第13章 培优课 几何法求空间角(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本高中数学讲义聚焦空间角计算核心知识点，系统梳理异面直线所成角（直接平移、中位线等方法）、直线与平面所成角（射影法）、二面角（定义法、垂面法等）的求法，构建从基础原理到解题应用的学习支架。 资料以“例题-通性通法-跟踪训练”为框架，通过正六棱柱、正方体等实例，引导学生用数学眼光观察空间形式，培养数学思维中的推理能力与逻辑联系。课中辅助教师清晰授课，课后助力学生通过练习巩固方法，查漏补缺，提升空间观念与解题能力。

培优课　几何法求空间角 【例1】　B　连接FE1，FD，则FE1∥BC1，故∠FE1D为E1D与BC1所成的角或其补角.在△EFD中，EF＝ED＝1，∠FED＝120°，∴FD2＝EF2＋ED2－2EF·ED·cos 120°＝3，∴FD＝，在△EFE1和△EE1D中，得E1F＝E1D＝＝，∴△FE1D是等边三角形，∠FE1D＝60°.故选B. 跟踪训练 　45°　解析：如图，连接AC，BD交于点O，连接OM，则∠OMB为异面直线PA与BM所成的角.由O，M分别为AC，PC中点，得OM＝PA＝1.在Rt△AOB中，易得OB＝AB·sin 45°＝1.又BM＝，即OB2＋OM2＝BM2，所以△OMB为等腰直角三角形，∠OMB＝45°. 【例2】　A　取A1C1，AC的中点E，F，连接B1E，BF，EF，如图所示.由正三棱柱性质易知B1E⊥平面AA1C1C，过D作DH∥B1E，则DH⊥平面AA1C1C，则∠DAH即为AD与平面AA1C1C所成的角，易得DH＝B1E＝，DA＝，所以sin∠DAH＝＝，故选A. 跟踪训练 　C　连接FB，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥平面ABB1A1，棱BC的中点为E，则BE⊥平面ABB1A1，而BF⊂平面ABB1A1，故BE⊥BF，则∠EFB即为直线EF与平面ABB1A1所成角，设正方体棱长为2，则BE＝1，BF＝＝＝，则EF＝＝，故sin∠EFB＝＝＝，故选C. 【例3】　解：在平面BCEF中，过点E作BC的平行线与BF的延长线交于点G，连接AG，如图，则EG∥BC. 因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以EG∥AD.则平面ADEG与平面BCEG所成的角即是我们要求的二面角，EG即为该二面角的棱. 由BC⊥CD，BC⊥CE可知，BC⊥平面CDE. 又EG∥BC，所以EG⊥平面CDE. 因为在平面BCEG中有CE⊥EG，在平面ADEG中，有DE⊥EG， 所以∠DEC即为平面ADE与平面BCEF所成二面角的平面角. 因为DC＝CE，所以△DCE是等腰直角三角形， 所以∠DEC＝45°， 即平面ADE与平面BCEF所成二面角的大小为45°. 【例4】　解：（1）证明：∵N，F均为所在棱的中点，∴NF⊥平面A1B1C1D1.而MN⊂平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN. 又∵M，E均为所在棱的中点，∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形，∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°， ∴MN⊥NE.又NF∩NE＝N，NF，NE⊂平面NEF，∴MN⊥平面NEF. 而MN⊂平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF. （2）在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连接MG.如图所示. 由（1）得MN⊥平面NEF， 又EF⊂平面NEF， ∴MN⊥EF. 又MN∩NG＝N，MN，NG⊂平面MNG，∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG. ∴∠MGN为二面角M-EF-N的平面角. 设该正方体的棱长为2， 在Rt△NEF中，NG＝＝＝，∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝＝＝. ∴二面角M-EF-N的平面角的正切值为. 【例5】　解：如图，过A作AF⊥BD，F为垂足， 作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE， ∴由三垂线定理知BD⊥EF， ∴∠AFE为二面角α-BD-β的平面角. 依题意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，设AC＝2，∴AF＝CF＝，AE＝1， ∴sin∠AFE＝＝＝， ∴∠AFE＝45°. ∴二面角α-BD-β的大小为45°. 【例6】　解：如图，∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥AD， 又AD⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴AD⊥平面PAB， 同理BC⊥平面PAB. ∴△PCD在平面PBA上的射影为△PAB， 设平面PBA与平面PCD所成的二面角为θ， ∴cos θ＝＝＝， ∴θ＝45°. 故平面PBA与平面PCD所成的二面角的大小为45°. 跟踪训练 1.D　由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，设棱长为a，BC的中点为E，连接A1E，AE（图略），可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA，在Rt△A1AE中，AE＝a，所以tan∠A1EA＝＝＝，即二面角A1-BC-A的平面角的正切值为. 2.　解析：因为PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.过点B作BD⊥AC于点D，过点D作DE⊥PC于点E，连接BE.因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BD⊂平面ABC，所以BD⊥平面PAC.因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.因为DE⊥PC，BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以PC⊥平面BDE.因为BE⊂平面BDE，所以PC⊥BE，所以二面角A-PC-B的平面角为∠BED.因为AB⊥BC，且PA＝AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABC，所以PB＝，AC＝，PC＝2，PB⊥BC.又因为BE⊥PC，所以E为PC的中点，所以BE＝1.由等面积法得BD＝.因为BD⊥平面PAC，所以sin∠BED＝＝.所以二面角A-PC-B的正弦值为. 随堂检测 1.C　设圆锥的底面半径为R，母线长为l，因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，所以πRl＝2πR2，解得l＝2R，设该圆锥的母线与底面所成角为α，则cos α＝＝，所以α＝.故选C. 2.A　因为BC∥B1C1，所以∠ACB（或它的补角）为异面直线B1C1与AC所成的角，因为∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，所以∠ACB＝45°，所以异面直线B1C1与AC所成角为45°.故选A. 3.1　解析：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC，∴CD⊥AC，∴∠ACB为二面角B-CD-A的平面角.∵BC⊥CD，∴BD＝＝.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD，∴AB＝＝1，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝1. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型一｜异面直线所成的角 【例1】　正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线E1D与BC1所成的角是（　　） A.90°　 B.60°　 　C.45°　 D.30° 通性通法 求异面直线所成的角的方法 　　求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：①直接平移法（可利用图中已有的平行线）；②中位线平移法；③补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）. 【跟踪训练】 　已知正四棱锥P-ABCD中，PA＝2，AB＝，M是侧棱PC的中点，且BM＝，则异面直线PA与BM所成角为　　　　. 题型二｜直线与平面所成的角 【例2】　如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为（　　） A.　 B.　　C.　 D. 通性通法 直线与平面所成的角的求法 　　求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，即得直线在平面内的射影，最后根据垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角. 提醒：（1）斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段；（2）一条斜线与平面所成的角是这条斜线与平面内所有直线所成角中最小的，称之为最小角定理. 【跟踪训练】 　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱BC，A1B1的中点分别为E，F，则直线EF与平面ABB1A1所成角的正弦值为（　　） A.　 B.　　 C.　 D. 题型三｜二面角 角度1　定义法求二面角 【例3】　如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE.求平面ADE与平面BCEF所成二面角的大小. 通性通法 　　利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角. 角度2　垂面法求二面角 【例4】　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点. （1）求证：平面MNF⊥平面NEF； （2）求二面角M-EF-N的平面角的正切值. 通性通法 　　二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角. 角度3　垂线法求二面角 【例5】　如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α-BD-β的大小. 通性通法 　　如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角. 角度4　射影面积法求二面角 【例6】　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小. 通性通法 　　若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S'，且多边形与该平面所成的二面角为θ，则cos θ＝. 【跟踪训练】 1.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的平面角的正切值为（　　） A.　 B.　 　C.1　 D. 2.《九章算术》是我国古代数学名著，书中将四个面均为直角三角形的棱锥称为“鳖臑”.如图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝1，BC＝，则二面角A-PC-B的正弦值为　　　　. 1.若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（　　） A.　 B.　　C.　 D. 2.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，则异面直线B1C1与AC所成角的大小为（　　） A.45°　 B.60°　　C.30°　 D.90° 3.已知在如图所示的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC＝CD＝1，AD＝，则二面角B-CD-A的正切值为　　　　. 提示：完成课后作业　第十三章　培优课 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $