径长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，较难的是题（3），正确找出点的运动路径是解题关键． 考点三 以材料列举为背景的材料阅读类问题 4．【问题提出】如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有多少种不同的选择方法？ 【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论. 探究一：如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？ 当，时，显然有种不同的选择方法； 当，时，有，；，；，这种不同的选择方法； 当，时，有________种不同的选择方法； …… 由上可知：从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法. 探究二：如果从，个连续的自然数中选择个，个……个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？ 我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空. ... 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法； 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法； …… 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法； …… 由上可知：如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有______种不同的选择方法. 【问题解决】如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法. 【实际应用】我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题. （1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有______种不同的选择. （2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排号到号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有______种不同的选择方法. 【拓展延伸】如图，将一个的图案放置在的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形，共有______种不同的放置方法. 【答案】探究一：；；探究二：；；；；【问题解决】【实际应用】（1）；（2）； 【拓展延伸】35. 【难度】0.4 【分析】探究一: 观察规律可知，选择方法的数量比数的个数少1，由此可得结果； 探究二：选择个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少2，选择4个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少3，以此类推，选择8个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少7，选择n个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少n-1 [问题解决]将探究二结论中的100换成m即可； [实际应用]（1）将m=7，n=2，代入之前的结论即可; （2）号到号总共13张电影票，将m=13，n=3，代入结论即可； [拓展延伸] 图案向右移动，每次一格，可得横向的放置方法数，图案向下移动，每次一格，可得纵向的放置方法数，两者相乘即为总数. 【详解】探究一: 当，时，由图可知有4种不同的选择方法，根据规律可知，从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有种不同的选择方法； 探究二：选择个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少2, 选择4个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少3， 以此类推，选择8个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少7， 选择n个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少n-1， 故从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有100-2=98种不同的选择方法； 故从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有100-3=97种不同的选择方法； 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有100-7=93种不同的选择方法； …… 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有（100-n+1）种不同的选择方法. [问题解决] 由规律可知，从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有种不同的选择方法. [实际应用]（1）从连续7天选择连续2天，则m=7，n=2，总共有种选择； （2）号到号总共13张电影票，选择3连号，则m=13，n=3，总共有种不同选择； [拓展延伸] 图案向右移动，每次一格，可看作8选2，可得7种放置方法，图案向下移动，每次一格，可看作6选2，可得5种放置方法，故总共7×5=35种放置方法. 【点睛】本题考查探究规律问题，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论是解决此类问题的关键. 5．某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 【答案】(1)；； (2)存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383 【难度】0.4 【分析】本题考查了图形的变化类问题．解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律． 仔细观察图形发现：每一个图形的中心有一个圆，周围是图形序数减1的差乘图形序数2倍减1的差．利用这一规律解题即可． 【详解】（1）解：补充航航同学的分析： ， ． 补充悦悦同学的分析： 图n中有个圆， ∴． 故答案为：37；；． （2）解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383， 由题意得， 解得，（舍去）， 存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383. 6．【学习方法】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想． 例如： 图1，将n行n列的棋子排成一个正方形，我们用两种不同的方法计算棋子的个数： 算法Ⅰ： 类比正方形面积的计算，图形可以看作n行棋子，每行都有n枚，因此棋子的总数是： n×n＝n2 算法Ⅱ： 沿虚线将图案分割，可以发现： 第一层虚线内有1枚棋子， 第二层虚线内有3枚棋子， 第三层虚线内有5枚棋子… 第n层虚线内有（2n﹣1）枚棋子， 则棋子总数为1+3+5+7+…+2n﹣1 由此可得：1+3+5+7+…+2n﹣1＝n2 【类比尝试】 如图2，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．请用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论． 算法Ⅰ： 算法Ⅱ： 你发现的结论是 　 　． 经过整理，这个结论恰好可以证明我们学过的重要定理 　 　． 【拓展探究】 富比尼原理给我们重要的启发： 从同一个问题的不同角度展开探究，往往会有惊喜地发现． 问题： n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以这（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．可以用含m、n的代数式表示y吗？ 问题探究： 为了解决这个问题，我们先从简单的情况入手： （一）研究最简单的多边形﹣﹣三角形． 三角形有3个顶点，在它的内部再画m个点，把三角形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形，那么可以用含有m的代数式来表示y吗？ 方法Ⅰ：关注要素﹣﹣三角形内部每增加一个点，与最多可以剪得多少个三角形之间的关系． 从n＝3，m＝1开始研究： 当n＝3，m＝1时，最多可以把原三角形剪成3个三角形； 当n＝3，m＝2时，最多可以把原三角形剪成（3+2）个三角形； 当n＝3，m＝3时，最多可以把原三角形剪成（5+2）个三角形； … 进行从特殊到一般的归纳： 对于一般的情形，在三角形内画m个点，第一个点将三角形分成了3个三角形，三角形内部每增加一个点，可增加 　 　个三角形． 故n＝3时，用含有m的代数式表示y＝　 　； 方法Ⅱ：关注要素﹣﹣顶点数对组成三角形的作用． 三角形的三个顶点和它内部的1个点，共4个点，以这4个点为顶点，最多可以组成3个互不重叠的小三角形． 三角形的三个顶点和它内部的2个点，共5个点，以这5个点为顶点，最多可以组成5个互不重叠的小三角形． 三角形的三个顶点和它内部的3个点，共6个点，以这6个点为顶点，最多可以组成7个互不重叠的小三角形． … 进行从特殊到一般的归纳： 三角形的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点，以这（m+3）个点为顶点，最多可以组成 　 　个互不重叠的小三角形． 以三角形的三个顶点和它内部的m个点，可把三角形最多剪成 　 　个互不重叠的小三角形． （二）在四边形中研究类似的问题． 四边形有4个顶点，在它的内部再画m个点，把四边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个三角形，那么可以用含有m的代数式来表示y吗？ 方法Ⅰ： 对于一般的情形，在四边形内画m个点，第一个点将四边形分成了4个三角形；四边形内部每增加一个点，可增加 　 　个三角形． 故n＝4时，用含有m的代数式来表示y：y＝　 　． 方法Ⅱ： 四边形的四个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点，以这（m+4）个点为顶点，最多可以组成 　 　个互不重叠的小三角形． 问题解决： 对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过多角度探究、归纳猜想和算两遍方法的验证，可得y＝　 　（用含m、n的代数式表示）． 【答案】类比尝试：见解析；拓展探究：2，3+2（m﹣1），2m+1，2m+1；问题解决：n+2（m﹣1） 【难度】0.4 【分析】类比尝试：用两种方法，构建关系式，可得结论． 拓展探究：用两种方法，从特殊到一般的归纳解决问题即可． 问题解决：用两种方法，构建关系式求解即可． 【详解】解：类比尝试：算法Ⅰ：直角梯形的面积＝， 算法Ⅱ：直角梯形的面积＝＝， 发现的结论：＝， 学过的重要定理：a2+b2＝c2． 故答案为：＝，a2+b2＝c2． 问题探究：（一）对于一般的情形，在三角形内画m个点，第一个点将三角形分成了3个三角形，三角形内部每增加一个点，可增加2个三角形． 故n＝3时，用含有m的代数式表示y＝3+2（m﹣1）． 方法Ⅱ：关注要素﹣﹣顶点数对组成三角形的作用． 三角形的三个顶点和它内部的1个点，共4个点，以这4个点为顶点，最多可以组成3个互不重叠的小三角形． 三角形的三个顶点和它内部的2个点，共5个点，以这5个点为顶点，最多可以组成5个互不重叠的小三角形． 三角形的三个顶点和它内部的3个点，共6个点，以这6个点为顶点，最多可以组成7个互不重叠的小三角形． … 进行从特殊到一般的归纳： 三角形的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点，以这（m+3）个点为顶点，最多可以组成（2m+1）个互不重叠的小三角形． 以三角形的三个顶点和它内部的m个点，可把三角形最多剪成（2m+1）个互不重叠的小三角形． 故答案为：2，3+2（m﹣1），2m+1，2m+1． （二）方法Ⅰ：对于一般的情形，在四边形内画m个点，第一个点将四边形分成了4个三角形；四边形内部每增加一个点，可增加2个三角形． 故n＝4时，用含有m的代数式来表示y：y＝4+2（m﹣1）． 方法Ⅱ：四边形的四个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点，以这（m+4）个点为顶点，最多可以组成（2m+2）个互不重叠的小三角形． 故答案为：2，4+2（m﹣1），2m+2． 问题解决：方法一：y个三角形，共3y条边，其中n边形的每边都只使用一次，其他边都各使用两次，所以n边形内部共有 （3y﹣n）÷2条线段； 方法二：n边形内部有1个点时，其内部共有n条线段，共分成n个三角形，每增加一个点，都必在某个小三角形内，从而增加3条线段，所以n边形内部有m个点时，其内部共有n+3（m﹣1）条线段， 由 （3y﹣n）÷2＝n+3（m﹣1）， 化简得：y＝n+2（m﹣1）． 故答案是：n+2（m﹣1）． 【点睛】熟练理解并运用类比推理思想，掌握从特殊到一般的推理方法是解答本题的关键． 考点四 以课本习题为背景的材料阅读类问题 7．通过对苏科版九（上）教材一道习题的探索研究，“在一次聚会中，有45个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，一共握了多少次手？” 对这个问题，我们可以作这样的假设：第1个学生分别与其他44个学生握手，可握44次手；第2个学生也分别与其他44个学生握手，可握44次手；……依此类推，第45个学生与其他44个学生握手，可握44次手，如此共有次握手，显然此时每两人之间都按握了两次手进行计算的．因此，按照题意，45个人每两人之间握一次手共握了次手．像这样解决问题的方法我们不妨称它为“握手解法”． (1)若本次聚会共有n个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，一共握了多少次手．请灵活运用这一知识解决下列问题． (2)一个QQ群中有若干好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息，这样共有378条信息，这个QQ群中共有多少个好友？ (3)已知一条直线上共有5个点，那么这条直线上共有几条线段？ (4)利用（3）的结论解决问题：已知由边长为1的正方形拼成如图所示的矩形，图中共有①多少个矩形？②多少个正方形？ 【答案】(1) (2)28个好友 (3)10条 (4)①；②40个 【难度】0.85 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和图形的变化规律．掌握“握手解法”的计算方法和计算式子是解题的关键． （1）根据阅读材料得到规律； （2）利用（1）中的规律进行答题； （3）利用（1）中的规律进行答题； （4）利用列表法进行解答． 【详解】（1）解：∵本次聚会共有n个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手， ∴一共握手次． （2）解：设这个QQ群中有x好友， ∵每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息，共有378条信息， ∴， 解得（舍去）． ∴． 答：28个好友． （3）解：∵一条直线上共有5个点， ∴这条直线上共有线段条． （4）解：①图中上有6个点， 可得上有个线段； 上有5个点， 可得上有个线段． 而上的任一条线段与上的任一条线段“握手”，都会构成一个矩形， ∴图中共有个矩形． ②上的线段与上的线段“握手”时，要构成正方形，就要求“握手”的两条线段必须相等．如下表： 线段长度 上的条数 上的条数 “握手”次数 1 5 4 2 4 3 3 3 2 4 2 1 由表中可得，共“握手”次， 即图中共有40个正方形． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年 九年级上学期数学材料阅读题、情景题训练（规律探究方向）-中考一轮压轴复习（福建专用） 规律探究问题长难阅读题专题训练汇编 考点一 以旋转/折叠为背景的材料阅读类问题 1．综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探究活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． (1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图1放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①的度数等于______； ②线段，，之间的数量关系为______． (2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图2中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明． (3)【拓展应用】如图3，已知，，．小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出以、、为三边构成的三角形的面积． 2．综合与实践课上、数学老师让同学们通过折纸进行探究活动． 【动手操作】 如图1，将平行四边形纸片沿过顶点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点，再沿着过点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点．将纸片展平，画出对应点，及折痕，，连接，，． 【初步探究】 （1）确定和的位置关系及线段和的数量关系． 求知小组经过一番思考和研讨后，发现，证明过程如下： 由折叠，可知，． 又由平行四边形的性质，可知，∴． ∴①______．∴． 先测量和的长度，猜想其关系为②______． 奋进小组经过一番思考和研讨后，发现在寻找和的数量关系时，方法不一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点，构造平行四边形，然后证可得结论 补充上述过程中横线上的内容：①______；②______． 【类比探究】 （2）如图2，将平行四边形纸片特殊化为矩形纸片，重复上述操作．请判断和的位置关系及和的数量关系是否发生变化，并说明理由． 【拓展运用】 （3）如图3，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点，连接．当为直角三角形时，直接写出的长． 考点二 以圆为背景的材料阅读类问题 3．阅读理解： （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________． ②类型二，“定角定弦”： 如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴_______，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． 请完成后面的解题过程． （2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）． （3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长． 考点三 以材料列举为背景的材料阅读类问题 4．【问题提出】如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有多少种不同的选择方法？ 【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论. 探究一：如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？ 当，时，显然有种不同的选择方法； 当，时，有，；，；，这种不同的选择方法； 当，时，有________种不同的选择方法； 由上可知：从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法. 探究二：如果从，个连续的自然数中选择个，个……个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？ 我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空. ... 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法； 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法； 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法； 由上可知：如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有______种不同的选择方法. 【问题解决】如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法. 【实际应用】我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题. （1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有______种不同的选择. （2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排号到号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有______种不同的选择方法. 【拓展延伸】如图，将一个的图案放置在的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形，共有______种不同的放置方法. 5．某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 6．【学习方法】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想． 例如： 图1，将n行n列的棋子排成一个正方形，我们用两种不同的方法计算棋子的个数： 算法Ⅰ： 类比正方形面积的计算，图形可以看作n行棋子，每行都有n枚，因此棋子的总数是： n×n＝n2 算法Ⅱ： 沿虚线将图案分割，可以发现： 第一层虚线内有1枚棋子， 第二层虚线内有3枚棋子， 第三层虚线内有5枚棋子… 第n层虚线内有（2n﹣1）枚棋子， 则棋子总数为1+3+5+7+…+2n﹣1 由此可得：1+3+5+7+…+2n﹣1＝n2 【类比尝试】 如图2，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．请用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论． 算法Ⅰ： 算法Ⅱ： 你发现的结论是 　 　． 经过整理，这个结论恰好可以证明我们学过的重要定理 　 　． 【拓展探究】 富比尼原理给我们重要的启发： 从同一个问题的不同角度展开探究，往往会有惊喜地发现． 问题： n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以这（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．可以用含m、n的代数式表示y吗？ 问题探究： 为了解决这个问题，我们先从简单的情况入手： （一）研究最简单的多边形﹣﹣三角形． 三角形有3个顶点，在它的内部再画m个点，把三角形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形，那么可以用含有m的代数式来表示y吗？ 方法Ⅰ：关注要素﹣﹣三角形内部每增加一个点，与最多可以剪得多少个三角形之间的关系． 从n＝3，m＝1开始研究： 当n＝3，m＝1时，最多可以把原三角形剪成3个三角形； 当n＝3，m＝2时，最多可以把原三角形剪成（3+2）个三角形； 当n＝3，m＝3时，最多可以把原三角形剪成（5+2）个三角形； … 进行从特殊到一般的归纳： 对于一般的情形，在三角形内画m个点，第一个点将三角形分成了3个三角形，三角形内部每增加一个点，可增加 　 　个三角形． 故n＝3时，用含有m的代数式表示y＝　 　； 方法Ⅱ：关注要素﹣﹣顶点数对组成三角形的作用． 三角形的三个顶点和它内部的1个点，共4个点，以这4个点为顶点，最多可以组成3个互不重叠的小三角形． 三角形的三个顶点和它内部的2个点，共5个点，以这5个点为顶点，最多可以组成5个互不重叠的小三角形． 三角形的三个顶点和它内部的3个点，共6个点，以这6个点为顶点，最多可以组成7个互不重叠的小三角形． … 进行从特殊到一般的归纳： 三角形的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点，以这（m+3）个点为顶点，最多可以组成 　 　个互不重叠的小三角形． 以三角形的三个顶点和它内部的m个点，可把三角形最多剪成 　 　个互不重叠的小三角形． （二）在四边形中研究类似的问题． 四边形有4个顶点，在它的内部再画m个点，把四边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个三角形，那么可以用含有m的代数式来表示y吗？ 方法Ⅰ： 对于一般的情形，在四边形内画m个点，第一个点将四边形分成了4个三角形；四边形内部每增加一个点，可增加 　 　个三角形． 故n＝4时，用含有m的代数式来表示y：y＝　 　． 方法Ⅱ： 四边形的四个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点，以这（m+4）个点为顶点，最多可以组成 　 　个互不重叠的小三角形． 问题解决： 对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过多角度探究、归纳猜想和算两遍方法的验证，可得y＝　 　（用含m、n的代数式表示）． 考点四 以课本习题为背景的材料阅读类问题 7．通过对苏科版九（上）教材一道习题的探索研究，“在一次聚会中，有45个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，一共握了多少次手？” 对这个问题，我们可以作这样的假设：第1个学生分别与其他44个学生握手，可握44次手；第2个学生也分别与其他44个学生握手，可握44次手；……依此类推，第45个学生与其他44个学生握手，可握44次手，如此共有次握手，显然此时每两人之间都按握了两次手进行计算的．因此，按照题意，45个人每两人之间握一次手共握了次手．像这样解决问题的方法我们不妨称它为“握手解法”． (1)若本次聚会共有n个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，一共握了多少次手．请灵活运用这一知识解决下列问题． (2)一个QQ群中有若干好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息，这样共有378条信息，这个QQ群中共有多少个好友？ (3)已知一条直线上共有5个点，那么这条直线上共有几条线段？ (4)利用（3）的结论解决问题：已知由边长为1的正方形拼成如图所示的矩形，图中共有①多少个矩形？②多少个正方形？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $