14.3.2 频率分布直方图(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本高中数学讲义聚焦频率分布直方图核心知识点，从频数直方图组距不等易致误解的问题切入，系统构建频率分布直方图的定义（组距、频率/组距、面积=频率）、性质及绘制步骤，衔接频率折线图形成完整知识支架。 资料以问题驱动培养数学眼光，通过例1绘制直方图、例2应用计算等实例，结合通性通法总结提升数据分析与数学思维能力，母题探究与分层练习设计，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺。

14.3.2　频率分布直方图 【基础落实】 知识点一 1.组距　　频率　2.中点　半个 想一想 　提示：频数直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的高度与频数成正比；频率分布直方图的纵坐标是，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1. 自我诊断 1.B　由频率分布直方图中小长方形宽为组距，高为频率与组距的比值，所以小长方形的面积等于频率，故选B. 2.A　由频率分布直方图可知：每组频率依次为0.1，10a，0.45，10a，0.05，则0.1＋10a＋0.45＋10a＋0.05＝20a＋0.6＝1，解得a＝0.02，故选A. 3.8　解析：因为第5组的频率为0.1，故第5组的频数为0.1×40＝4，故第6组的频数为40－10－5－7－6－4＝8. 【典例研析】 【例1】　解：（1）最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180－151＝29，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下： 分组 频数 频率 [149.5，153，5） 1 0.025 [153.5，157.5） 3 0.075 [157.5，161.5） 6 0.15 [161.5，165.5） 9 0.225 [165.5，169.5） 14 0.35 [169.5，173.5） 3 0.075 [173.5，177.5） 3 0.075 [177.5，181.5] 1 0.025 合计 40 1 （2）频率分布直方图、频率折线图如图所示. 跟踪训练 　解：（1）由所给数据知，落在区间[40，45）内的有7个，落在[45，50]内的有2个，故n1＝7，n2＝2，所以f1＝＝＝0.28，f2＝＝＝0.08. （2）样本的频率分布直方图和频率折线图如图所示. 【例2】　解：（1）频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小， 因此第二小组的频率为 ＝0.08. 又因为第二小组的频率＝， 所以样本容量＝＝＝150. （2）由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100％＝88％. 母题探究 1.解：由例2知达标率为88％，样本容量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12. 所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18. 2.解：第三小组的频率为＝0.34. 又因为样本容量为150， 所以第三小组的频数为150×0.34＝51. 跟踪训练 　解：（1）依题意得，10×（2a＋0.02＋0.03＋0.04）＝1，解得a＝0.005. （2）数学成绩在[50，60）之间的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60，70）之间的人数为100×0.4×＝20，数学成绩在[70，80）之间的人数为100×0.3×＝40，数学成绩在[80，90）之间的人数为100×0.2×＝25，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为100－5－20－40－25＝10. 随堂检测 1.C　这组数据的极差为142－60＝82，所以组数＝≈9.故选C. 2.C　由频率分布直方图可知酒精浓度在80 mg/100 mL（含80）以上的频率为（0.01＋0.005）×10＝0.15，所以样本中属于醉酒驾车的人数约为20×0.15＝3.故选C. 3.48　解析：设该校准备报考飞行员的总人数为n，第1小组的频率为a，则有a＋2a＋3a＋（0.013＋0.037）×5＝1，解得a＝0.125，所以第2小组的频率为0.25.又第2小组的频数为12，则有0.25＝，解得n＝48. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.3.2　频率分布直方图 课标要求 1.学会用频率分布表、画频率分布直方图表示样本数据（数据分析、直观想象）. 2.能通过频率分布表或频率分布直方图对数据作出总体估计（数据分析、数学运算）. 　　在上一节学到的频数直方图中，之所以取相等的组距，是为了使频数与相应的长方形面积成比例.而如果其他各组不变，将最后三组合成一组，如图，这个图形就容易给人造成错觉，在[130，160]这个区间上的矩形占有的区域面积较大，其中频数最多. 【问题】　怎样避免这种误解呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　频率分布直方图与频率折线图 1.频率分布直方图：把横轴均分成若干段，每一段对应的长度称为　　　　　，然后以此段为底作矩形，它的高等于该组的　　　　　，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组的　　　　　，这些矩形就构成了直方图，我们将这种直方图称为频率分布直方图. 2.频率折线图：将频率分布直方图中各个矩形的上底边的　　　　顺次连接起来，并将两边端点向外延伸　　　　组距，就得到频率折线图，简称折线图. 　　提醒：频率分布直方图的性质：①图中每个小长方形的面积表示相应各组的频率，即小长方形的面积＝组距×＝频率；②在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1；③＝样本容量；④频率分布直方图中，各矩形的面积之比等于频率之比，各矩形的高度之比也等于频率之比. 【想一想】 　频数直方图和频率分布直方图有什么区别？ 知识点二　绘制频率分布直方图的步骤 　 1.在频率分布直方图中，小长方形的面积等于（　　） A.组距　 B.频率 C.组数　 D.频数 2.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则a 的值为（　　） A.0.02　 B.0.2 C.0.04　 D.0.4 3.一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为　　　　. 　 题型一｜绘制频率分布直方图与频率折线图 【例1】　（链接教科书第243页习题5题）为调查某校初二年级男生的身高，随机抽取40名初二男生，实测身高数据（单位：cm）如下： 171　163　163　166　166　168　168　160 168　165　171　169　167　169　151　168 170　168　160　174　165　168　174　159 167　156　157　164　169　180　176　157 162　161　158　164　163　163　167　161 （1）作出频率分布表； （2）画出频率分布直方图、频率折线图. 通性通法 1.绘制频率分布直方图的注意事项 （1）将一批数据分组，目的是要描述数据分布规律，要根据数据多少来确定分组数目，一般来说，数据越多，分组越多； （2）将数据分组，决定分点时，一般使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点； （3）列频率分布表时，可通过逐一判断各个数据落在哪个小组内，确定各个小组内数据的个数； （4）画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，一定不能标成频率. 2.频率折线图 【跟踪训练】 　随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，37，26，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如表所示. 分组 频数 频率 [25，30） 3 0.12 [30，35） 5 0.20 [35，40） 8 0.32 [40，45） n1 f1 [45，50] n2 f2 合计 25 1 （1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本的频率分布直方图和频率折线图. 题型二｜频率分布直方图的应用 【例2】　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12. （1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ （2）若次数在110次以上（含110次）为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？ 【母题探究】 1.（变设问）在本例条件下，样本中不达标的学生人数是多少？ 2.（变设问）在本例条件下，第三小组的频数是多少？ 通性通法 频率分布直方图应用中的计算问题 （1）小长方形的面积＝组距×＝频率； （2）各小长方形的面积之和等于1； （3）＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数. 【跟踪训练】 　某校100名学生期中考试语文成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]. （1）求图中a的值； （2）若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数. 分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5 1.一个容量为80的样本数据的最大值是142，最小值是60，组距是10，则应将样本数据分为多少组（　　） A.14　　 B.10　　　C.9　　 D.8 2.（2025·连云港期末）根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在80 mg/100 mL （含80）以上时，属醉酒驾车. 某地区交警查处酒后驾车和醉酒驾车共20人.如图，这是对这20人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（　　） A.1　 B.2　　C.3　 D.4 3.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重（单位：千克）情况，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.则该校准备报考飞行员的总人数为　　　　. 提示：完成课后作业　第十四章　14.3　14.3.2 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $