专题02 极值点偏移与拐点偏移必考七大问题（专项训练）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第二册）

专题02 极值点偏移与拐点偏移必考七大问题（专项训练） 【人教A版】 【题型1 极值点偏移问题：加法型】 2 【题型2 极值点偏移问题：减法型】 8 【题型3 极值点偏移问题：乘积型】 14 【题型4 极值点偏移问题：商型】 20 【题型5 极值点偏移问题：平方型】 25 【题型6 极值点偏移问题：复杂型】 31 【题型7 拐点偏移问题】 39 知识点1 极值点偏移问题 1．极值点偏移的概念 (1)已知函数y=f(x)是连续函数，在区间(a,b)内只有一个极值点x0，f(x1)=f(x2)，且x0在x1与x2之间，由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同，使得极值点偏向变化速度快的一侧，常常有，这种情况称为极值点偏移. (2)极值点偏移 若，则极值点偏移，此时函数f(x)在x=x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3). (左陡右缓，极值点向左偏移)若f(x1)=f(x2)，则x1+x2>2x0； (左缓右陡，极值点向右偏移)若f(x1)=f(x2)，则x1+x2<2x0. 2．极值点偏移问题的一般题设形式 (1)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)； (2)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)； (3)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，令，求证：f'(x0)>0； (4)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)=f(x2)，令，求证：f'(x0)>0. 3．极值点偏移问题的常见解法 (1)(对称化构造法)：构造辅助函数： ①对结论x1+x2>2x0型，构造函数. ②对结论型，方法一是构造函数，通过研究的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成lnx1+lnx2>2lnx0，再把lnx1，lnx2看成两变量即可. (2)(比值代换法)：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明. 知识点2 拐点偏移问题 1．拐点的概念 在函数图象上，如果有一个位置使得函数曲线向左弯曲变成向右弯曲或者反过来，那么这个位置就被称为拐点. 2．拐点偏移 拐点偏移通常发生在以下两种情况下： (1)函数不光滑 如果函数在某一点处不光滑，即该点处不可导或者导数不存在，那么它的图像可能出现断裂，从而导致拐点偏移. (2)函数有多个极值 如果函数有多个极值，则其图像可能呈现出多个连续部分具有相同的凸凹性质，并且这些部分之间可能存在突然转折，这种情况下也会出现拐点偏移. 3．拐点偏移问题的解题策略 为了解决拐点偏移问题，可以采取以下措施： (1)修正函数 如果函数在某一点处不光滑，可以通过修正函数使其在该点处可导. (2)分段处理 如果函数有多个极值，则可以将其分段处理. (3)使用高阶导数 除了一阶导数外，还可以使用高阶导数来解决拐点偏移问题.例如，可以通过计算二阶导数来判断拐点的位置是否发生了偏移，从而对函数进行修正. 【题型1 极值点偏移问题：加法型】 1．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知函数若有两个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】依题意可得有两个根，根据的解析式，分别求出的表达式，再根据导数求的取值范围. 【解答过程】由题意可知，当时，，所以； 当时，，所以， 综上，对，有， 由有两个零点，即方程有两个根， 即方程有两个根，不妨设, 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，,当时， 令，因为，所以， 所以，则， 令， ，令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时. 所以函数的值域为， 即的取值范围是. 故选：A. 2．（24-25高二下·湖北恩施·期中）已知，，，均为的解，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】A选项：根据“三个等价”，将方程根的问题转化成构造出的函数零点的问题，利用零点存在性定理确定出的取值情况；B，C，D选项：对方程变形，参变分离构造函数，从函数的角度以及利用极值点偏移可以得出相应结论，详细过程见解析. 【解答过程】对于A，令，因为，所以在上单调递增，与x轴有唯一交点， 由零点存在性定理，得，，则，故A错误. 对于B，C，D，当时，两边同时取对数，并分离参数得到， 令，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 如图所示， 当时，与的图象有两个交点， ，解得，故B正确； ，由A选项知，，故C错误； 由极值点偏移知识，此时函数的极值点左移，则有，故D错误. 故选：B. 3．（24-25高二下·四川成都·期中）函数的两个极值点、满足，则的最大值为____________. 【答案】 【解题思路】根据函数极值点的定义可得出，可得出，令，则，可得出，，可得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可. 【解答过程】由得， 由得， 因为函数两个极值点、， 则，可得①， 设，则且，代入①得，， 所以， 设，则， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 从而，所以在单调递增， 所以，所以，故的最大值为. 故答案为：. 4．（24-25高二下·江苏扬州·月考）已知函数，，是自然对数的底数. (1)讨论函数的极值； (2)当时，若，（其中）满足，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）求导得，对分类讨论即可得解； （2）分析得只需证明，构造函数（），利用导数即可得证. 【解答过程】（1）求导得， 当时，恒成立，此时函数在上单调递增， 此时函数无极值； 当时，，， 所以在单调递增，在单调递减， 此时极大值，无极小值. 综上所述，时，无极值，当时，极大值，无极小值. （2）当时， ， 在单调递增，在单调递减， 又且， ∴要证，即证， 即证，即证， 设（）， ， ∴在单调递增，又， ∴，又， ∴，∴. 5．（20245·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)答案见解析； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【解题思路】（1）利用导数并讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性； （2）（i）结合（1）的单调性判断、的符号，排除，再在的情况下研究的单调性和最值，根据零点的个数求参数范围； （ii）由（i）有，分析法将问题化为证明，进而构造并利用导数研究其符号，即可证结论. 【解答过程】（1）由题设，且， 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立，故在上单调递增； 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减. （2）（i）由， 若时，， 令且，则， 所以时，时， 故在上递增，在上递减，则， 所以， 结合（1）中的单调性，易知不可能出现两个不相等的零点， 又时，在上只有一个零点，不满足， 所以，此时，在上，在上， 故在上单调递减，在上单调递增，则， 又趋向于0或负无穷时，趋向正无穷，只需成立， 显然在上递减，且当时， 所以，时恒成立，即所求范围为； （ii）由（i），在时，存在两个不相等的零点， 不妨令，要证，即证，而， 由（i）知：在上单调递增，只需证， 由，则 令，且， 则 ， 所以，在上，即在上递增， 所以，即成立， 所以，得证. 【题型2 极值点偏移问题：减法型】 6．（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数有两个零点、，且，则下列命题正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解题思路】由可得，设，其中，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断①；构造函数，其中，分析函数的单调性，可判断②③；分析出、，利用不等式的基本性质可判断④. 【解答过程】由可得，令，其中， 则直线与函数的图象有两个交点，， 由可得，即函数的单调递增区间为， 由可得，即函数的单调递减区间为， 且当时，，当时，，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，①对； 对于②，由图可知，， 因为，由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为，则必有， 所以，，则， 令，其中， 则，则函数在上单调递减， 所以，，即，即， 又，可得， 因为函数的单调递减区间为，则，即，②错； 对于③，由，两式相加整理可得， 所以，，可得，③对； 对于④，由图可知，则，又因为，所以，，④对. 故选；C. 7．（2025·四川成都·一模）已知，且，则下列说法正确的有（    ） ①； ② ；③；  ④. A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④ 【答案】B 【解题思路】令，利用导数讨论其单调性后可判断①②④正负，利用极值点偏移可判断③的正误. 【解答过程】令，则， 当时，；当时，； 故在上为增函数，在上为减函数， 而，，故， 而，故，故①错误. 又，故， 故②正确， 此时，故④正确. 设， 则（不恒为零）， 故在上为增函数， 故，必有即， 所以，即， 由的单调性可得即，故③成立. 故选：B. 8．（24-25高二下·云南·期中）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：. 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【解题思路】（1）求定义域，求导，结合得到，即在内恒成立，所以在内单调递增； （2），求导，得到函数单调性，得到，构造，求导得到函数单调性，得到，再构造，求导得到函数单调性，得到，两式结合得到答案. 【解答过程】（1）由题意可知：的定义域为， ， 令，可得，当时，即， ，可知在上恒成立， 即在上恒成立，所以在上单调递增. （2）当时，可得， ， 或 故在上单调递增，在上单调递减， 由题意可得：， 因为， 令， 则， 可知在上单调递增， 则，可得在上恒成立， 因为，则， 且在上单调递减 则，即； 令， 则 ， 可知在上单调递增，则， 可得在上恒成立， 因为，则， 且在上单调递增， 则，即； 由和可得. 9．（2025高三·全国·专题练习）若有两个不等的零点，且，求证：. 【答案】证明见解析 【解题思路】构建，原题意等价于与有2个交点，利用导数分析的单调性和极值，即可得的取值范围，利用切线放缩可证，即可得结果. 【解答过程】令，可得， 构建，原题意等价于与有2个交点， 因为，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 当趋近于0时，趋近于0；当趋近于时，趋近于；且，    若与有2个交点，且， 可得，且， 又因为，即， 因为，，， 可知在处的切线方程为，即， 令，则， 令，解得；令，解得， 可知在单调递减，在单调递增， 则， 即，当且仅当时，等号成立， 令，可得； 令，可得； 则，，所以. 10．（2025·全国·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)若，求证：． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为． (2)证明见解析 【解题思路】（1）对求导，分析函数单调性，根据极值定义即可求解； （2）令，则，令，则，令，则，分析单调性可得，即对任意恒成立．继而可得，由单调性可得，令，利用导数分析单调性可得，即对任意恒成立．可得，继而可得，由即可证明. 【解答过程】（1）定义域为，， 令，解得或， 当时，；当时，． 的单调递增区间为和，单调递减区间为． 的极大值为，极小值为． （2）证明：由（1）知． 令，则 ． 令，则． 令，则． 在上恒成立，在上单调递增， ，在上恒成立， 在上单调递增，， 在上恒成立，在上单调递增， ，对任意恒成立． ，． 又，． 在上单调递增，，，即． 令，则 ． 在上单调递增， 在上恒成立， 在上单调递增，， 对任意恒成立． ．又． 在上单调递增，且， ．由，得， ，． 【题型3 极值点偏移问题：乘积型】 11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数．若函数有两个零点、，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合函数有两个零点、，得出，，将所证不等式变形为证明，然后构造函数，利用函数的单调性可证得结论成立. 【解答过程】因为，该函数的定义域为，， ①若，则恒成立，不可能有两个零点； ②若，， 令，令，可得，令， 由可得，由可得， 故在单调递增，在单调递减， 且，则， 时符合题意， 因为函数有两个零点、， 则，可得，同理可得， 要证，即证，即证，即证， 即证，即证， 故只需证，即证． 构造函数，则， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以在单调递减，在单调递增，则， 即，在上单调递增， 因为，故，即，故原不等式得证. 12．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数，直线是曲线的一条切线． (1)求的值，并讨论函数的单调性； (2)若，其中，证明：． 【答案】(1)，函数在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【解题思路】（1）设切点为，利用导数几何意义和切线方程可构造方程得到，设，利用导数可确定有唯一零点，由此可得；代入后，根据的正负可得单调区间； （2）根据单调性和的正负可确定，将所证不等式转化为对任意恒成立；令，利用导数可求得单调递增，得到，由此可得结论. 【解答过程】（1）设直线与曲线相切于点， ， 又，即， 设，则，在上单调递增， 又，有唯一零点， ，解得， ， 则当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知， 当时，；当时，， ， 要证，只需证．在上单调递减， 只需证，又， 则只需证对任意恒成立． 设， 则， 设，则， 在上单调递减，． 又当时，， 在上单调递增， ，即在时恒成立， 又．故原不等式得证． 13．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可求解； （2）令得，令，则，从而令，则利用导数求出最小值可得答案. 【解答过程】（1）当时，， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 14．（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个不同的零点，且满足，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】由是两个零点，可解得，接着构造函数证，即，根据函数单调性即可证明. 【解答过程】由题意知， 由得 从而，， 即． 又，令, ， ， 所以在单调递增，则， 因为当时，，所以， 所以，即， 所以． 令，，易知其单调递增， 又， 所以，即， 所以，即． 15．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【解题思路】（1）根据题意，求导即可得到结果； （2）①根据题意，将问题转化为有两个零点，然后利用导数，分类讨论即可得到的取值范围； ②根据题意，将问题转化为，再由①中的结论，即只需证，然后构造函数求导即可得到证明. 【解答过程】（1）由题意可得，， 当时，，在上单调递增； 当时，由解得，由解得， 所以，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）①等价于有两个零点， 令，则，在时恒成立，∴在时单调递增， ∴有两个零点，等价于有两个零点. ∵ ，∴当时，，单调递增，不可能有两个零点； 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减，∴， 若，得，此时恒成立，没有零点； 若，得，此时有一个零点； 若，得，∵，， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故在上单调递增，所以， 即， ∴在，上各存在一个零点，符合题意， 综上，的取值范围为. ②因为，不等式两边同时取对数化简可得， 要证即证：， 即证，由（2）中①知，，∴只需证. ∵，，∴，， ∴ ，只需证. 设，令， 则，∴只需证 ， 即证 ， 令，，则 ，， 即当时， 成立.∴，即. 【题型4 极值点偏移问题：商型】 16．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）通过转化构造函数，利用导数求出该函数的最小值即可； （2）通过利用极值点偏移的知识，令，，利用导数相关知识转化为证明即可. 【解答过程】（1）结合题意：对于任意，都有，所以， 因为，所以只需， ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以只需； （2）等价于， 设函数，，易知在区间上单调递增；上单调递减， 由知且，， 设函数，其中， 知， 知在区间上单调递增，即时， 即时，， 即， 又由已知由且， 有且，由在上单调递减， 所以，即. 17．（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个相异零点､，且，求证：. 【答案】证明见解析. 【解题思路】对函数求导并研究的单调性，结合函数有两个相异零点､得极大值，即有，进而有，应用作差法可得，而、即可证明结论. 【解答过程】由题设，， 由，得，由，得， 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，且为最大值. 由有两个相异零点､，可得，即. ， ， ，即，则， ，， . 18．（2025高二·全国·专题练习）若有两个零点和. (1)求a的取值范围； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）先进行同构，将问题转化为函数有两个零点的问题求解. （2）极值点偏移问题，可以利用对数均值不等式证明结论. 【解答过程】（1）若，则有，即， 令，显然单调递增， 又，，故. 则的零点个数等价于的解的个数. 令，，. 由 ；由 . 所以在上单调递减，在上单调递增， 故. 由 ，此时 ， 设（），所以，因为，所以, 所以在上单调递增. 所以. 即，. 取，， 所以有两个零点. 所以存在两个零点和，使得. 所以当时，函数有两个零点. （2），两式相加相减得：， 由对数均值不等式得：，则有， 要证明目标式，需要和积的变量统一， 根据两式相加可知，则目标式调整为证明：， 故只需， 设函数，，则. 所以在区间递减. 故时，仅需， 显然在等式当中，，命题得证. 19．（24-25高二下·湖北·月考）已知函数. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若函数恰有两个极值点，，且，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增 (2) 【解题思路】（1）求导，分， ，讨论求解； （2）由，得到，令，两式相除得到 ，，从而有，设，用导数法，结合求解. 【解答过程】（1）解：函数的定义域为，， ①当时，恒成立，在上单调递增； ②当时，令，则，设，则， 当时，，单调递减，当时.，单调递增， ∴， ∴，在上单调增； 综上，当时，在上单调递增； （2）依题意，，则，令，则， 两式相除得，，， ∴，， ∴， 设， 则， 设， 则， ∴在单调递增，则， ∴，则在单调递增， 又，即，而， ∴，即. 20．（24-25高三上·江苏无锡·月考）已知函数. (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据极小值的定义计算即可； （2）把问题转化为，进而转化为，令，只需证明即可. 【解答过程】（1）定义域均为， ，令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在取极小值，且； 又，令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在取极小值，且 所以，解得：. （2）令，因为，所以， 由可得：， （1）—（2）得：，所以， 要证：，只要证：， 只要证：， 不妨设，所以只要证：， 即证：，令，只需证：， 令， 所以在上单调递增，所以， 即有成立，所以成立. 【题型5 极值点偏移问题：平方型】 21．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：. 【答案】(1)结论见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）求出函数的导数，再按分类探讨的正负作答. （2）等价变形给定等式，结合时函数的单调性，由，，再构造函数，，利用导数、均值不等式推理作答. 【解答过程】（1）函数的定义域为，求导得则，由得， 若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减； 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由，两边取对数得，即， 由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，而，时，恒成立， 因此当时，存在且，满足， 若，则成立； 若，则，记，， 则 ， 即有函数在上单调递增，，即， 于是， 而，，，函数在上单调递增，因此，即， 又，则有，则， 所以. 22．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性： (2)若是方程的两不等实根，求证：； 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）求出函数的定义域和导数，再根据和分类讨论，即可得出函数的单调性； （2）由可得，是方程的两不等实根，从而可将问题转化为是方程的两不等实根，即可得到和的范围，原不等式等价于，即极值点偏移问题，根据对称化构造（解法1）或对数均值不等式（解法2）等方法即可证出． 【解答过程】（1）由题意得，函数的定义域为. 由得：， 当时，在上单调递增； 当时，由得，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）因为是方程的两不等实根，， 即是方程的两不等实根， 令，则，即是方程的两不等实根. 令，则，所以在上递增，在上递减，， 当时，；当时，且. 所以0，即0. 令，要证，只需证， 解法1（对称化构造）：令， 则， 令， 则 ， 所以在上递增，， 所以h，所以， 所以，所以， 即，所以. 解法2（对数均值不等式）：先证，令， 只需证，只需证， 令， 所以在上单调递减，所以. 因为，所以， 所以，即，所以. 23．（24-25高三上·四川成都·月考）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)在区间内单调递增，在区间内单调递减； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【解题思路】（1）求函数的导函数及其零点，分区间分析导函数的正负，结合导数与单调性的关系求单调区间； （2）方程可化为，结合（1）确定函数的性质，由条件确定的取值范围； （3）设，由（i），由已知，法一：先证明时结论成立，构造函数，，并证明，由此可得，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明当时，结论成立；法二：构造函数，证明当时，，由此可证，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明结论. 【解答过程】（1）由题意得，，则， 由，解得． 当时，单调递增， 当时，单调递减； 综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减； （2）（i）由，得， 设， 由（1）得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根， 故的取值范围是．                                      （ii）不妨设，则，且． 法一： 当时，结合（i）知，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增，又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 24．（24-25高三上·云南·月考）已知函数，． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若存在，，使得，则． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）求出函数的导数后可得函数的单调性，结合单调性可求最大值，从而可求参数的取值范围. （2）利用极值点偏移可证，结合不等式放缩可证. 【解答过程】（1），，令，解得， 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在单调递减， 所以，要使，则有，而，故， 所以的取值范围为． （2）证明：当时，由（1）知，当时，单调递增； 当时，单调递减， 设，所以，， ①若，则，成立； ②若，先证，此时， 要证，即证，即，， 令，， ， 所以在上单调递增，所以， 即，，所以， 因为，，所以， 即． 25．（2025·山西·模拟预测）已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）求解函数定义域，参变分离得到，构造，利用导函数得到其单调性，极值和最值情况，得到； （2）转化为有2个不同的实数根，构造，得到其单调性，得到，且，求出，换元后即证，构造，求导后得到在上单调递增，，得到证明. 【解答过程】（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立. 令，则， 令，则，所以在内单调递减， 又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取极大值也是最大值. 因此，即实数的取值范围为. （2）有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根. 令，则，当时，解得. 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极大值为. 又因为，当时，，当时，. 且时，. 所以，且. 因为是方程的2个不同实数根，即. 将两式相除得， 令，则，，变形得，. 又因为，，因此要证，只需证. 因为，所以只需证，即证. 因为，即证. 令，则， 所以在上单调递增，， 即当时，成立，命题得证. 【题型6 极值点偏移问题：复杂型】 26．（2025高二·全国·专题练习）已知函数．若有两个零点，，且． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用导数分情况研究函数单调性，求得其最值，结合零点存在性定理，可得答案； （2）明确零点的取值范围，分析整理不等式，利用函数的单调性，构造不等式与函数，利用导数求新函数的最值，可得答案. 【解答过程】（1）由题意知，的定义域为R，． 当时，，所以在R上单调递增，从而在R上至多有一个零点． 当时，令，得． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． ，令，则． 当时，，单调递增；时，，在单调递减， 即，从而．，， 故存在唯一使得， 又当时,结合与函数单调性可知，在上必存在唯一零点； 故存在唯一使得，所以有两个零点， 综上所述，a的取值范围是． （2）证明：由，得，，所以，即． 要证成立，只需证，即证，即． 令，则．即证，即证． 设，则， 所以在区间上单调递增，所以， 所以不等式成立． 27．（25-26高三上·河北·月考）已知函数，且有两个零点. (1)求的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，结合函数走势，得到不等式，求出答案； （2）先证明对一切不相等的正实数，都有，进而得到，则，由基本不等式得，进而求出. 【解答过程】（1）定义域为， 由题意可得. 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减. 当时，，当时，，且， 则，解得，即的取值范围为； （2）证明：先证明对一切不相等的正实数，都有. 不妨设，要证，即证 设， 则， 所以在上单调递增，所以，即当时，有， 故，即. 因为是的两个零点，所以 所以，则， 所以，则. 因为，所以. 因为， 所以. 因为，所以，即. 28．（24-25高三上·河南·月考）已知函数． (1)若函数和的图象都与平行于轴的同一条直线相切，求的值； (2)若函数有两个零点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【解题思路】（1）求导得到与的单调性，进而分别可得两函数斜率为0的切线方程，根据题意得到方程，求出的值； （2）令可得，由函数单调性可得，结合（1）可得，不妨设，构造差函数，解决极值点偏移问题. 【解答过程】（1）由题意：函数的定义域为，， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 由可得，图象与直线相切． ，当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数，， 即图象与直线相切． 两函数图象均与平行于轴的同一条直线相切，则，即． （2），令， 由，得， 函数在上为减函数，故，即 即，不妨设， 要证，只需证， 只需证，即证， 因为， 只需证，即， 令 ， 则， 在上单调递增， ， 原题得证． 29．（24-25高二下·湖南·期末）已知函数. (1)若方程有3个零点，求实数的取值范围； (2)若有两个零点，求证：，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）将问题转化为与有三个不同的交点，利用导数研究函数的性质，从而结合图象即可求得实数的范围； （2）利用导数求得函数的单调性，再利用零点存在定理证得，再利用零点的定义将问题，构造函数，利用导数证得即可得证. 【解答过程】（1）解：令，即得，即方程有三个零点， 即直线与曲线有三个不同的交点， 可得， 所以当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为.      （2）解：因为， 当时，单调递增，不可能有两个零点，所以，此时， 令，得，所以当时，； 当时，， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 若有两个零点，则，得，所以， 当时，，，， 故存在，使得， 又当趋向于时，趋向于，故存在，使得， 故，则满足，可得，即， 要证，只需证， 两边同乘以，可得， 因为，，所以， 令，即证，即证， 令，可得， 令，，故在区间上单调递增， 故，因此，所以在区间上单调递增， 故，因此原不等式成立. 30．（2025·湖北武汉·三模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）求出，分、两种情况讨论，分析导出的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （2）（i）将方程变形为，令，令，可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （ii）将所证不等式等价变形为，由变形可得出，推导出，即证．令，只需证，构造函数，其中，利用导数法即可证得结论成立. 【解答过程】（1）解：因为， 所以，其中. ①当时，，所以函数的减区间为，无增区间； ②当时，由得，由可得. 所以函数的增区间为，减区间为． 综上：当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的增区间为，减区间为． （2）解：（i）方程可化为，即． 令，因为函数在上单调递增， 易知函数的值域为， 结合题意，关于的方程（*）有两个不等的实根． 又因为不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为． 令，其中，则． 由可得或，由可得， 所以，函数在和上单调递减，在上单调递增． 所以，函数的极小值为， 且当时，；当时，则. 作出函数和的图象如下图所示： 由图可知，当时，函数与的图象有两个交点， 所以，实数的取值范围是. （ii）要证，只需证，即证． 因为，所以只需证． 由（ⅰ）知，不妨设． 因为，所以，即，作差可得． 所以只需证，即只需证． 令，只需证． 令，其中，则， 所以在上单调递增，故，即在上恒成立． 所以原不等式得证． 【题型7 拐点偏移问题】 31．（2025·全国·模拟预测）对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【解题思路】根据题意求出函数的对称中心为，可得出，用倒序相加法即可求解. 【解答过程】由题意可知，所以，令，则， 所以，由题意可知函数的对称中心为， 所以，即， 所以， 所以 ， 所以. 故选：C. 32．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【解题思路】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即，即可得到结论． 【解答过程】解：因为，所以，，由，得， 解得，而，故函数关于点对称， 故， 所以，所以， 故选：D. 33．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·月考）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数（称为的二阶导数），若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数 . (1)若既有极大值又有极小值，求m的取值范围； (2)当时，①求的对称中心； ②计算的值. 【答案】(1)或. (2)①；②2024 【解题思路】（1）根据极值点概念，借助导数计算即可； （2）①当时，，两次求导，根据拐点概念和性质得到对称中心为.②根据对称中心，得到，再赋值计算即可. 【解答过程】（1），∴. ∵既有极大值又有极小值，∴有两个不相等的实数根， ∴，∴或. （2）①当时，， ∴，. 令得， 又，∴的对称中心为. ②∵的对称中心为，∴， ∴ . 34．（2025·四川绵阳·模拟预测）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）．设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．已知三次函数 (1)过点作曲线的切线，求切线方程： (2)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，其中．求的拐点． 【答案】(1)或． (2)且 (3) 【解题思路】（1）设切点，利用导数的几何意义和两点斜率公式列方程可求，再利用点斜式求切线方程； （2）利用导数判断函数的单调性，作函数的大致图象，由时，成立，可得，求函数的对称中心，利用对称性化简可得，结合图象进一步化简，由此可求结论， （3）由条件结合导数运算法则可得，令，，利用导数研究函数的单调性，结合函数性质求其零点，由此可得结论. 【解答过程】（1）因为，故可设切点为，， 所以， 整理得： 解得：或， 当时，切点为，切线斜率为，故切线方程为， 当时，切点为，切线斜率为，切线方程为， 故切线方程为：或． （2），当且仅当时，， 由（1）， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又由可得，，， 作函数的大致图象如下，    所以， 要使恒成立 当即时，恒成立， 即，且， 所以 当时，由恒成立， 得（*）， 因为，所以，， 令，所以， 当时，，当时，， 由题干可得函数的图象关于点对称， 所以， 所以不等式（*）为， 因为，结合图象可得， 所以恒成立， ，所以． 综上，且 （3）， 由于，故，即的定义域为， ， ， 令得，， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，由零点存在性定理知，有唯一的零点， 故，即时，满足， 当时，， 故的拐点为. 35．（25-26高一上·新疆喀什·期中）阅读材料一：设函数在区间上有定义，若对任意和任意实数，都有，则称是区间上的下凸函数，是的下凸区间；反之，如果都有，则称是区间上的上凸函数，是的上凸区间.阅读材料二：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称在区间上存在二阶导函数，即.设函数在区间上存在二阶导函数，则在区间上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意都有（）且在区间的任意子区间内不恒为0.阅读材料三：设函数在区间上连续，（其中为无限接近于的正数），在上存在二阶导函数，若在和上的符号相反，则点为曲线的拐点.根据以上阅读材料，解答以下问题： (1)证明：对任意，，不等式恒成立； (2)求函数的上凸区间和曲线的拐点； (3)设函数，若点是曲线的拐点，求实数，的值，并证明函数的图象关于拐点中心对称. 【答案】(1)证明见解析 (2)上凸区间为，；拐点为，， (3)，证明见解析 【解题思路】（1）构造函数，证明是上凸函数即可推理得证. （2）根据上凸区间与“拐点”的定义利用导数计算可得； （3）利用“拐点”的意义可得，结合求出；再利用中心对称的定义计算推理即可. 【解答过程】（1）当或时，不等式成立， 令函数，则，， 因此函数是上凸函数， 则对任意，，即， 所以对任意，，不等式恒成立. （2）函数的定义域为，则， ， 令，解得或， 所以的上凸区间为，， 因为当或时，当或时， 又，，， 所以的拐点为，，； （3）函数，则，， 由点是曲线的拐点，得当时值与当时值符号相反， 因此，又，解得； 所以， 则 ， 所以的图象关于拐点中心对称. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 极值点偏移与拐点偏移必考七大问题（专项训练） 【人教A版】 【题型1 极值点偏移问题：加法型】 2 【题型2 极值点偏移问题：减法型】 3 【题型3 极值点偏移问题：乘积型】 5 【题型4 极值点偏移问题：商型】 6 【题型5 极值点偏移问题：平方型】 7 【题型6 极值点偏移问题：复杂型】 9 【题型7 拐点偏移问题】 10 知识点1 极值点偏移问题 1．极值点偏移的概念 (1)已知函数y=f(x)是连续函数，在区间(a,b)内只有一个极值点x0，f(x1)=f(x2)，且x0在x1与x2之间，由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同，使得极值点偏向变化速度快的一侧，常常有，这种情况称为极值点偏移. (2)极值点偏移 若，则极值点偏移，此时函数f(x)在x=x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3). (左陡右缓，极值点向左偏移)若f(x1)=f(x2)，则x1+x2>2x0； (左缓右陡，极值点向右偏移)若f(x1)=f(x2)，则x1+x2<2x0. 2．极值点偏移问题的一般题设形式 (1)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)； (2)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)； (3)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，令，求证：f'(x0)>0； (4)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)=f(x2)，令，求证：f'(x0)>0. 3．极值点偏移问题的常见解法 (1)(对称化构造法)：构造辅助函数： ①对结论x1+x2>2x0型，构造函数. ②对结论型，方法一是构造函数，通过研究的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成lnx1+lnx2>2lnx0，再把lnx1，lnx2看成两变量即可. (2)(比值代换法)：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明. 知识点2 拐点偏移问题 1．拐点的概念 在函数图象上，如果有一个位置使得函数曲线向左弯曲变成向右弯曲或者反过来，那么这个位置就被称为拐点. 2．拐点偏移 拐点偏移通常发生在以下两种情况下： (1)函数不光滑 如果函数在某一点处不光滑，即该点处不可导或者导数不存在，那么它的图像可能出现断裂，从而导致拐点偏移. (2)函数有多个极值 如果函数有多个极值，则其图像可能呈现出多个连续部分具有相同的凸凹性质，并且这些部分之间可能存在突然转折，这种情况下也会出现拐点偏移. 3．拐点偏移问题的解题策略 为了解决拐点偏移问题，可以采取以下措施： (1)修正函数 如果函数在某一点处不光滑，可以通过修正函数使其在该点处可导. (2)分段处理 如果函数有多个极值，则可以将其分段处理. (3)使用高阶导数 除了一阶导数外，还可以使用高阶导数来解决拐点偏移问题.例如，可以通过计算二阶导数来判断拐点的位置是否发生了偏移，从而对函数进行修正. 【题型1 极值点偏移问题：加法型】 1．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知函数若有两个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北恩施·期中）已知，，，均为的解，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·四川成都·期中）函数的两个极值点、满足，则的最大值为____________. 4．（24-25高二下·江苏扬州·月考）已知函数，，是自然对数的底数. (1)讨论函数的极值； (2)当时，若，（其中）满足，求证：. 5．（20245·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【题型2 极值点偏移问题：减法型】 6．（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数有两个零点、，且，则下列命题正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．个 B．个 C．个 D．个 7．（2025·四川成都·一模）已知，且，则下列说法正确的有（    ） ①； ② ；③；  ④. A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④ 8．（24-25高二下·云南·期中）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：. 9．（2025高三·全国·专题练习）若有两个不等的零点，且，求证：. 10．（2025·全国·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)若，求证：． 【题型3 极值点偏移问题：乘积型】 11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数．若函数有两个零点、，求证：． 12．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数，直线是曲线的一条切线． (1)求的值，并讨论函数的单调性； (2)若，其中，证明：． 13．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 14．（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个不同的零点，且满足，求证：． 15．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 【题型4 极值点偏移问题：商型】 16．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 17．（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个相异零点､，且，求证：. 18．（2025高二·全国·专题练习）若有两个零点和. (1)求a的取值范围； (2)求证：. 19．（24-25高二下·湖北·月考）已知函数. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若函数恰有两个极值点，，且，求的取值范围. 20．（24-25高三上·江苏无锡·月考）已知函数. (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； (2)若，求证：. 【题型5 极值点偏移问题：平方型】 21．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：. 22．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性： (2)若是方程的两不等实根，求证：； 23．（24-25高三上·四川成都·月考）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 24．（24-25高三上·云南·月考）已知函数，． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若存在，，使得，则． 25．（2025·山西·模拟预测）已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点，求证：． 【题型6 极值点偏移问题：复杂型】 26．（2025高二·全国·专题练习）已知函数．若有两个零点，，且． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 27．（25-26高三上·河北·月考）已知函数，且有两个零点. (1)求的取值范围； (2)证明：. 28．（24-25高三上·河南·月考）已知函数． (1)若函数和的图象都与平行于轴的同一条直线相切，求的值； (2)若函数有两个零点，证明：． 29．（24-25高二下·湖南·期末）已知函数. (1)若方程有3个零点，求实数的取值范围； (2)若有两个零点，求证：，且. 30．（2025·湖北武汉·三模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 【题型7 拐点偏移问题】 31．（2025·全国·模拟预测）对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 32．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 33．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·月考）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数（称为的二阶导数），若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数 . (1)若既有极大值又有极小值，求m的取值范围； (2)当时，①求的对称中心； ②计算的值. 34．（2025·四川绵阳·模拟预测）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）．设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．已知三次函数 (1)过点作曲线的切线，求切线方程： (2)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，其中．求的拐点． 35．（25-26高一上·新疆喀什·期中）阅读材料一：设函数在区间上有定义，若对任意和任意实数，都有，则称是区间上的下凸函数，是的下凸区间；反之，如果都有，则称是区间上的上凸函数，是的上凸区间.阅读材料二：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称在区间上存在二阶导函数，即.设函数在区间上存在二阶导函数，则在区间上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意都有（）且在区间的任意子区间内不恒为0.阅读材料三：设函数在区间上连续，（其中为无限接近于的正数），在上存在二阶导函数，若在和上的符号相反，则点为曲线的拐点.根据以上阅读材料，解答以下问题： (1)证明：对任意，，不等式恒成立； (2)求函数的上凸区间和曲线的拐点； (3)设函数，若点是曲线的拐点，求实数，的值，并证明函数的图象关于拐点中心对称. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $