专题01 一元函数的导数及其应用全章12大重点题型归纳（必考60题专项训练）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第二册）

专题01 一元函数的导数及其应用全章12大重点题型归纳（必考60题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 求曲线的切线方程 1．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求导，利用导数的几何意义求切线方程即可. 【解答过程】，， 在处的切线方程为. 故选：D. 2．（24-25高二下·河南焦作·期末）过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】设切点为，利用切点坐标表示出切线方程，然后代入点，求出即可得解. 【解答过程】设切点为，因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又该切线经过点，所以， 整理得，解得或， 所以切线方程为或. 故选：C. 3．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对求导，得，利用导数的几何意义得到切线的斜率，再利用点斜式，即可求解. 【解答过程】因为， 则， 所以， 又，所以的图象在处的切线方程为，即， 故选：A. 4．（25-26高二下·山东济南·月考）已知函数，求过点且与曲线相切的方程__________. 【答案】和 【解题思路】设出切点，利用导数的几何意义与直线的点斜式方程可表示出切线方程，再将点代入计算即可得切点坐标，即可得解. 【解答过程】，设切点为，则切线方程为， 由该直线过点，则，整理得， 即为，解得或， 则切线方程为与， 即为与. 故答案为：与. 5．（25-26高二下·全国·单元测试）已知曲线． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求曲线过原点的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）令切点为，可得出，利用导数的几何意义写出切线方程，将原点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程. 【解答过程】（1）因为，所以，所以，， 可得切线方程为，整理得． （2）令切点为，因为切点在函数图象上，所以，， 所以在该点处的切线为， 因为切线过原点，所以， 整理可得，即，解得或， 当时，切点为，，切线方程为， 当时，切点为，，切线方程为， 所以切线方程为或． 题型2 两条切线平行、垂直、公切线问题 6．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【解答过程】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 7．（24-25高二下·山东青岛·月考）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】先根据求导公式求出函数的导数，进而得到函数在点处切线的斜率，再根据两直线垂直斜率之积为求出实数的值. 【解答过程】对求导可得：. 可得切线的斜率. 将直线转化为斜截式，可知直线斜率. 因为函数的图像在点处的切线与直线垂直， 根据两直线垂直斜率之积为，可得，即. 可得：， 故，即实数的值为. 故选：C. 8．（24-25高二下·湖北·月考）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设切点分别为和，再由导数求得斜率相等，得到，构造函数由导数求得参数的范围． 【解答过程】的导数的导数为， 设与曲线相切的切点为相切的切点为， 则有公共切线斜率为， 又，即有，即为，即有， 则有，即为，恰好存在两条公切线，即有两解， 令，则， 当时，递减，当时，递增， 即有处取得极大值，也为最大值，且为， 由恰好存在两条公切线可得与 有两个交点， 可得的范围是， 故选：D. 9．（24-25高二下·江西景德镇·期末）若曲线与曲线有公切线，则实数的最大值为______． 【答案】 【解题思路】根据导数的几何意义求出两曲线在切点的切线方程，可得，整理得，利用导数研究函数的单调性求出得出结果即可. 【解答过程】令，则，令，则， 设在曲线上的切点为，则切线斜率为， 在曲线上的切点为，切线斜率为， 所以切线方程分别为、， 即、， 有，整理得， 设，则， 令，令， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 则在上，如图， 由图可知，即k的最大值为. 故答案为：. 10．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知曲线． (1)若在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． 【答案】(1)0 (2) 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）设公共点为，由题设可得，可得，，再将公共点代入两曲线方程化简可得，进而求解即可. 【解答过程】（1）由，则， 而直线的斜率为3， 所以，解得. （2）由题意，，， 设公共点为，则，， 由于曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直， 所以，则，， 又，则， 所以，解得. 题型3 导数的计算 11．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数，其导函数记为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】化简，令，判断该函数的奇偶性，结合奇偶性以及，求得，根据复合函数求导法则得，进而得，即，即可得解. 【解答过程】因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以； 因为，所以，即， 又，所以，所以， 所以． 故选：D. 12．（24-25高二下·广东·期中）已知函数及其导函数的定义域均为R，记且，为偶函数，则（   ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】D 【解题思路】首先根据为偶函数和得到的一些等式关系，再通过对已知等式求导进一步推导的性质，如周期性等，然后求出的值，最后根据的奇偶性和的周期性求出的值，进而得出结果. 【解答过程】解：因为为偶函数，，所以， 对两边同时求导，得， 所以有 ，所以函数的周期为8， 在中，令，所以， 因此，因为为偶函数， 所以有（1）， （2）， 由（1），（2）可得： ，所以， 故选：D． 13．（24-25高二下·江西宜春·期中）已知函数是奇函数，函数是偶函数，且当时，，，则当时，以下说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，即可得到时，的正负，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】由是奇函数可得，两边同时求导可得， 即，所以是偶函数， 又当时，，所以时，， 由是偶函数可得，两边同时求导可得， 即，所以是奇函数， 当时，，当时，， 对于A，因为与的大小关系不确定，所以的正负不确定，故A错误； 对于B，当时，，则，故B正确； 对于C，由时，，可得，故C错误； 对于D，由时，，可得，故D错误； 故选：B. 14．（24-25高二下·四川资阳·期中）已知，为导函数，若，则___________． 【答案】2025 【解题思路】先求，根据奇函数的性质可得，结合题意运算求解． 【解答过程】因为，则， 所以，得， 又，故． 故答案为：2025． 15．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求赋值代入计算即可，求需要先求出的导数然后赋值代入计算即可. （2）求赋值代入计算即可，求需要先应用复合函数求导及分式求导求出的导数然后赋值代入计算即可. 【解答过程】（1）因为， 所以. 因为， 所以. （2）因为， 所以. 因为， 所以. 题型4 函数的单调性及其应用 16．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【解答过程】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 17．（24-25高二下·北京·期末）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造函数，根据函数的奇偶性和导数情况得出该函数的单调性，再结合即可分析求解. 【解答过程】令, 则， 所以为奇函数，故. 因为当时，， 所以当时，， 故在上单调递增. 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 又， 所以当时， 当时， 所以不等式的解集为. 故选：A. 18．（24-25高二下·河南焦作·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，求导确定函数的单调性，再根据单调性与对数运算性质转化为函数值大小即可得的大小. 【解答过程】设， 由，，， 得，，， 又，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以，所以，所以. 故选：D. 19．（24-25高二下·江西鹰潭·期中）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是__________． 【答案】 【解题思路】设，求导确定单调性，又从而有单调性可得不等式解集. 【解答过程】设，则， 所以在上单调递减， 又，由， 即，所以，则，不等式的解集为. 故答案为：. 20．（24-25高二下·四川资阳·月考）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)函数单调递减区间为，单调递增区间为 (2)答案见解析 【解题思路】（1）利用求导并因式分解，再结合定义域，即可由导数的正负确定函数的单调区间； （2）利用求导，再通过对参数的分类讨论，来决定导数的正负，从而确定函数的单调区间. 【解答过程】（1）由，可得， 因为定义域，所以由，解得， ，解得， 即在上单调递减，在上单调递增． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时， 当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 题型5 函数的极值问题 21．（24-25高二下·海南·月考）已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据极值的定义，结合导数的运算法则进行求解即可. 【解答过程】， 因为函数的极小值点为， 所以，或， 当时，，当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是函数的极大值点，不符合题意； 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以是极小值点，是极大值点， 故选：A. 22．（24-25高二下·广西河池·期末）已知函数，有两个极值点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对函数求导得，根据题意可知在上有两个变号零点，即方程在上有两个解，根据韦达定理和一元二次方程根的判别式即可求解. 【解答过程】∵函数，有两个极值点， ∴在上有两个变号零点， ∴方程在上有两个解，设为，， ∴，解得，即实数m的取值范围是. 故选：A. 23．（24-25高二下·四川南充·期末）函数有两个极值点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数极值点和函数导数之间的关系，判断函数导数有两个零点时的参数范围，将两个极值点带入导函数，求得两个参数方程，根据换元法，构造新的函数，根据函数单调性，求出函数范围，判断结果. 【解答过程】由题意得，当函数有两个极值点时，即有两个不相等的根， 令，则， 可知当时，，在上单调递增，至多只有一个解，不符合题意； 当时，令，解得， 可知当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，有两个零点，符合题意，即，解得时，有两个零点； 可得，即， 作商得，令，因为，即，所以，变形得， 可得，即，则， 令，， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增，即在上单调递增， 因为，所以在上，所以在上单调递增， 因为，所以在上，即在上，则在上单调递增， 所以，可知， 当时，即，，因为，所以， 综上所述：； 故选：B. 24．（24-25高二下·河南周口·期末）已知函数在处取得极值0，则b=__________． 【答案】 【解题思路】根据题设有、列方程求参数值，注意验证即可. 【解答过程】由题设，则，且， 所以代入，得，则， 所以或， 当，则，有恒成立，显然是拐点，不是极值点，不符合； 当，则，有， 所以或时，时，易知是一个极值点，符合； 综上，. 故答案为：. 25．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； (2)若函数有两个极值点，，且. （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解题思路】（1）由题意计算即可得解； （2）（ⅰ）将问题转化成函数与的图象在上有两个不同的交点，求出直线与曲线相切参数的值即可得解； （ⅱ）由、是的两根得，进而将问题转化成证，再利用导数工具研究函数单调性即可求证. 【解答过程】（1）由题， 因为曲线在点处的切线垂直于直线， 所以. （2）（ⅰ）因为， 因为函数有两个极值点、，所以在上有两个不同的根， 所以函数与的图象在上有两个不同的交点， 设直线与曲线相切于点，， 则切线斜率为，所以， 所以函数与的图象在上有两个不同的交点， 则， 所以a的取值范围为； （ⅱ）证明：由题可得、是的两根，且. 所以， ， 令，则， 所以要证明即证，即证， 即证， 因为，所以， 所以函数即在上单调递减，所以， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以. 题型6 函数的最值问题 26．（24-25高二下·陕西西安·期末）函数的最小值为（   ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】由不等式，当且仅当时等号成立，结合指数、对数运算可得可得解. 【解答过程】证明：令，所以， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 即，即，当且仅当时等号成立. ， 由（当且仅当时等号成立）， （令，则在上单调递增， 又因为，， 所以在上有唯一解.） 所以的最小值为1. 故选：. 27．（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对求导，求出导数为0的的值，分析的单调性，得出极值点，极值，并计算取得极值的其它点，从而得到的取值范围. 【解答过程】，令，解得或，易知： 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故的极小值为，极大值为， 所以， 由可得，，解得或， 由可得，，解得或， 所以，， 因此，即. 故选：B． 28．（24-25高二下·福建福州·期末）设函数，，则的最小值和最大值分别为（   ） A．，0 B．， C．， D．0， 【答案】C 【解题思路】利用导数可求得函数的单调区间，利用单调性找到最值即可. 【解答过程】,, 时，，此时函数单调递增， 时，，此时函数单调递减. ，， 的最小值和最大值分别为，， 故选：C. 29．（25-26高三上·安徽·开学考试）若函数的最小值为1，则实数a的取值范围为____________. 【答案】 【解题思路】把函数化成，再令，利用导数可求出取到最小值时的的值，再由关于的方程有解，可求出. 【解答过程】， 令，原式可化为，， 当，，单调递增；当，，单调递减， 则时，取得最小值1，所以有解，即有解. 记，， 当，，在单调递增， 当，，在单调递减. 故，且当，，，， 所以，得，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 30．（24-25高二下·吉林·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)最大值为，最小值为 【解题思路】（1）先求得函数的定义域，求导，令和，分别求解可得增区间与减区间； （2）利用（1）的单调性可得函数在的变化情况，进而可求量值. 【解答过程】（1）函数的定义域为， 求导得， 令，得，解得， 令，得，解得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 又， ， ，易知， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用 31．（24-25高二下·山东济宁·期中）若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】B 【解题思路】求出函数的导数，根据题意列式求出a的值，结合函数的单调性，即可求得答案. 【解答过程】由，得， 由于函数在处取得极值， 故，则， 故， 则当或时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极大值，即适合题意， 由此可知在上单调递减，在上单调递增， 故函数在区间上的最小值为， 故选：B. 32．（24-25高三下·四川成都·开学考试）已知函数的极值点均不大于2，且在区间上有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据区间为开区间，可得最小值只能在极小值处取得，由此求导得出极值点，并分，，三种情况判断函数的单调性，最后根据是否有最小值，求出实数a的取值范围. 【解答过程】易知最小值只能在极小值处取得，， 解得导数零点为，根据题意可得． 当时，在上，在上单调递增，无最值； 当时，在上，上，上， 所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 所以在取得极小值，又极小值必须为最小值， 所以，即， 所以； 当时，在上，上， 所以在上单调递减，上单调递增，此时函数有最小值满足条件， 综上所述，的取值范围为． 故选：A． 33．（24-25高二下·广东惠州·月考）函数的两个极值点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知函数求导，令则可得，代入极值点后两式作商，可得到的关系，作商得到的结果指对互换，便可解出，根据题目所求，代入后便可构造新的函数，通过求导可求得最小值. 【解答过程】由函数，，令， 则，因为函数两个极值点， 则①，②，得③，设， 则且，代入③得，， 设，则， 设，则 ，在单调递减，， 从而，在单调递减，，， 故的最小值为． 故选：A. 34．（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极大值； (2)若在有最小值，且最小值大于，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）当时，，求导得，研究单调性求出极值； （2）求导，分类讨论，求出最小值，解方程得到答案. 【解答过程】（1）当时，， ， 令，解得或， 当或，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以当时，的极大值为. （2），， 当时，，，单调递增，无最小值，不符题意； 当时，令，则或， 当时，，，所以单调递增，无最小值， 当时，当，，当，， 所以在单调递减，在上单调递增，所以当时，有最小值， 最小值为， 所以，即， 化简得，即， 解得，即. 35．（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若，试讨论的单调性； (3)是否存在，使得在区间上的最小值为，若存在，求出，若不存在说明理由. 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)答案见解析； (3) 【解题思路】（1）求定义域，求导，得到的单调性，进而得到函数极值情况； （2）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （3）由（2）可知，时，在上为减函数，在上为增函数，故分，，三种情况，根据函数最小值得到方程，求出. 【解答过程】（1）当时，，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以时，取极小值，无极大值； （2）因为，，若，恒成立，递增； 若，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，时，在上单调递增， 时，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）可知，时，在上为减函数，在上为增函数． 假设存在，使得在区间上的最小值为， 若，即时，，解得，符合题意； 若，即时，， 解得，舍去； 若，即时，，解得，舍去． 综上所述，存在，使得在区间上的最小值为． 题型8 利用导数研究函数零点（方程根） 36．（24-25高二下·江苏无锡·月考）函数有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，将问题转化成与有三个交点，再利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而可得出的图象，数形结合，即可求解. 【解答过程】因为，易知，所以0不是零点， 令，即，得到，令，， 则， 易知恒成立，由，得到， 当时，，时，，时，， 所以在单调递增，单调递减，单调递增， 又易知，当，且时，，时，， 当时，时，，且， 当时，时，，所以的图象如图所示， 由题知与有三个交点，所以， 故选：A. 37．（24-25高二下·北京·期中）函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由可得或，令，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【解答过程】由可得或， 令，其中，则， 令，其中，则， 由可得，所以，函数在上单调递减， 由可得，所以，函数在上单调递增， 所以，，故对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理可知，存在，使得， 综上所述，函数的零点个数为. 故选：B. 38．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】是1个零点，进而得时，函数有4个零点，将问题转化成与有4个交点分析计算求解即可. 【解答过程】由题意，可知： 当时，，故为的1个零点； 故当时，函数有4个零点，即有4个非0实数根， 即有4个非0实数根， 即与图象有4个交点， 当时，， 当时，则，令得， 所以当时，当时， 则函数在单调递增，在上单调递减， 又，时，时， 且时，时，， 所以图象如图所示：    由图可得，解得. 故选：D. 39．（24-25高二下·河北邢台·期末）已知函数．若方程有3个实数根，则的取值范围为___________． 【答案】 【解题思路】根据题意得，然后结合函数的单调性并化简得，令，利用导数研究其单调性，画出的大致图象，数形结合即可求解. 【解答过程】根据题意可得，所以． 因为在上单调递增，且，所以， 则．令，则与有三个交点， ， 当-3时，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增．当时，， 画出的大致图象，如图所示，所以的取值范围为． 故答案为：. 40．（24-25高二下·四川成都·月考）设函数（）． (1)讨论的单调性； (2)若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②，理由见解析 【解题思路】（1）求出函数的导数，再按分类讨论函数的单调性. （2）①把问题转化为直线与函数图象交点问题，结合导数求解.②判断大小，作差等价转化，利用导数证明即可. 【解答过程】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）①当时，， 函数有两个不同的零点， 等价于方程有两个不同的根， 等价于函数的图象与直线有两个不同的交点， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，在，当时，， 所以的取范围为. ②，不妨令， ， 由①知，，即，而， 只需证明，即证，令， 令，求导得， 函数在上单调递减，，即， 因此，所以. 题型9 利用导数证明不等式 41．（24-25高二下·江苏连云港·月考）下列四个不等式①②③④中正确个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】由不等式构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案. 【解答过程】对于①，令，求导得，令，解得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 令，求导得，令，解得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，故①正确； 对于②，令，求导可得，令，， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，故②正确； 对于③，令，求导得，令，， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，故③错误； 对于④，令，求导可得，由，则， 所以函数在上单调递增，由，，则， 所以当时，，故④正确. 故选：C. 42．（24-25高二下·全国·课后作业）以下不等式不成立的是（    ） A．， B．， C． D．， 【答案】D 【解题思路】对于各个选项分别构造函数，；，；，；，.再求导研究单调性，进而用单调性性质判定即可. 【解答过程】对于A，令，， 由，则在上单调递增， 则，不等式成立； 对于B，令，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则，不等式成立； 对于C，令，，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则，不等式成立； 对于D，令，， 当时，，所以不等式不成立． 故选：D． 43．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，转化为，令，利用导数求得函数的单调性和最大值，结合，即可得证. 【解答过程】（1）解：由函数，可得， 所以，且，即切点坐标为，切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）证明：由函数，可得函数的定义域为， 由不等式，即， 要证，即证，即证， 令， 可得，其中， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取值最大值，所以， 即在恒成立，所以． 44．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数. (1)已知在区间上单调递减，求的取值范围； (2)当时，证明：若，则. （参考数据：） 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）求导并等价转化在恒成立，然后构建函数求导判断单调性可得； （2）代入，求导可得，然后构建函数求导判断函数的单调性，进一步得到函数的单调性，找到其中一个隐零点，然后代值计算即可. 【解答过程】（1）由题可知：在区间上单调递减， 则在恒成立， 即在恒成立. 令，在恒成立， 所以在单调递增， 所以. （2）当时，，， 令，， 若，；若，， 所以函数在单调递增，在单调递减. 又，， 所以存在，， 若，，即； 若，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 在，有最小值，在，有最大值， 因为，所以，则， 由，所以，又，所以 则， 即. 45．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：，； (3)设，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而得解； （2）由题，问题转化为证明，令，只需证对任意的恒成立，设，求导，判断单调性求出最值得证； （3）由（2），令，可得，即，利用裂项相消法求和得证. 【解答过程】（1）， ， . 所求切线方程为，即. （2）要证，等价于证， 令，则，且，， 只需证在成立， 即证对任意的恒成立， 设， 则恒成立， 时，单调递减， ，即， . （3）由（2）知，对任意的恒成立． 对任意的，有，则， 即， ， ，得证. 题型10 利用导数研究不等式恒（能）成立问题 46．（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用同构得到，当时，满足要求，当时，令，则在上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到，构造，求导得到单调性，进而得到，得到答案. 【解答过程】由可得，即， 当时，，不等式在上显然成立； 当时，令，则在上恒成立， 由，在上，所以在上单调递增， 又时，，， 所以只需在上恒成立，即恒成立． 令，则，即在上单调递增， 其中，故，所以此时有． 综上，． 故选：B. 47．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】只需，根据导数求出的最小值，由二次函数单调性求出的最小值，即可求解. 【解答过程】，，使得成立， 则， 函数， ， 令得，当时，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取极小值，也是最小值， 函数的最小值为， ， 则， 所以. 故选：A. 48．（24-25高二下·山东济宁·月考）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求得，得到得单调性和，转化为成立，令，求得，令，求得，得到在上单调递减，进而得到在上单调递减，求得，即可求解. 【解答过程】由函数，可得， 当时，，此时在上单调递增， 所以在上的最小值为， 则，使得恒成立， 即，使得成立，即成立， 令，即， 因为， 令，可得， 所以在上单调递减，所以， 所以，可得在上单调递减，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故选：A. 49．（24-25高二下·江苏南京·期中）若恒成立，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解题思路】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数范围. 【解答过程】由，原不等式等价于 令 所以 设， 当单调递增；当单调递减； 且所以，所以， 所以当单调递增；当单调递减； 所以，所以. 故答案为：. 50．（24-25高二下·天津·月考）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的极小值为0，无极大值 (2) (3) 【解题思路】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【解答过程】（1），求导得，， 因为时，，所以在上单调递增， 因为时，，所以在上单调递减， 又，故在处取极小值0，无极大值． （2）函数， 求导得，由在单调递增， 得在上恒成立，即在上恒成立，因此，， 设，，，则在上单调递增， 于是，即，所以的取值范围为. （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得， 由，得，函数在上单调递减， 则，因此，解得， 所以的取值范围为. 题型11 利用导数研究双变量问题 51．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数，若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数讨论函数的单调性，设、且，结合图象得，再利用导数研究函数的性质得，结合变形、基本不等式，即可判断各项正误. 【解答过程】，则，令， 当时，单调递减，当时，单调递增， 在上，且，，，即. 综上，的图象如下：结合，，令， 如上图，若且，则，则不一定成立，A错误； 又，故，则不一定成立，B错误； 令， 则， 当时，，得，则； 当时，，得，则， 所以函数在R上单调递增，且， 所以在R上恒成立，得， 即，又，所以， 由，且函数在单调递减，得，即，D正确. 又，则，即，故，C错误. 故选：D. 52．（24-25高二下·湖北武汉·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据极值点为导函数的零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可. 【解答过程】由题知，函数的定义域为，， 因为有两个极值点，所以，，则，① 令，因为，所以， 将代入①整理可得，， 所以， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以 故选：D. 53．（24-25高二下·浙江杭州·开学考试）已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)求的单调区间； (2)设且，请判断与的大小，并证明. 【答案】(1)单调递减区间为和；单调递增区间为 (2)，证明见解析 【解题思路】（1）求出导函数，利用导数法求得的单调区间即可． （2）构造函数，利用多次求导的方法判断出的单调区间，从而判断出两者的大小关系． 【解答过程】（1）的定义域为，，， 令得，令得且， 即在区间和上，单调递减， 在区间上，单调递增， 所以的增区间为，减区间为，． （2），证明如下： 令，则定义域为，， 令，则， 则当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 则，所以在，上单调递增， 因为且，所以或， 所以恒成立，即，所以. 54．（24-25高二下·四川眉山·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）求导后，分和讨论即可，根据导数的符号判断原函数单调性； （2）先由函数的单调性求出的最大值，再将问题转化为，恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数分析单调性，求出最值即可. 【解答过程】（1）由题意可知：函数的定义域为， 且，， ①当时，令得；令得； 可知在内单调递增；在内单调递减； ②当时，令得；令得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，在内单调递增；在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减. （2）当时，由（1）可知：函数在上递增，在上递减， 即当时，函数取得极小值，同时也是最小值. 若对任意，存在，使， 等价于为，即，整理可得， 构建，则， 由，得，或（舍）， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递增，函数在内单调递减， 则当时，取得极大值同时也是最大值， 且，， 可知，则函数的最小值为， 可得，所以实数的取值范围为. 55．（24-25高二下·河南·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程； （2）求出函数的导函数，依题意可得有两个不同的变号正根，设，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围； （3）根据极值点的性质得到相关等式，再通过构造函数进行证明. 【解答过程】（1）当时，，所以， 所以，所以曲线在点处的切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 因为有两个极值点， 意味着有两个不同的变号正根. 设，，则. 若，，在上单调递增，不会有两个正根； 当，令，得， 所以当时，所以在上单调递增； 当时，所以在上单调递减. 又当时，当时， 要使有两个正根，需，即，解得. 所以当时，有两个极值点. （3）的定义域为， 因为有两个极值点，意味着是有两个不同正根. 所以，且， 所以，所以， 所以，当时， ， 令，即证当时，对恒成立. 令，则. 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 所以当时，恒成立. 题型12 导数新定义问题 56．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】求出，，则，，代入曲率公式求解即可． 【解答过程】令，则，． 因为，， 所以曲线在点处的曲率为 ． 故选：B. 57．（24-25高二下·湖北武汉·期中）我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据定义分别求得和，再构造函数，根据导数确定零点的取值范围即可求解． 【解答过程】，则，即， ，则， 设，则， 所以在单调递增，又， 所以存在，使得，即； ，则，即， 综上所述，， 故选：A． 58．（24-25高二下·河北衡水·期中）若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，不存在“二倍阶值点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先对函数求导，得到关于的方程，根据“二倍阶值点”的定义，探究方程的解是否存在，逐个选项进行判断即可求解. 【解答过程】对于A， ， ， 由，得 ，解得， 所以函数存在“二倍阶值点”； 对于B， ， ， 由，得 ， 因为，，解得， 所以函数存在“二倍阶值点”； 对于C， ， ， 由，得 ， 令 ， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值也是最小值，且， 所以无解， 所以函数不存在“二倍阶值点”； 对于D， ， ， 由，得， 令 ，， 所以在上单调递增， 又，， 根据零点存在性定理可知在上存在零点， 所以方程有解， 所以函数存在“二倍阶值点”. 故选：C. 59．（24-25高二下·全国·月考）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． (1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)存在， (3) 【解题思路】（1）利用凹函数的定义即可求解； （2）利用凹函数的定义可得在上恒成立，可得在上恒成立，分和两种情况求解可得的取值范围. （3）根据题意，转化为，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性，结合，得到存在，使，结合函数的单调性，求得的最小值为，由，得到，求得，即可求解. 【解答过程】（1） 时，， 函数在区间上是凹函数． （2）， ， 若在区间上为凹函数， 则在上恒成立， ，即在上恒成立， 在上恒成立， 当时，显然成立，下面讨论的情况， 令，则， 时，在上为增函数， 由，得，即， 即时，恒成立， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，则， 故存在实数，使得在区间上为凹函数，的取值范围为． （3）， 令，则， 令，则， 当时，在区间上单调递增， 又， 存在，使， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 当时，的最小值为， 由，有， ，又恒成立，， 且的最大值为3． 60．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． (1)写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）根据二阶拟合函数定义即可得，构造函数，利用二阶导数讨论单调性即可得证； （2）构造函数证明，结合（1）可得，当时，通过放缩可得成立，当时，通过放缩可知，然后构造函数，利用导数证明不满足题意即可得解； （3）求出，根据二次函数性质可证其有两个零点，将目标不等式转化为，构造，利用导数即可得证. 【解答过程】（1）因为，， 所以在处的二阶拟合函数． 设，则，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立． （2）记，则，则， 所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立， 由（1）可知，则， 所以当时，对恒成立， 则对恒成立． 设， 当时，， 设，则， 所以在上单调递减，则， 所以，这与题意矛盾，所以． （3）因为， 所以，则， 则， 因为，且的图象开口向上， 所以有两个零点，且． 因为当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 要证，只需证， 因为，且， 所以只需证， 构造函数， 则， 所以在上单调递增，所以，即， 因为，所以，所以． 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元函数的导数及其应用全章12大重点题型归纳（必考60题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 求曲线的切线方程 1．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南焦作·期末）过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·山东济南·月考）已知函数，求过点且与曲线相切的方程__________. 5．（25-26高二下·全国·单元测试）已知曲线． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求曲线过原点的切线方程． 题型2 两条切线平行、垂直、公切线问题 6．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·山东青岛·月考）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 8．（24-25高二下·湖北·月考）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·江西景德镇·期末）若曲线与曲线有公切线，则实数的最大值为______． 10．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知曲线． (1)若在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． 题型3 导数的计算 11．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数，其导函数记为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 12．（24-25高二下·广东·期中）已知函数及其导函数的定义域均为R，记且，为偶函数，则（   ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 13．（24-25高二下·江西宜春·期中）已知函数是奇函数，函数是偶函数，且当时，，，则当时，以下说法正确的是（     ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·四川资阳·期中）已知，为导函数，若，则___________． 15．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和. (1)； (2). 题型4 函数的单调性及其应用 16．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二下·北京·期末）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 18．（24-25高二下·河南焦作·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高二下·江西鹰潭·期中）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是__________． 20．（24-25高二下·四川资阳·月考）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 题型5 函数的极值问题 21．（24-25高二下·海南·月考）已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二下·广西河池·期末）已知函数，有两个极值点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二下·四川南充·期末）函数有两个极值点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高二下·河南周口·期末）已知函数在处取得极值0，则b=__________． 25．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； (2)若函数有两个极值点，，且. （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：. 题型6 函数的最值问题 26．（24-25高二下·陕西西安·期末）函数的最小值为（   ） A．-1 B．1 C． D． 27．（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二下·福建福州·期末）设函数，，则的最小值和最大值分别为（   ） A．，0 B．， C．， D．0， 29．（25-26高三上·安徽·开学考试）若函数的最小值为1，则实数a的取值范围为____________. 30．（24-25高二下·吉林·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值. 题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用 31．（24-25高二下·山东济宁·期中）若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 32．（24-25高三下·四川成都·开学考试）已知函数的极值点均不大于2，且在区间上有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高二下·广东惠州·月考）函数的两个极值点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 34．（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极大值； (2)若在有最小值，且最小值大于，求的取值范围. 35．（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若，试讨论的单调性； (3)是否存在，使得在区间上的最小值为，若存在，求出，若不存在说明理由. 题型8 利用导数研究函数零点（方程根） 36．（24-25高二下·江苏无锡·月考）函数有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高二下·北京·期中）函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 39．（24-25高二下·河北邢台·期末）已知函数．若方程有3个实数根，则的取值范围为___________． 40．（24-25高二下·四川成都·月考）设函数（）． (1)讨论的单调性； (2)若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由． 题型9 利用导数证明不等式 41．（24-25高二下·江苏连云港·月考）下列四个不等式①②③④中正确个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 42．（24-25高二下·全国·课后作业）以下不等式不成立的是（    ） A．， B．， C． D．， 43．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：． 44．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数. (1)已知在区间上单调递减，求的取值范围； (2)当时，证明：若，则. （参考数据：） 45．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：，； (3)设，证明：． 题型10 利用导数研究不等式恒（能）成立问题 46．（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 47．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高二下·山东济宁·月考）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 49．（24-25高二下·江苏南京·期中）若恒成立，则实数a的取值范围为___________. 50．（24-25高二下·天津·月考）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 题型11 利用导数研究双变量问题 51．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数，若，且，，则（    ） A． B． C． D． 52．（24-25高二下·湖北武汉·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 53．（24-25高二下·浙江杭州·开学考试）已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)求的单调区间； (2)设且，请判断与的大小，并证明. 54．（24-25高二下·四川眉山·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 55．（24-25高二下·河南·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 题型12 导数新定义问题 56．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（    ） A． B． C． D．2 57．（24-25高二下·湖北武汉·期中）我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 58．（24-25高二下·河北衡水·期中）若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，不存在“二倍阶值点”的是（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高二下·全国·月考）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． (1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 60．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． (1)写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $