专题五第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系 讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦解析几何核心专题，涵盖直线与圆锥曲线位置关系、中点弦、弦长面积及切线问题等高考高频考点，按“考点梳理-方法提炼-真题演练”逻辑架构知识点，通过各地模拟题训练帮助学生构建解题框架，突破综合应用难点。 资料以真题为载体，融入数学思维与运算能力培养，如中点弦问题用点差法引导逻辑推理，切线问题结合导数强化数学运算，设置分层跟踪练习适配不同学生需求。这一设计能高效提升学生解题技能，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题五 解析几何 第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系 一、考点透析 考点1 直线与圆锥曲线位置关系 1.(2025·江西省九江市·模拟)已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，在准线上的投影分别为，线段分别交轴于点若，则(    ) A. B. C. D. 2.(2025·安徽省蚌埠市·模拟)已知双曲线的一条渐近线方程为，点，分别是的左、右焦点，点，分别是的左、右顶点，过点的直线与相交于，点，其中点在第一象限内，记直线的斜率为，直线的斜率为，则(    ) A. 双曲线的焦距为 B. C. D. 考点1 中点弦问题 1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P，Q在双曲线上，且点M(－2，1)为线段PQ的中点，PQ∥BF，双曲线的离心率为e，则e2等于(　　) A． B． C． D． 2.(2025·重庆市·模拟)在平面直角坐标系中，点是椭圆的左焦点，点分别是的左、右顶点，直线与椭圆相交于两点，则(    ) A. 若直线经过点，则的最小值为 B. 若线段的中点坐标为，则直线的斜率为 C. 若直线经过坐标原点，则 D. 若点在椭圆上点与不重合，且，则 考点2 弦长、面积问题 1.(2025·天津市·模拟)抛物线的焦点恰好是圆的圆心，过点且倾斜角为的直线与交于不同的，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为          ． 2.(2025·河南省开封市·模拟)已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，与平行的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点． 当直线不垂直于轴时，证明：直线轴； 若，求； 若，求．  考点3 切线问题 1.(2025·山西省·模拟)已知过点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 2.(2025·河南省焦作市·模拟)若过点的直线与抛物线交于，两点，以，为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为          ． 二、跟踪练习 1.(2025·山西省晋城市·模拟)已知直线不同时为，，，抛物线的焦点为，则(    ) A. 直线与恒有两个交点 B. 直线被截得的最短弦长为 C. 与抛物线交于两点，则 D. 当时，直线与抛物线交于两点，则 2.(2025·河北省保定市·模拟)已知点，，，是坐标平面上的两个动点，设满足的点的轨迹为曲线，满足的点的轨迹为曲线，则(    ) A. 均关于轴对称 B. 面积的最大值为 C. 当时，点的纵坐标的最大值大于 D. 当，有公共点时， 3.(2025·广东省惠州市·模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线的焦点为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则下列结论中正确的是(    ) A. 点关于轴的对称点在直线上 B. 若，平分，则 C. 若，则抛物线上不存在点，使得 D. 存在点使得点是的垂心 4.(2025·山西省吕梁市·模拟)已知椭圆的两个顶点分别是，，离心率为，直线与该椭圆交于点，，直线，，的斜率分别为，，，则的值为          ；若，则          ． 5.(2025·山东省泰安市·联考)已知双曲线，左右顶点分别为，过的直线交双曲线于两点． 若在第一象限，是等腰三角形，求的坐标； 连接并延长交双曲线于，若，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题五 解析几何 第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系 一、考点透析 考点1 直线与圆锥曲线位置关系 1.(2025·江西省九江市·模拟)已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，在准线上的投影分别为，线段分别交轴于点若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：抛物线的焦点，准线，令与轴的交点分别为， 由，，得是线段的中点，同理是线段的中点， 则，直线：，设， 由，消去得，则， 因此， 所以． 故选：． 2.(2025·安徽省蚌埠市·模拟)已知双曲线的一条渐近线方程为，点，分别是的左、右焦点，点，分别是的左、右顶点，过点的直线与相交于，点，其中点在第一象限内，记直线的斜率为，直线的斜率为，则(    ) A. 双曲线的焦距为 B. C. D. 【答案】ABD  【解析】解：因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以，解得， 所以，所以双曲线的焦距为，A正确； 易知，所以，所以，B正确； 双曲线的方程为，时，，此时，C错误； 设，，D正确． 故选：． 考点1 中点弦问题 1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P，Q在双曲线上，且点M(－2，1)为线段PQ的中点，PQ∥BF，双曲线的离心率为e，则e2等于(　　) A． B． C． D． 【答案】A. 【解析】法一：由题意知F(c，0)，B(0，b)，则kPQ＝kBF＝－. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则两式相减，得＝. 因为线段PQ的中点为M(－2，1)，所以x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2， 又kPQ＝＝－，所以－＝－，整理得a2＝2bc， 所以a4＝4b2c2＝4c2(c2－a2)，即4e4－4e2－1＝0，得e2＝或e2＝(舍去). 法二：由题意知F(c，0)，B(0，b)，则kBF＝－. 设直线PQ的方程为y－1＝k(x＋2)，即y＝kx＋2k＋1， 代入双曲线方程，得(b2－a2k2)x2－2a2k(2k＋1)x－a2(2k＋1)2－a2b2＝0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，所以＝－4， 又k＝kBF＝－，所以2a2·＝－4b2＋4a2，整理得a2＝2bc， 所以c2－b2－2bc＝0，即－－1＝0，得＝＋1或＝1－(舍去)， 则e2＝＝＝＝＝. 2.(2025·重庆市·模拟)在平面直角坐标系中，点是椭圆的左焦点，点分别是的左、右顶点，直线与椭圆相交于两点，则(    ) A. 若直线经过点，则的最小值为 B. 若线段的中点坐标为，则直线的斜率为 C. 若直线经过坐标原点，则 D. 若点在椭圆上点与不重合，且，则 【答案】ACD  【解析】解：对于， 过左焦点的弦长最小值为通径长， 此时， 代入椭圆方程得，解得，，故A正确； 对于，设点，点在椭圆上， 则，， 两式相减得， 的中点坐标为，， ，故B错误； 对于， 由题可得：直线经过坐标原点，椭圆，，， 由椭圆对称性，所以， ， 当且仅当取得等号，，故C正确； 对于， 设，根据对称性不妨取点在第一象限， 由题可得：点， 则，， ， ， 即，整理得， 又， 代入得，解得， ，， ， 故D正确． 故选：． 考点2 弦长、面积问题 1.(2025·天津市·模拟)抛物线的焦点恰好是圆的圆心，过点且倾斜角为的直线与交于不同的，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为          ． 【答案】  【解析】解：由题意知，焦点，则抛物线， 直线，设，， 联立消去并整理得，则， 所以， 所以， 则以线段为直径的圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为． 故答案为：． 2.(2025·河南省开封市·模拟)已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，与平行的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点． 当直线不垂直于轴时，证明：直线轴； 若，求； 若，求． 【答案】见解析 【解析】解：抛物线的焦点为，直线不垂直于，设其方程为， 直线方程为，， 由，消去得，则，， 则点， 由，消去得，则，， 则点， 由直线不垂直于轴，得， 所以直线轴 由可得，，， 由，得，即，而，解得， ， 所以． 令与分别交于点，设， 由，得，，即， 则，故点与重合，由，得， 则，即，而， 即，由已得， 故可得：， 又，则， 于是，而，解得， 所以．  考点3 切线问题 1.(2025·山西省·模拟)已知过点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：如图，设，， 由，得不妨设，则， 所以抛物线在点的切线斜率为， 得抛物线在点的切线方程为，即， 同理可得抛物线在点处的切线方程为， 则，解得，即， 又因为直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 将点代入直线的方程得：， 设点坐标为，则式可整理为：，即， 所以点的轨迹为一条直线， 所以线段的最小值为点到直线的距离， 即为． 故选：． 2.(2025·河南省焦作市·模拟)若过点的直线与抛物线交于，两点，以，为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为          ． 【答案】  【解析】解：由题意知直线不与轴垂直， 设的方程为，代入中，整理得， 设，，则，， 设过点的抛物线的切线方程为， 代入中，整理得， 则，即， 故过点的抛物线的切线方程为，即， 同理可得过点的抛物线的切线方程为， 联立解得，消去，得， 所以两条切线交点的轨迹方程为． 故答案为：． 二、跟踪练习 1.(2025·山西省晋城市·模拟)已知直线不同时为，，，抛物线的焦点为，则(    ) A. 直线与恒有两个交点 B. 直线被截得的最短弦长为 C. 与抛物线交于两点，则 D. 当时，直线与抛物线交于两点，则 【答案】AB  【解析】解：对于，由直线，知直线恒过定点． 又点在内，所以直线与恒有两个交点，A正确； 对于，易知当时，直线被截得的弦最短， 此时，最短弦长为，B正确； 对于，联立，得，解得， 如下图所示：    结合图形知，代入得，， 所以，C错误； 对于，易知直线经过抛物线的焦点， 设，，联立，整理得， 则由抛物线的定义知，， 所以，D错误． 故选：． 2.(2025·河北省保定市·模拟)已知点，，，是坐标平面上的两个动点，设满足的点的轨迹为曲线，满足的点的轨迹为曲线，则(    ) A. 均关于轴对称 B. 面积的最大值为 C. 当时，点的纵坐标的最大值大于 D. 当，有公共点时， 【答案】ACD  【解析】解：设，由，得， 将代入得 ， 所以关于轴对称； 由，知为椭圆，易得其方程为， 所以关于轴对称，故A正确； 当为的上、下顶点时，的面积最大， 故，故B错误； 当时，， 令，得，解得，即， 故当时，点的纵坐标的最大值大于，故C正确； 由椭圆的方程，得， 代入， 得，所以， 因为，所以，解得或舍去，故D正确． 故选：． 3.(2025·广东省惠州市·模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线的焦点为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则下列结论中正确的是(    ) A. 点关于轴的对称点在直线上 B. 若，平分，则 C. 若，则抛物线上不存在点，使得 D. 存在点使得点是的垂心 【答案】BCD  【解析】解：对于，当时，，的不关于轴对称，故A错误； 对于，根据对称性，不妨设点在第一象限， 当时，则点坐标为，则轴， 所以，的方程分别为和，关于轴对称， 此时，， 又平分时， 所以为等腰直角三角形，故， 由，得，故B正确； 对于，由，得到，， 若存在点，使得， 则； 而，， 所以，即，即，显然不符合题意， 故抛物线上不存在点，使得，故C正确； 对于，设，则，， 则直线，与抛物线方程联立， 得， 则，所以， 则，即， 若存在点使得点是的垂心，则，， ，， 则， ，， 则，， 且，， 联立，得， 联立，得，， 得成立，故存在点使得点是的垂心，故D正确． 故选：． 4.(2025·山西省吕梁市·模拟)已知椭圆的两个顶点分别是，，离心率为，直线与该椭圆交于点，，直线，，的斜率分别为，，，则的值为          ；若，则          ． 【答案】；． 【解析】解：由题意可知，，则，， 故椭圆方程为， 设，则， 则， 联立得，， 则，， 则 ， 则， 因，，则， 则，得． 5.(2025·山东省泰安市·联考)已知双曲线，左右顶点分别为，过的直线交双曲线于两点． 若在第一象限，是等腰三角形，求的坐标； 连接并延长交双曲线于，若，求的取值范围． 【答案】解：当时，双曲线，其中， 因为为等腰三角形，点在第一象限， 所以由双曲线性质可知，为三角形的底边，， 所以点在以为圆心、为半径的圆上， 设，其中， 则有，解得，即． 由题意的斜率不为，设直线， 设点，则 联立得 由已知二次项系数，且， 即 所以， 则 即． 代入得， 即， 化简得，即，所以 因为，代入，得， 所以所以 综上，．   学科网（北京）股份有限公司 $