第11章 培优课 三角形中的最值（范围）问题(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本高中数学讲义聚焦三角形中的最值（范围）问题，系统梳理与边（周长）、角或三角函数、面积相关的三类题型。通过例题解析、母题探究、通性通法总结及跟踪训练，构建从具体问题到方法提炼的学习支架，帮助学生逐步掌握解题思路。 资料以“问题情境—方法提炼—应用拓展”为主线，突出数学思维的培养。如通过“化边为角”“化角为边”等通性通法，引导学生用数学眼光抽象问题本质，用逻辑推理解决实际问题。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固方法、查漏补缺，提升解决综合问题的能力。

培优课　三角形中的最值（范围）问题 【例1】　解：（1）由＝及已知，得cos A＝sin A， ∴tan A＝，又A∈（0，π），∴A＝. （2）由a＝6及（1）知＝＝＝4， ∴b＝4sin B，c＝4sin C. ∵A＝，∴B＋C＝π，∴C＝π－B， ∴b＋c＝4sin B＋4sin ＝4［sin B＋sin（π－B）］ ＝12sin. ∵0＜B＜π，∴＜B＋＜π.∴＜sin≤1（当且仅当B＝时，等号成立）， ∴6＜b＋c≤12，即b＋c的取值范围为（6，12]. 母题探究 　解：由正弦定理得＝＝＝2， ∴a＝2sin A，b＝2sin B， 则△ABC的周长为l＝a＋b＋c＝2（sin A＋sin B）＋ ＝2［sin A＋sin（－A）］＋ ＝2＋ ＝2（sin A＋cos A）＋ ＝2sin＋. ∵0＜A＜，∴＜A＋＜，∴＜sin（A＋）≤1， ∴2＜2sin＋≤2＋， ∴△ABC周长的取值范围是（2，2＋]. 跟踪训练 　解：（1）因为cos C＋cos Acos B＝2sin Acos B， 所以－cos（A＋B）＋cos Acos B＝2sin Acos B， 即sin Asin B＝2sin Acos B， 因为sin A≠0，所以sin B＝2cos B＞0， 又因为sin2B＋cos2B＝1，解得cos B＝. （2）由a＋c＝2，可得c＝2－a， 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝a2＋（2－a）2－a（2－a）＝（a－1）2＋， 因为0＜a＜2，所以≤b2＜4，所以≤b＜2， 所以b的取值范围为. 【例2】　　解析：由sin A＋sin B＝2sin C，得a＋b＝2c， ∴c＝，∴cos C＝ ＝ ＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝即a＝b时等号成立.∴cos C的最小值为. 跟踪训练 　（0，］　解析：由正弦定理知＋＝＝＝，∵sin A＝sin[π－（B＋C）]＝sin（B＋C），∴sin2A＝sin Csin B，即a2＝bc，又由余弦定理知cos A＝≥＝，当且仅当b＝c时等号成立，∵A∈（0，π），∴cos A∈，则A∈（0，］. 【例3】　A　如图，在△ABC中，∵b＝c，＝，∴sin Bcos A＋cosB·sin A＝sin A，即sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sin C＝sin A，∴A＝C，又b＝c，故△ABC为等边三角形.∴S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC＝·OA·OB·sin θ＋·AB2·sin＝×2×1×sin θ＋（OA2＋OB2－2OA·OB·cos θ）＝sin θ－cos θ＋＝2sin＋.∵0＜θ＜π，∴－＜θ－＜，故当θ－＝，即θ＝时，sin（θ－）取得最大值1，故S四边形OACB的最大值为2＋＝.故选A. 跟踪训练 　解：（1）由正弦定理得2sin Bsin（C＋）＝sin A＋sin C， 即2sin B（sin C＋cos C）＝sin（B＋C）＋sin C，即sin Bsin C＝sin C＋cos Bsin C， 又C∈（0，π），所以sin C≠0，所以sin B－cos B＝1，即sin（B－）＝， 又B∈（0，π），B－∈（－，），所以B－＝，即B＝. （2）在△ABC中，由余弦定理得22＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac， 所以ac≤4，当且仅当a＝c＝2时取等号， 所以S△ABC＝acsin B＝ac≤，故△ABC的面积的最大值为. 随堂检测 1.A　由题意得asin B＜b＜a，即asin 60°＜2＜a，解得2＜a＜，故选A. 2.C　由正弦定理可得a2＋b2＝2c2，所以cos C＝＝，由于a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，所以≥，故cos C的最小值等于.故选C. 3.4　解析：由a2＋b2＝c2＋ab及余弦定理，得cos C＝＝＝，∴sin C＝.由△ABC的外接圆半径为，得c＝2Rsin C＝4，∴a2＋b2＝16＋ab≥2ab，∴ab≤12，当且仅当a＝b时等号成立.∴S△ABC＝absin C≤×12×＝4.即△ABC面积的最大值为4. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型一｜与三角形的边（周长）有关的最值（范围）问题 【例1】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝. （1）求A的大小； （2）若a＝6，求b＋c的取值范围. 【母题探究】 　（变条件，变设问）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，c＝，求△ABC周长的取值范围. 通性通法 　　解决与三角形的边（周长）有关的最值（范围）问题的方法 （1）化边为角：利用三角函数的单调性与有界性求最值（范围）； （2）化角为边：利用基本不等式或二次函数性质求最值（范围）. 【跟踪训练】 　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos C＋cos Acos B＝2sin Acos B. （1）求cos B的值； （2）若a＋c＝2，求b的取值范围. 题型二｜与三角形的角或角的三角函数有关的最值（范围）问题 【例2】　若△ABC的内角A，B，C满足：sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是　　　　. 通性通法 　　解决与三角形的角或角的三角函数有关的最值（范围）问题的方法 　　求角或角的三角函数有关的最值（范围）一般是用边表示角（三角函数式），利用基本不等式求最值（范围）. 【跟踪训练】 　△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＋＝，则A的取值范围是　　　　. 题型三｜与三角形的面积有关的最值（范围）问题 【例3】　在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝.若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ（0＜θ＜π），OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是（　　） A.　 B. C.3　 D. 通性通法 　　求解与平面图形有关的面积最值（范围）问题可以先转化为三角形的面积，用三角形的面积公式表示，进而利用三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性求解. 【跟踪训练】 　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsin（C＋）＝a＋c. （1）求角B的大小； （2）若b＝2，求△ABC的面积的最大值. 1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且B＝60°，b＝2.若这个三角形有两解，则a的取值范围是（　　） A.（2，）　　　 B.（2，］ C.（2，＋∞）　 D.（－∞，2） 2.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则cos C的最小值等于（　　） A.　 B.　　 C.　 D.－ 3.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2＋ab，若△ABC的外接圆半径为，则△ABC面积的最大值为　　　　. 提示：完成课后作业　第十一章　培优课 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $