20.3 用待定系数法确定一次函数表达式 课件 2025--2026学年冀教版八年级数学下册

第二十章 一次函数 20.3 用待定系数法确定一次函数表达式 课堂小结 例题讲解 问题导入 随堂演练 知识回顾 获取新知 1.7.2013 ‹#› 目录 1. 知识回顾——一次函数图像的绘制 2. 问题导入——如何求一次函数表达式 3. 获取新知——待定系数法 4. 例题讲解——待定系数法的应用 5. 随堂演练——巩固练习 6. 课堂小结——知识梳理 1.7.2013 本节课我们将按照以下几个环节展开学习：首先回顾一次函数图像的绘制方法；接着通过问题导入，思考如何求一次函数的表达式；然后学习一种重要的方法——待定系数法；之后通过例题和练习巩固所学知识；最后进行课堂小结。 ‹#› 知识回顾 知识回顾——一次函数图像的绘制（一） 示例：绘制一次函数 y=2x+1 的图像 步骤：列表 — 描点 — 连线 1.7.2013 在学习新知识之前，我们先来回顾一下如何绘制一次函数的图像。绘制一次函数图像通常有三个步骤：首先，我们需要列表，选取一些x的值，计算出对应的y值；然后，根据这些坐标在平面直角坐标系中描点；最后，用一条直线将这些点连接起来。大家看这个例子，我们就是这样画出y=2x+1的图像的。 ‹#› 知识回顾 一次函数图像的绘制（二） 核心：“两点法”绘制一次函数图像更简便高效 原理：一次函数的图象是一条直线，只需找到图象上的任意两个点，即可快速画出这条直线 1.7.2013 在绘制一次函数图像时，我们发现了一个简便方法，那就是“两点法”。因为一次函数的图像是一条直线，而两点可以确定一条直线，所以我们只需要找到图像上的任意两个点，比如与x轴和y轴的交点，就可以快速画出这条直线，而不需要列出很多点。 ‹#› 问题导入——生活中的一次函数 生活实例： 1. 汽车以恒定速度行驶时，路程与时间的关系是一次函数。 2. 居民用水时，水费与用水量的关系通常也是一次函数。 核心思考： 如果我们知道一次函数图像上的两个点，如何求出它的表达式呢？ 1.7.2013 一次函数在我们的生活中有着广泛的应用。比如，一辆汽车以恒定的速度行驶，它行驶的路程就是时间的一次函数；我们每个月的水费，通常也是用水量的一次函数。现在，问题来了，如果我们知道一个一次函数图像上的两个点，比如汽车在某个时间点的位置，或者不同用水量对应的水费，我们如何求出这个一次函数的具体表达式呢？ ‹#› 获取新知——待定系数法（一） 知识点 用待定系数法求一次函数的表达式 观察与思考 在图中，直线PQ上两点的坐标分别为 P(-20, 5)，Q(10, 20)。 怎样确定这条直线所对应的一次函数表达式呢？ 思考提示：一次函数的一般形式为y = kx + b(k≠0)，如果我们能求出k和b的值，就能确定表达式。 1.7.2013 我们来看一个具体的例子。这条直线PQ经过点P(-20, 5)和Q(10, 20)，它对应的是一个一次函数。大家思考一下，我们怎样才能确定这个一次函数的具体表达式呢？ ‹#› 分析：求一次函数表达式的关键是确定k和b的值。一次函数的一般形式是y=kx+b，其中k和b是待定的系数。 要求出这个表达式，关键就是要确定k和b这两个未知数的值。 1.7.2013 我们知道，一次函数的一般形式是y=kx+b，其中k和b是我们需要确定的系数，我们称之为待定系数。所以，要求出这个一次函数的表达式，关键就是要确定k和b这两个未知数的值。 ‹#› 获取新知——待定系数法（三） 1. 设表达式：设一次函数表达式为y = kx + b 2. 代坐标：将已知点坐标代入，得到关于k, b的方程组 3. 解方程组：解方程组求出k, b的值 4. 写表达式：将k, b代入，写出最终表达式 1.7.2013 那么，如何确定k和b的值呢？我们可以这样做：首先，设这个一次函数的表达式为y=kx+b；然后，把已知的两个点P(-20, 5)和Q(10, 20)的坐标代入这个表达式，就可以得到一个关于k和b的二元一次方程组；接下来，我们解这个方程组，就可以求出k和b的值；最后，把求出的k和b的值代入y=kx+b，就得到了这个一次函数的表达式。这种方法就叫做待定系数法。 ‹#› 获取新知——待定系数法（四） 知识要点 定义：先设出函数的表达式，再根据已知条件确定解析式中未知的系数，从而求出函数表达式的方法，叫做待定系数法。 解题思路 设表达式 y = kx + b 代入 代入求解系数 解出 k, b 还原 还原表达式 1.7.2013 我们来总结一下待定系数法。这种方法就是先设出函数的表达式，再根据已知条件确定解析式中未知的系数，从而求出函数表达式。它的解题思路可以用这个流程图来表示：首先选取满足条件的两个点，然后将它们的坐标代入我们所设的表达式y=kx+b，解出k和b的值，最后把k和b的值代回表达式，就得到了我们要求的一次函数表达式。 ‹#› 例题讲解（一）——已知两点求表达式 例1已知一次函数y=kx+b，当x=1时，y=1；当x=2时，y=3.求这个一次函数的表达式． 解：∵当x=1时，y=1；当x=2时，y=3. ∴k+b=1 2k+b=3 解得k=2 b=-1 ∴这个一次函数的表达式为y=2x-1 1.7.2013 接下来，我们通过例题来巩固一下待定系数法。请看这道题：已知一个一次函数，当x=1时，y=1；当x=2时，y=3。我们来求这个一次函数的表达式。首先，设表达式为y=kx+b；然后，把x=1，y=1和x=2，y=3代入，得到方程组：k+b=1和2k+b=3；解这个方程组，我们可以得到k=2，b=-1；最后，把k和b的值代入，得到表达式y=2x-1。 ‹#› 练一练 已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的表达式． 解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b. 3k+b=5， -4k+b=-9， ∴这个一次函数的表达式为 解方程组得 把点（3，5）与（-4，-9）分别代入，得： k=2， b=-1. y=2x-1. 1.7.2013 大家自己动手练一练这道题。已知一次函数的图像经过点（3，5）和（-4，-9），求这个一次函数的表达式。请大家按照待定系数法的步骤来做：设、列、解、写。大家做完了吗？我们一起来看一下解答过程。首先设y=kx+b，代入两点坐标得到方程组，解得k=2，b=-1，所以表达式是y=2x-1。 ‹#› 总结归纳——待定系数法的步骤 待定系数法求一次函数解析式的步骤： （1）设：设一次函数的一般形式y = kx + b (k ≠ 0)； （2）列：把图象上的点(x₁, y₁), (x₂, y₂)代入一次函数的解析式，组成二元一次方程组； （3）解：解二元一次方程组得k, b； （4）还原：把k, b的值代入一次函数的解析式。 1.7.2013 我们来总结一下用待定系数法求一次函数解析式的步骤，一共四步：第一步，设，设出一次函数的一般形式y=kx+b；第二步，列，把已知点的坐标代入，列出关于k和b的二元一次方程组；第三步，解，解这个方程组，求出k和b的值；第四步，还原，把求出的k和b的值代回解析式，写出最终的表达式。大家一定要记住这四个步骤。 ‹#› 例题讲解（三）——实际应用问题 一辆汽车匀速行驶，当行驶了20 km时，油箱剩余58.4 L油；当行驶了50 km时，油箱剩余56 L油。如果油箱中剩余油y(L)与汽车行驶的路程x(km)之间是一次函数关系，请求出这个一次函数的表达式，并写出自变量x的取值范围以及常数项的意义. 解：设所求一次函数的表达式为y = kx + b(k≠0)。 根据题意，将点 (20, 58.4) 和 (50, 56) 代入表达式： 58.4 = 20k + b 56 = 50k + b 解得：k = -0.08, b = 60 所以，一次函数表达式为：y = -0.08x + 60 由剩余油量 y ≥ 0 得：-0.08x + 60 ≥ 0，解得 x ≤ 750。 结合实际意义 x ≥ 0，故自变量 x 的取值范围是：0 ≤ x ≤ 750 常数项 60 的意义：汽车行驶前油箱里有 60 升油。 1.7.2013 学会了待定系数法，我们就可以解决生活中的实际问题了。请看这道题：一辆汽车匀速行驶，行驶不同路程时油箱剩余油量不同，我们需要求出剩余油量y和行驶路程x之间的一次函数表达式。我们可以把题目中的信息转化为两个点的坐标：(20, 58.4)和(50, 56)。然后用待定系数法求出表达式y=-0.08x+60。这里的常数项60表示汽车行驶前油箱里有60升油。 ‹#› 例题讲解（四）——变式练习 某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，函数图象如图所示。 （1）求y关于x的函数表达式； （2）一箱油可供拖拉机工作几小时？ 1.7.2013 我们再来看一道变式练习。这道题给出了函数图象，我们需要从图象中获取信息。首先，我们找到图象上的两个点，比如(2, 30)和(6, 10)。然后用待定系数法求出函数表达式。第二问，一箱油可供拖拉机工作几小时，就是求当y=0时x的值。 ‹#› 例题讲解（五）——变式练习解答 解：（1）根据图象上的点(2, 30)和(6, 10)，设函数表达式为y=kx+b 代入解得：y=-5x+40 （2）令y=0，则-5x+40=0 解得：x=8 答：一箱油可供拖拉机工作8小时。 1.7.2013 我们来看看这道变式练习的解答过程。首先，设函数表达式为y=kx+b，把点(2, 30)和(6, 10)代入，得到方程组，解得k=-5，b=40，所以表达式是y=-5x+40。第二问，当y=0时，-5x+40=0，解得x=8。所以，一箱油可供拖拉机工作8小时。 ‹#› 根据图象确定一次函数表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式。 归纳总结——根据图象确定表达式 1.7.2013 从刚才的变式练习中，我们可以总结出根据图象确定一次函数表达式的方法：关键是从图象上找到两个已知点的坐标，然后就可以运用我们学过的待定系数法来求出函数表达式了。 ‹#› 随堂演练（一）——选择题 1．已知点(4，2)在函数y＝2x＋b的图象上，则b等于() A．6 B．8 C．－6 D．－8 解析：将点(4, 2)代入函数表达式，得 2 = 2×4 + b，解得 b = -6。 C 1.7.2013 学完了例题，我们来做几道练习题巩固一下。请看第一题，这是一道选择题。已知点(4, 2)在函数y=2x+b的图像上，求b的值。我们只需要把x=4，y=2代入表达式，就可以得到2=2×4+b，解得b=-6。所以答案选C。 ‹#› 随堂演练（二）——填空题 如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空： (1) b = ______ , k = ______ ; (2) 当 x = 30 时，y = ______ ; (3) 当 y = 30 时，x = ______ . 1.7.2013 第二题是填空题。我们需要根据图象来填空。首先，b是直线与y轴的交点纵坐标，从图上可以看出b=2。然后，我们再找一个点，比如与x轴的交点，代入表达式求出k。求出表达式后，就可以计算当x=30时y的值，以及当y=30时x的值。 ‹#› 3.已知一次函数的图象经过点(9, 0)和点(24, 20)，写出函数解析式. 解：设一次函数解析式为y＝kx＋b. 代入得：9k+b=0, 24k+b=20解得k=4/3, b=-12 所以一次函数解析式为y＝(4/3)x－12. 1.7.2013 ‹#› 随堂演练（四）——综合应用题 4.一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米,下图是油箱剩余油量y(升)关于加满油后已行驶的路程x(千米)的函数图象. (1)根据图象,直接写出汽车行驶400千米时,油箱内的剩余油量,并计算加满油时油箱的油量. (2)求y关于x的函数表达式,并计算该汽车在剩余油量为5升时已行驶的路程. 1.7.2013 最后一题是综合应用题，稍微复杂一些。题目给出了耗油量和函数图象，我们需要分两步来解决。第一步，根据图象和耗油量计算加满油时的油量。第二步，用待定系数法求出函数表达式，然后计算剩余油量为5升时的行驶路程。大家仔细分析题目中的信息，一步步来解答。 ‹#› 随堂演练（五）——综合应用题解答 解： 1. 由图象可知，行驶400千米时剩余油量为30升。 2. 计算耗油量：0.1 × 400 = 40（升）。 3. 加满油时油量：30 + 40 = 70（升）。 4. 设函数表达式为 y = kx + b，代入点(0,70)和(400,30)， 解得 k = -0.1，b = 70，即 y = -0.1x + 70。 5. 令 y = 5，解得 -0.1x + 70 = 5，x = 650。 答：汽车在剩余油量为5升时已行驶了650千米。 1.7.2013 我们来看看这道综合应用题的解答过程。首先，从图象上可以看出，汽车行驶400千米时，剩余油量是30升。已知耗油量是0.1升/千米，所以消耗的油量是0.1×400=40升，因此加满油时油箱的油量是30+40=70升。然后，我们用点(0,70)和(400,30)来求函数表达式，得到y=-0.1x+70。最后，当y=5时，解得x=650千米。所以，汽车在剩余油量为5升时已行驶了650千米。 ‹#› 课堂小结 待定系数法核心回顾 定义：先设后求，确定未知系数。 应用场景： 已知两点求表达式 根据图象求表达式 解决实际问题 1. 设：设函数的一般形式（如 y=kx+b） 2. 列：根据已知条件列出关于系数的方程(组) 3. 解：解方程，求出未知系数的值 4. 写：把求出的系数代回，写出解析式 1.7.2013 好了，今天的课就接近尾声了。我们来一起回顾一下本节课的主要内容。我们学习了待定系数法，它是求函数表达式的一种重要方法。它的步骤是设、列、解、写。我们还学习了如何运用待定系数法解决已知两点求表达式、根据图象求表达式以及生活中的实际问题。希望大家能够熟练掌握这种方法。 ‹#› 拓展延伸 拓展延伸——一次函数的应用 经济领域：成本、利润与产量的关系。企业的生产成本与利润往往随产量线性变化。 物理领域：匀速直线运动中，路程是时间的一次函数；电学中，电压是电流的一次函数。 总结：一次函数广泛存在于科学研究与生产生活中，善于发现并利用它能解决实际问题。 1.7.2013 一次函数的应用非常广泛，除了我们今天提到的，在经济领域，企业的生产成本、利润往往是产量的一次函数；在物理领域，物体做匀速直线运动时，路程是时间的一次函数；在电学中，电压也是电流的一次函数。希望大家在今后的学习和生活中，能够发现更多一次函数的应用。 ‹#› 谢谢观看 1.7.2013 今天的课就上到这里，感谢同学们的积极参与。待定系数法是一个非常重要的数学工具，希望大家能够熟练掌握并灵活运用。下课！ ‹#› $