13.2.2 空间两条直线的位置关系同步练习-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

苏教版高一下册数学必修第二册-13.2.2 空间两条直线的位置关系－同步练习 [A　基础达标] 1．三棱锥A­BCD的六条棱所在直线成异面直线的有(　　) A．3对　　　　　　　　 B．4对 C．5对 D．6对 2．(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补 D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 3．若直线a，b分别与直线l相交且所成的角相等，则a，b的位置关系是(　　) A．异面 B．平行 C．相交 D．三种关系都有可能 4．如图，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，且a，b为异面直线，则以下结论中正确的是(　　) A．a，b都与l平行 B．a，b中至多有一条与l平行 C．a，b都与l相交 D．a，b中至多有一条与l相交 5．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　) A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 6.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线， (1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同； (2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反． 7．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________． 8．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且分别是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________.(填序号) 9.在如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点． 求证：(1)EFE1F1 ； (2)∠EA1F＝∠E1CF1. 10.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值． [B　能力提升] 11．已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a，b所成的角都是30°的直线有且仅有(　　) A．1条　　　　　　　　 B．2条 C．3条 D．4条 12.如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是(　　) A．M，N，P，Q四点共面 B．∠QME＝∠DBC C．△BCD∽△MEQ D．四边形MNPQ为梯形 13.如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为________． 14.如图，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，求平行线EH，FG间的距离． [C　拓展探究] 15.如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝AD，BE∥FA，BE＝FA，G，H分别为FA，FD的中点． (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 参考答案 [A　基础达标] 1．解析：选A．三棱锥A­BCD的六条棱所在直线中， 成异面直线的有：AB和CD，AD和BC，BD和AC， 所以三棱锥A­BCD的六条棱所在直线成异面直线的有3对．故选A． 2．解析：选BD．由等角定理可知：对于A，这两个角可能相等，也可能互补；对于B，显然正确；对于C，如图，∠DD1C1与∠DAD1的两边D1C1⊥AD1，AD⊥D1D，而这两个角不相等，也不互补，所以该命题错误；由基本事实4知命题D正确．所以BD是正确的． 3．解析：选D．以正方体ABCD­A1B1C1D1为例．A1B1，AB所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等， A1B1∥AB；A1B1，BC所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1与BC是异面直线；AB，BC所在直线与AC所在直线相交且所成的角相等，AB与BC相交． 4．解析：选B．如果a，b都与l平行，根据基本事实4，有a∥b，这与a，b为异面直线矛盾，故a，b中至多有一条与l平行． 5．解析：选A．如图，在正方体AC1中，因为A1B∥D1C，所以A1B与D1C可以确定平面A1BCD1， 又因为EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，所以直线A1B与直线EF的位置关系是相交． 故选A． 6.解析：(1)因为B1D1∥BD，B1C1∥BC且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同． (2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反． 答案：(1)∠D1B1C1　(2)∠B1D1A1 7．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60°. 答案：60° 8．解析：结合基本事实4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，③是异面直线． 答案：①② 9.证明：(1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点， 所以EFBD，同理E1F1＝B1D1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中， 因为AA1DD1，AA1BB1，所以B1BDD1， 所以四边形BDD1B1是平行四边形， 所以BDB1D1，所以EFE1F1. (2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M，因为MF1B1C1，B1C1BC， 所以MF1BC，所以四边形BCF1M是平行四边形， 所以MB∥CF1，因为A1MEB，所以四边形EBMA1是平行四边形， 所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1， 同理可证：A1F∥E1C，又∠EA1F与∠F1CE1两边的方向均相反， 所以∠EA1F＝∠E1CF1. 10.解：取AC的中点F，连接EF，BF， 在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点， 所以EF∥CD. 所以∠BEF(或其补角)即为所求的异面直线BE与CD所成的角． 在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC， 所以AB＝AC＝1， 在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝， 所以BE＝. 在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝， 所以EF＝. 在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，所以BF＝. 在等腰三角形EBF中，cos ∠FEB＝＝＝， 所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为. [B　能力提升] 11．解析：选B．过空间一点P，作a′∥a，b′∥b.由a′，b′两交线确定平面α，a′与b′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a′，b′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的两侧各有一条直线与a′，b′成30°的角，即与a，b成30°的角且过点P的直线有2条． 在a′，b′相交另一个130°的角部分内不存在与a′，b′成30°角的直线．故应选B． 12.解析：选D．由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD. 对于A，由基本事实易得MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A中的说法正确； 对于B，根据“等角”定理，得∠QME＝∠DBC，故B中的说法正确； 对于C，由“等角”定理，知∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD， 所以△BCD∽△MEQ，故C中的说法正确； 由三角形的中位线定理知MQ∥BD，MQ＝BD， NP∥BD，NP＝BD，所以MQNP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D中的说法不正确． 故选D． 13.解析：因为E，H分别是空间四边形ABCD中的边AB，DA的中点，所以EH∥BD，且EH＝BD. 同理FG∥BD，且FG＝BD. 所以EH＝FG＝BD＝1.同理EF＝GH＝AC＝2， 所以四边形EFGH的周长为6. 答案：6 14.解：在△BCD中，因为＝＝， 所以GF∥BD，＝.所以FG＝4 cm. 在△ABD中，因为点E，H分别是AB，AD的中点， 所以EH＝BD＝3 cm. 设EH，FG间的距离为d cm. 则×(4＋3)×d＝28，所以d＝8. 即EH和FG间的距离为8 cm. [C　拓展探究] 15.解：(1)证明：因为G，H分别为FA，FD的中点， 所以GH∥AD，GH＝AD. 又BC∥AD，BC＝AD， 所以BC∥HG，BC＝HG， 所以四边形BCHG是平行四边形． (2)C，D，F，E四点共面．理由如下： 由BE∥FA，BE＝FA，G是FA的中点知，BE∥FG，BE＝FG， 所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH， 所以EF与CH共面． 又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面． 学科网（北京）股份有限公司 $$