14.2.2 分层抽样(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦高中数学分层抽样核心知识点，系统阐述其定义、特点及步骤，通过与简单随机抽样的对比分析，构建从基础抽样方法到分层抽样的学习支架，帮助学生理解分层抽样的必要性及适用场景。 资料以“某市中小学生近视调查”实例引入，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过例题解析和分层训练培养逻辑推理与数学运算能力，课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾知识、查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

14.2.2　分层抽样 课标要求 1.通过实例，了解分层抽样的特点和使用范围，了解分层抽样的必要性，掌握各层样本按比例分配的方法（数学运算）. 2.在简单的实际情景中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题（逻辑推理）. 某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生近视的总体情况和三个群体近视情况的差异大小. 【问题】　（1）上述问题中总体有什么特征？ （2）采用抽签法合适吗？若不合适，应采用什么方法抽取样本？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　分层抽样 1.分层抽样的定义 一般地，当总体由　　　　　　的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将　　　　　　　　　　　　分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分　　　　　　　　　　实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样，所分成的各个部分称为“层”. 2.分层抽样的特点 （1）适用于总体由明显差异的几部分组成的情况； （2）抽取的样本更好地反映了总体的情况； （3）是等可能性抽样，每个个体被抽到的可能性相同. 3.分层抽样的步骤 （1）将总体按　　　　　　分层； （2）计算各层的　　　　与总体的个体数的比； （3）按　　　　　　　　　　　　　　　　确定各层应抽取的样本容量； （4）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样）. 　　提醒：使用分层抽样应注意的问题：①分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要小，不同层之间的样本差异要大，且互不重叠；②抽取比例由每层个体占总体的比例确定；③各层抽样按简单随机抽样进行. 知识点二　简单随机抽样与分层抽样的异同点 类别 特点 相互联系 适用范围 共同点 简单随 机抽样 从总体中逐个抽取 总体中的个体数相对较少 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同 分层 抽样 将总体分成几层，按各层的个体数之比抽取 各层抽样时，可以采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成 1.下面的抽样方法是分层抽样的是（　　） A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖 B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔20分钟抽一包产品，称其质量是否合格 C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见 D.用抽签方法从8件产品中选取3件进行质量检验 2.某高中三个年级共有学生2 000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（　　） A.24　　 B.26　　　　 C.30　　 D.32 3.一个班共有54人，其中男同学、女同学之比为5∶4，若抽取9人参加教改调查会，则每个男同学被抽取的可能性为　　　　，每个女同学被抽取的可能性为　　　　. 题型一｜分层抽样的概念 【例1】　下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是（　　） A.从10名同学中抽取3人参加座谈会 B.红星中学共有学生1 600名，其中男生840名，防疫站对此校学生进行身体健康调查，抽取一个容量为200的样本 C.从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间 D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 通性通法 分层抽样的前提和遵循的两条原则 （1）前提：分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取； （2）遵循的两条原则： ①每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；②每层样本容量与每层个体数量的比等于抽样比. 【跟踪训练】 　在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本. 方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，02，…，99，用抽签法抽取20个. 方法2：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题，下列说法正确的是　　　　.（填序号） ①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是； ②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同； ③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征. 题型二｜分层抽样的应用 【例2】　（链接教科书第232页例1）某单位要调查了解本单位职工与身体状态有关的某项指标，参加调查的单位职工总人数为500，其中各个年龄段的人数如表所示.由于职工年龄与这项指标有关，该单位打算从中抽取100人进行更为详细的调查，应该怎样进行抽样抽取？ 年龄段 不到35岁 35岁至49岁 50岁及 50岁以上 职工数 125 280 95 通性通法 分层抽样中有关抽样比的计算方法 　　对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式求解： （1）抽样比＝ ＝ ； （2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比. 　　对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系式求解. 【跟踪训练】 1.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产量之比为3∶2∶5.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的产品有18件，则样本容量为（　　） A.40　　 B.60　　　 C.80　　 D.100 2.某中学高中部有三个年级，其中高三年级有600人，采用分层抽样抽取一个容量为45的样本.已知高一年级抽取15人，高二年级抽取10人，则高中部的总人数是　　　　. 题型三｜抽样方法的选择及应用 【例3】　（链接教科书第234页例2）为了考察某学校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行统计分析，为了全面反映实际情况，采取以下方式进行抽查（已知该学校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同）： ①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取20人，考察他们的学习成绩； ②把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察（已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）. 根据上面的叙述，回答下列问题： （1）上面两种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？ （2）上面两种抽取方式中各自采用何种抽样方法？ 通性通法 选择抽样方法的思路 （1）判断总体是否由差异明显的几部分组成，若是，则选用分层抽样；否则，考虑用简单随机抽样； （2）判断总体容量和样本容量的大小，当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大、样本容量较小时，采用随机数表法；当总体容量较大且层次性明显时，采用分层抽样. 【跟踪训练】 　某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各岗位中的人数情况如表所示： 管理 技术开发 营销 生产 合计 老年 40 40 40 80 200 中年 80 120 160 240 600 青年 40 160 280 720 1 200 合计 160 320 480 1 040 2 000 （1）若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？ （2）若要开一个有25人参与的讨论单位发展与薪金调整方案的座谈会，则应怎样抽选出席人？ 1.下列抽样调查中，宜用分层抽样的是（　　） A.为了研究班级同学父母的受教育状况，从班级的40名同学中抽取10名同学，调查他们父母的受教育状况 B.为了研究全校同学的肺活量，从全校三个年级的1 500 名同学中抽取50名同学，调查他们的肺活量 C.质量检验员从同一批产品中抽取10％进行质量检验 D.园林绿化人员调查一块草坪的土质，在草坪中提取部分泥土进行检验 2.（2025·无锡期末）一支田径队有男运动员56名，女运动员42名，按性别进行分层，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为28的样本，则样本中女运动员的人数是（　　） A.10　　 B.12　　　 C.14　　 D.16 3.某中学有高中生 3 500人，初中生1 500人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n＝（　　） A.100　 B.150　　 C.200　 D.250 4.某校对全校1 200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本.已知女生抽了85人，则该校的男生人数为　　　　　. 提示：完成课后作业　第十四章　14.2　14.2.2 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2.2　分层抽样 【基础落实】 知识点一 1.差异明显　总体中的个体按不同的特点　在总体中所占的比　3.（1）一定标准　（2）个体数　（3）各层的个体数占总体的个体数的比 自我诊断 1.C　A、B不是分层抽样，C是分层抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样.故选C. 2.D　依题意高一年级应抽取的人数为×80＝32.故选D. 3.　　解析：男、女同学每人被抽取的可能性是相同的，因为男同学共有54×＝30（人），女同学共有54×＝24（人），所以每个男同学被抽取的可能性为 ＝ ，每个女同学被抽取的可能性为 ＝ . 【典例研析】 【例1】　B　A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合分层抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样. 跟踪训练 　①③　解析：根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是，故①正确，②错误；由于总体中有差异较明显的三个层（一级品、二级品和三级品），故方法2抽到的样本更有代表性，③正确.故①③正确. 【例2】　解：因为职工年龄与这项指标有关，故采用分层抽样.步骤如下： （1）分层.按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工. （2）确定每层抽取个体的个数.抽样比为＝， 则在不到35岁职工中抽125×＝25（人）， 在35岁至49岁职工中抽280×＝56（人）， 在50岁及50岁以上职工中抽95×＝19（人）. （3）在各层中采用抽签法或随机数表法抽取样本. （4）综合每层抽样，组成样本. 跟踪训练 1.B　分层抽样的抽样比为3∶2∶5，样本中A种型号的产品有18件，则样本中B，C种型号的产品分别有12件，30件.则样本容量为18＋12＋30＝60.故选B. 2.1 350　解析：因为抽取的样本容量为45，且高一年级抽取15人，高二年级抽取10人，那么高三年级抽取45－15－10＝20（人），设高中部学生人数为n，则＝，得n＝＝1 350. 【例3】　解：（1）两种抽取方式中，总体都是高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩.第一种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中，样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100. （2）第一种方式采用的是简单随机抽样法；第二种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法. 跟踪训练 　解：（1）用分层抽样法，并按老年职工4人，中年职工12人，青年职工24人抽取. （2）用分层抽样法，并按管理岗位2人，技术开发岗位4人，营销岗位6人，生产岗位13人抽取. 随堂检测 1.B　A.班级的40名同学没有明显差异，不宜用分层抽样；B.全校三个年级的1 500名同学有明显的差异，宜用分层抽样；C.同一批产品没有明显差异，不宜用分层抽样；D.同一块草坪的土质没有明显差异，不宜用分层抽样.故选B. 2.B　样本中女运动员的人数是×28＝12.故选B. 3.A　抽样比为＝，该校总人数为1 500＋3 500＝5 000，则＝，故n＝100.故选A. 4.690　解析：男生人数占总人数的比等于抽到男生人数占样本容量的比，可得男生人数为1 200×＝690. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $