8.2特殊四边形 特殊四边形的中点问题专练2025-2026学年苏科版数学八年级下册

2026年苏科版数学八年级下册特殊四边形的中点问题专练 （满分：100分 时间：90分钟） 一、选择题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(2025·镇江丹徒期末)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边CD,BC上的动点(点E,F不与菱形的顶点重合),连接AE,EF,G,H分别为AE,EF的中点,连接GH.若∠BAD=150°,GH 的最小值是 ，则菱形的边长是 ( ) A. C. 6 D. 3 2.(2025·宿迁泗洪期末)如图,正方形ABCD 的边AB 上有一动点E,以EC为边作矩形ECFG 且边FG 过点D.点 E 从点A 移动到点B 的过程中,矩形CEGF 的面积 ( ) A.保持不变 B.一直变小 C.先变小后变大 D.先变大后变小 3.如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,AB=2,BC=3.记AO的长为x ,BO的长为y.当x ,y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是 ( ) A. x+y B. x-y C. xy 4.(2025·大庆)如图,在矩形ABCD中,AB=20cm.动点P 从点A 开始沿边AB 以1cm/s的速度向点B 运动，动点 H 从点B 开始沿边BA 以2cm/s的速度向点A 运动，动点Q 从点C 开始沿边CD以4cm/s的速度向点 D 运动.三点同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动.设动点的运动时间为 ts.当QP=QH 时，t的值为 ( ) B. 4 D. C. A. 5.如图，P，Q分别是菱形ABCD 的边DC，AB上的动点.若线段 PQ长的最大值为 ，最小值为4，则菱形ABCD 的边长为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 6.(2025·南京建邺期末)如图,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,动点 P 在对角线AC上,过点 P 作AC 的垂线,分别交AD,BC 于点E,F,则EF= . 7.(2025·长沙期末)如图,在□ABCD 中,∠A=90°,AD=10,AB=8,点 P 在边AD 上,且BP=BC,点M 在线段BP上,点N在BC的延长线上,且PM=CN,连接MN 交CP 于点F,过点M作ME⊥CP 于点E,则EF= . 8. (2025·南京建邺期末)如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=5,,点 E 在BC 边上,且BE=2,F 为AB 边上的一个动点，连接EF，以 EF 为边作等边三角形EFG，且点G 在矩形ABCD 内，连接CG，则CG 长的最小值为 . 9.(2025·内江)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,E,F分别是边AD,CD上的动点,连接BE,EF,G为BE 的中点,H 为EF 的中点,连接GH,则GH 长的最大值是 . 10. (2025·扬州期末)如图,在矩形ABCD 中,AB=2,AD=3,E 是边AD 上的动点,点 F 在边CD上,且CF=DE,连接AF,CE,则AF+CE 的最小值为 . 三、解答题(本大题共3小题，共50分) 11.(15分)(2025·连云港海州期末)如图,在菱形ABCD中,AC=6,BD=4,将边AD沿对角线AC的方向平移，得到线段 EF，连接CF，BF. (1)求证：四边形 BEFC 是平行四边形. (2)在平移过程中，四边形 BEFC 能否是矩形?如果能，请求出平移的距离；如果不能，请说明理由. (3)在平移过程中,BE+BF 的最小值为 . 12.(15分)(2025·苏州段考)如图,O为坐标原点,四边形OABC 为矩形.已知A(10,0),C(0,3),D是OA 的中点，动点 P 在线段BC 上以每秒2个单位长度的速度由点C 向点B 运动.设动点 P 的运动时间为t秒. (1) 当 秒时，四边形 PODB 是平行四边形. (2)在线段BC上是否存在一点Q，使得以O，D，Q，P为顶点的四边形是菱形?若存在，求出t的值，并求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. (3)若在线段 PB 上有一点M,且 PM=5,求四边形OAMP 周长的最小值. 13.(20分)新考法探究题在矩形ABCD中,AB=9,BC=6.在AD上取一点E,AE=2,F 是AB边上的一个动点，以EF 为一边作菱形EFMN，使点 N 落在CD 边上，点M 落在矩形ABCD 内或其边上.若AF=x,△BFM 的面积为S. (1)如图①,当四边形 EFMN 是正方形时,求x 的值. (2)如图②，当四边形 EFMN 是菱形时，求 S 关于x 的函数表达式. (3)当x= 时,△BFM 的面积S 最大;当x= 时,△BFM 的面积S 最小. (4)在△BFM 的面积S 由最大变为最小的过程中，请直接写出点M 运动的路线长. 2026年苏科版数学八年级下册特殊四边形的中点问题专练 答案 一、1. C 解析:连接AF.∵G,H 分别为AE,EF 的中点,∴AF=2GH.∴当AF⊥BC 时,GH 有最小值,此时AF=2GH = 3. ∵ 四边形 ABCD 是 菱 形,∠BAD = 150°,∴∠B=30°.∴AB=2AF=6. 2. A 解析:连接 DE. AI= S矩形CEGF= 正方形ABCD·∴ 矩形 CEGF 与正方形ABCD的面积相等.∴矩形CEGF 的面积保持不变. 3. D 解析:如图,过点 A 作AE⊥BC 于点 E,过点 D 作DH⊥BC,交BC 的延长线于点H.∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB=DC,AD∥BC.∵ AE⊥BC,DH⊥BC,∴AE=DH.∴ Rt△DCH≌Rt△ABE.∴ CH=BE.设CH=BE=a,DH=AE=b.∵AB=2,∴a²+b²=2²=4. . =b² 6. 即 的值是定值. 4. D 解析:如图,过点 Q 作( 于点E.∵四边形ABCD 是矩形,∴ 易得四边形BCQE 是矩形.∴CQ=BE.由题意,得AP=t cm,BH=2t cm,CQ=4t cm.∴ PH=20-AP-BH=(20-3t) cm.∵ QP=QH,QE⊥AB, 解得 5. D 解析:由题意,得AB=BC=CD=AD,AB∥CD,AD∥BC.如图,连接AC,过点C 作CE⊥AB,交 AB 的延长线于点E.当点A，Q重合，点 P，C重合时，PQ的长有最大值，最大值为 ;当PQ⊥AB 时,PQ 的长有最小值,最小值为 PQ=CE=4.在 Rt△ACE 中,由勾股定理,得 设 AB =BC=x,则BE=AE-AB=4 -x.在 Rt△BCE 中,由勾股定理，得 解得 即菱形ABCD 的边长为3 二、6. 解析:如图,过点 B 作BH⊥AC 于点L,交AD于点H,则∠ALB=∠ALH=90°.∵四边形ABCD 是矩形,AB=3,AD=4,∴CB∥AD,CB=AD=4,∠ABC=∠BAD= ∴BH∥EF.∵ BF∥EH,∴ 四边形BFEH 是平行四边形. 7. 2 解析:如图,过点 M 作MH∥BC 交CP 于点H,则∠MHP =∠BCP,∠NCF = ∠MHF, ∵ BP = BC,∴∠BCP=∠BPC.∴∠BPC=∠MHP.∴ PM=MH. ∵PM=CN,∴CN=MH.∵ME⊥CP,∴ PE=EH.在△NCF 和△MHF 中, △MHF.∴CF=HF.∴EF=EH+FH= CP.∵在矩形ABCD中,AD=10,∴ BC=AD=10.∴ BP=BC=10.在Rt△ABP 中, AD-AP=10-6=4.在 Rt△CPD 中, 8. 解析：如图，以EC为边作等边三角形ECH，过点H作 HN⊥BC 于点 N,HM⊥AB 于点 M,连接 FH. ∴∠HNB =∠HMB =90°.∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴∠ABC=90°.∴ 四边形MBNH 是矩形.∴ MH=BN. ∵BE=2,BC=5,∴ EC=3.∵△ECH 是等边三角形, 是等边三角形，∴ FE= GE,∠FEG = 60°. ∴∠FEG =∠HEC. ∴ ∠FEG +∠GEH=∠HEC+∠GEH,即∠FEH=∠GEC.在△FEH 和△GEC 中, ∴FH=GC.∴ 当FH⊥AB 时,FH 的长有最小值,此时CG 的长也取得最小值，且点 F 与点M 重合，即此时FH= .∴CG长的最小值为 9.5 解析:连接BD,BF.∵ AB=8,AD=6,∴ BD= ∵G 为BE 的中点,H 为EF 的中点, ∴ 当 BF 的长取得最大值时，GH 的长也取得最大值.∵ F 是边CD上的动点，∴当点 F 与点 D 重合时，BF 的长有最大值为10.∴GH 长的最大值为5. 解析:如图,在CB上 取点H ,使得CH=CD, 连接HF,过点 H 作 HG⊥AD 于点G,作点 A 关于CD 的对 称点A',连接A'F.∵ 四边形ABCD 为矩形,AB=2,AD=3,∴∠ADC=∠DCB=90°,CD=AB=2.∵CF=DE,∴△HCF≌△CDE.∴ HF=CE.∵ 点A 与点A'关于CD对称,∴AF=AF',A'D=AD=3.∴ AF+CE=A'F+HF.∴当A',F,H 三点共线时,A'F+HF 取最小值,即AF+CE 取最小值.∵ 此时∠HCD=∠CDG=∠HGD=90°,∴ 四边形 HGDC 为矩形.∴GD=CH=CD=2,GH= 的最小值为 即 AF+CE 的最小值为 三、11. (1) ∵ 四边形ABCD 为菱形,∴ AD=BC,AD∥BC.由题意,得AD∥EF,AD=EF.∴ BC∥EF,BC=EF.∴ 四边形 BEFC 是平行四边形 (2)能 如图①,连接DF.由(1)得,AD∥EF,AD=EF.∴ 四边形ADFE 是平行四边形.∴ DF=AE,DF∥AE.∵ 四边形ABCD 为菱形,∴AC⊥BD.∴ DF⊥BD.设AE=x,则DF=x,CE=6-x.在 Rt△BDF 中, 当四边形BEFC 是矩形时,CE=BF,∴ CE²=BF².∴(6-x)²= 解得 即平移的距离为 解析：由(1)可知，四边形B EFC是 平行四边形.∴ BE=CF.由(2)知,DF∥AE.∴ 点 F 在直线DF(与AC平行)上运动.如图②，作点 B 关于直线DF 的对称点B'，连接B'F,B'C.∴ BF=B'F.∴ BE+BF=CF+BF=CF+ 当且仅当B'，F，C三点共线时，(CF+B'F=B'C.记AC 与 BD 相交于点O,则 OD=OB=2,OC=3. .在 Rt△OB'C 中, 即 BE+BF 的最小值为3 12. (1)2.5 (2) 存在 分两种情况讨论:① 如图①,当点Q在点 P 的右边时,∵ 四边形ODQP 是菱形,∴ OP =PQ=OD =5.在 Rt△OPC 中,由勾股定理,得 PC = 解得t=2.∵ CQ= CP+PQ=4+5=9,∴ Q(9,3).②如图②,当点 Q 在点 P的左边时,∵ 四边形ODPQ是菱形,∴OQ=PQ=OD=5.在 Rt△OCQ 中,由勾股定理,得 ²-3²=4.∴CP=CQ+PQ=4+5=9.∴2t=9,解得t=4.5.∵CQ=4,∴ Q(4,3).综上所述,t=2时,Q(9,3);t=4.5时,Q(4,3) (3)如图③,作点 A 关于BC 的对称点E,连接DE,交 PB 于点 M.∴ AM=EM.由题意,得OD=5.∵PM=5,∴OD=PM.∵ 四边形OABC 为矩形,∴CB∥OA,即OD∥PM.∴ 四边形OPMD 是平行四边形.∴OP=DM.∵四边形OAMP 的周长=OA+AM+PM+OP=10+AM+5+DM=15+AM+DM,∴AM+DM的值最小时,四边形OAMP 的周长最小.∵AM+DM=EM+DM,∴ 当 D,M，E 三点在同一条直线上时，EM+DM 的值最小，即AM+DM的值最小.∵ AE=AB+BE=3+3=6,∴DE= 即AM+DM 的最小值为 .∴ 四边形OAMP 周长的最小值为 13. (1)∵ 四边形EFMN 是正方形,四边形ABCD 是矩形,∴AD=BC=6,EF=EN,∠FEN=∠A=∠D=90°.∴∠AEF +∠AFE = 90°,∠AEF + ∠DEN = 90°.∴∠AFE=∠DEN.∴ △AEF≌△DNE.∴ AF=DE.∵AD=6,AE=2,∴ DE=4.∴x=AF=4 (2)如图①,连接 FN,过点 M 作MQ⊥FB 于点 Q.∴ ∠MQF =90°.∴∠MQF=∠A.∵四边形EFMN 是菱形,∴ EN=FM,EN∥FM.∴∠ENF=∠NFM.∵四边形ABCD 是矩形,∴DC∥AB.∴∠DNF=∠NFQ.∴∠DNF-∠ENF=∠NFQ-∠NFM,即∠DNE =∠MFQ. ∴ △DNE ≌△QFM.∴MQ=DE=4.∵ AB=9,AF=x,∴ S△BFM= ∴ S关于x的函数表达式为S=18-2x 解析：①如图②，当点 N 与点 D 重合时，x的值最小,△BFM 的 面积 S 最 大. 在 Rt△AEF 中,x = ②如图③,当点M 在 BC 上时,x的值最大,△BFM的面积S最小，此时易证(CN=AF=x.∵EN=EF, 解得 学科网（北京）股份有限公司 $