第3讲 二项展开式专题讲义-2026届高三数学二轮复习

第3讲 二项展开式专题复习 知识点梳理 1.二项式定理:一般地，对于任意正整数，都有： ， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理. 2.二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数.字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，，次数和均为； ④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系数）. 3二项展开式的通项公式： 二项展开式的通项：. 公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； ③与的次数之和为. 4二项式系数的性质 ①每一行两端都是1，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 ②对称性：每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即. ③二项式系数和：令，则二项式系数的和为， 变形形式. ④最大值：如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等且最大；如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大． 典型例题 例1.在二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的x6的 系数是（　　） A．60 B．160 C．180 D．240 【解答】解：由已知可得2n＝64，解得n＝6，则二项式的展开式的通项公式为C，令18﹣4r＝6，解得r＝3，所以展开式中含x6的系数为C160，故选：B． 例2.展开式中x2的系数为　 　． 【解答】解：展开式的通项公式为， 令18﹣4r＝2，解得r＝4，所以含x2的项的系数为． 故答案为：135． 例3.二项式展开式中的系数为（ ） A.120 B.135 C.140 D.100 【解答】解：的展开式通项公式为， 其中，，， 故二项式中的四次方项为， 即展开式中的系数为135.故选：B 例4.展开式中含项的系数为 . 【解答】解：， 设该二项式的通项公式为， 因为的次数为3，所以令，二项式的通项公式为， 令，所以项的系数为，故答案为：-60. 例5.已知，则 . 【解答】解：解：， 令得，， 令得，， .故答案为：0. 例6.若，则 . 【解答】解：令可得，则， 所以，，所以，为展开式中的系数， 的展开式通项为， 所以，. 故答案为：-448. 随堂演练 1.（1﹣2x）5（1+3x）展开式中按x的升幂排列的第三项是　10x2　． 【解答】解：（1﹣2x）5（1+3x）展开式中按x的升幂排列的第三项，即含x2的系数， 即 T3•（﹣2）2+3••（﹣2）＝40﹣30＝10. 故答案为：10． 2.（2x﹣y）5的展开式中，含x3y2项的系数为　80　．（用数字作答）． 【解答】解：二项式（2x﹣y）5的展开式的通项为Tr+1＝25﹣r（﹣1）rC5rx5﹣ryr， 令r＝2，可得含x3y2的项的系数是23C52＝80 故答案为：80． 3.的展开式中常数项为 　60　 ． 【解答】解：根据二项式的展开式Tr+1x， 令0，则r＝4，可得常数项为60． 故答案为：60． 4.（2﹣x3）（x+a）5的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中x3的系数为 　48　． 【解答】解：令x＝1可得（2﹣13）（1+a）5＝243，解得a＝2， （x+a）5的展开式中通项，r＝0，1，⋯，5， ∵展开式中的常数项和含x3的项，∴分别令5﹣r＝0，5﹣r＝3，得r＝5，r＝2， ∴（x+a）5展开式中的常数项和含x3的项分别为，∴（2﹣x3）（x+a）5展开式中x3的系数为2×40﹣32＝48． 故答案为：48． 5.的展开式中常数项为 .（用数字作答） 【解答】解：由已知得：的展开式为：，； 而原式可化为：， 所以原式的常数项为：.故答案为：. 6.在的展开式中，的系数是 . 【解答】解：的展开式的通项公式为， 令，解得，所以的系数是．故答案为：． 7.已知多项式，则 ； . 【解答】解：即为展开式中的系数，所以； 令，则有， 所以．故答案为：；． 8.若，则 . 【解答】解：， 则．故答案为：-． 9.在的展开式中，的系数为，则 . 【解答】解：展开式的通项公式为， 令，解得，则的系数为，解得，故答案为：． 10.已知，则. 【解答】解：其展开式的通项为 令得故答案为：180. 11.的展开式中，项的系数为. 【解答】解：因为 , 所以含有项的为. 所以的展开式中，含项的系数为210.故答案为：210. 12.的展开式中常数项为. 【解答】解：中的常数项为.故答案为：88 13.的展开式中，的系数为. 【解答】解：表示5个因式的乘积， 在这5个因式中，有2个因式选，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选，即可得到含的项，故含的项系数是故答案为：30. 14.展开式中二项式系数最大的项是（ ） A. B. C.和 D.和 【解答】解：展开式的通项公式为， 因为展开式共有8项，所以第4项和第5项的二项式系数最大， 所以展开式中二项式系数最大的项为和， 即为和．故选：C. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 二项展开式专题复习 知识点梳理 1.二项式定理:一般地，对于任意正整数，都有： ， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理. 2.二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数.字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，，次数和均为； ④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系数）. 3二项展开式的通项公式： 二项展开式的通项：. 公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； ③与的次数之和为. 4二项式系数的性质 ①每一行两端都是1，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 ②对称性：每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即. ③二项式系数和：令，则二项式系数的和为， 变形形式. ④最大值：如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等且最大；如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大． 典型例题 例1.在二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的x6的 系数是（　　） A．60 B．160 C．180 D．240 例2.展开式中x2的系数为　 　． 例3.二项式展开式中的系数为（ ） A.120 B.135 C.140 D.100 例4.展开式中含项的系数为 . 例5.已知，则 . 例6.若，则 . 随堂演练 1.（1﹣2x）5（1+3x）展开式中按x的升幂排列的第三项是　 　． 2.（2x﹣y）5的展开式中，含x3y2项的系数为　 　．（用数字作答）． 3.的展开式中常数项为　 　． 4.（2﹣x3）（x+a）5的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中x3的系数为　 　． 5.的展开式中常数项为 .（用数字作答） 6.在的展开式中，的系数是 . 7.已知多项式，则 ； . 8.若，则 . 9.在的展开式中，的系数为，则 . 10.已知，则. 11.的展开式中，项的系数为. 12.的展开式中常数项为. 13.的展开式中，的系数为. 14.展开式中二项式系数最大的项是（ ） A. B. C.和 D.和 1 学科网（北京）股份有限公司 $