1.4.4诱导公式与旋转课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 三角函数 第4节 正弦函数和余弦函数的概念及性质 4.4 诱导公式与旋转 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用. 2、理解诱导公式的推导过程. 3、能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题. 1、能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题. 1、了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用. 2、理解诱导公式的推导过程. 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 角α的终边与单位圆的交点为P(u,v), 把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值， 记作v=sinα（称为任意角α的正弦函数） 把点P的横坐标u定义为角α的余弦值， 记作u=cosα（称为任意角α的正弦函数） 1、正弦函数、余弦函数的定义是什么？ O x P(u,v) α M 1 3 新 知 引 入 韦 达 sin(α+2kπ)=__________ , cos(α+2kπ)=_________ sin(-α)=___________ , cos(-α)=______________ sin(α+π)=___________ , cos(α+π)=___________ sin(α-π)=______________ , cos(α-π)=_____________ sin(π-α)=__________ , cos(π-α)=_____________ 2、诱导公式 3、记忆口诀是________________________________。 “函数名不变、符号看象限” sinα cosα -sinα cosα -sinα -sinα -cosα -cosα sinα -cosα 4 则sin(α+)=______ , cos(α+)=_______ 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 x P(u,v) α M 1 在平面直角坐标系中， 设任意角α的终边与单位圆的交点为点P，则 sinα=v , cosα=u P' 将终边OP绕点O沿逆时针方向旋转 ， 交单位圆于点P'， O 则∠xOP'=__________,且P'的坐标为（_____，_____） α+ u -v u sin(α+)=sin(+α)=cosα , cos(α+)=cos(+α)=-sinα -v 5 则sin(α- )=______ , cos(α)=_______ 则sin( -α)=______, cos( -α)=_______ 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 x P(u,v) α M 1 在平面直角坐标系中， 设任意角α的终边与单位圆的交点为点P，则 sinα=v , cosα=u P' 将终边OP绕点O沿顺时针方向旋转 ， 交单位圆于点P'， O 则∠xOP'=__________,且P'的坐标为（_____，_____） α- -u -u v v u v sin( - α)=cosα , cos( -α)=sinα 6 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 sin( + α)=cosα , cos( + α)=-sinα sin( - α)=cosα , cos( - α)=sinα 诱导公式 注意：1、 2、 这些公式的记忆口诀是“函数名改变、符号看象限”。 “函数名改变”是指等式两边的三角函数名不同； “符号看象限”是指把角α看成锐角时新角在原函数下的符号， 由新角所在象限确定符号. 公式中的角α是任意角. 7 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、(1)已知f(cosx)＝cos3x，则f(sin30°)的值为(　　)． A．0 B．1 C．－1 D. 解：∵f(cosx)＝cos3x， ∴f(sin30°)＝f(cos60°)＝cos180°＝ －1. C (2) = __________ 解     8 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、(1)已知sin(+α)=,那么cosα=( ) A. - B. - C. D. 解：∵ sin( +α)=cosα, ∴cosα= C (2)已知sinα=，则cos(-α)=_________ 解：cos( -α)=sinα= (3)已知sin(-α)= - ,则cos(π+α)=________ 解：∵sin( -α) = cosα= - ∴cos(π+α) = - cosα= 9 典 例 引 路 牛 顿 例2、已知sin(+α)=,求cos(α-)的值。 解：cos(α- ) = cos( -α) = cos[ -( +α)] = sin(+α) = 10 同 步 练 习 黎 曼 练2、若cos(α+)=,则sin(α-)=______ 解：sin(α - ) = - sin(α - ) =-cos[ +(α - )] =-cos( α) = - 11 典 例 引 路 皮 亚 诺 例3、在△ABC中，若sin=sin,试判断△ABC的形状。 解：∵A+B+C=π ∴A+B-C=π-2C , A-B+C=π-2B 又∵sin = sin ∴sin = sin ∴sin( -C ) = sin(-B) ∴cosC=cosB 又B,C是△ABC的内角 ∴C=B ∴△ABC为等腰三角形。 12 同 步 练 习 莱布尼兹 练3、(1)在△ABC中,求证: sin=cos 证明：∵A+B+C=π ∴ + = ∴sin = sin( - )= cos (2)在△ABC中,若sin =sin,则△ABC的形状是_________ 证明：∵A+B+C=π ∴ + = ∴sin = sin( - )= cos = sin = cos( - ) ∴ = - 即A= ∴△ABC的形状是直角三角形。 13 学 习 新 知 拉格朗日 角 2kπ＋α(k∈Z) －α π＋α π－α ＋α -α 正弦 sinα -sinα -sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα cosα -cosα -cosα -sinα sinα 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 4k· ＋α 0· - α 2· + α 2· - α 1· + α 1· - α 诱导公式都是α的三角函数与n·±α的三角函数之间的转化. 诱导公式 注意：1、 2、 公式中的角α是任意角. 14 学 习 新 知 角 2kπ＋α(k∈Z) －α π＋α π－α ＋α -α 正弦 sinα -sinα -sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα cosα -cosα -cosα -sinα sinα 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 4k· ＋α 0· - α 2· + α 2· - α 1· + α 1· - α 奇变偶不变，符号看象限 诱导公式 注意：3、 4、 “奇变偶不变”：在n· ±α(n∈Z)中，如果n是奇数，那么得到的三角函数名称要发生变化，正弦变余弦，余弦变正弦；如果n是偶数，那么三角函数名称不发生变化. 布 丰 “符号看象限”:将α角看成一个锐角，此时判断n·±α(n∈Z)所在的象限，并观察三角函数对这个角运算得到的符号是正还是负，从而决定等号右边的符号。 15 sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα 学 习 新 知 伯努利 利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，口诀是“负化正，大化小，最终都要变锐角”. sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα 将负角转化为正角 将角化为0~2π内的角 sin(α+π)=-sinα，cos(α+π)=-cosα 将0~2π内的角转化为0~π内的角 sin(π-α)=sinα， cos(π-α)=-cosα 将~π内的角转化为0~内的角 sin( + α)=cosα ，cos( + α)=-sinα sin( - α)=cosα， cos( - α)=sinα 实现正弦与余弦的相互转化 16 典 例 引 路 柯 西 例4、若sin(π+α)+ 则 的值为（ ） 解： 即 -sinα-sinα= -2sinα= -m，   B 17 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练4、已知f()= (1)若=，求f()的值； (2)若为第三象限角，且cos =，求f() 的值. 解：f()= = （1）f() = = （2）∵cos = sin = ， ∴ sin= 又∵为第三象限角， ∴ cos=， ∴ f()=. 18 典 例 引 路 狄利克雷 例5、化简 = ( ) A. -2 B. -1 C. 0 D. 解： = = -1 B 19 同 步 练 习 庞加莱 练5、化简： 解：原式 = = = = - = -1 20 全 课 总 结 sin(α+2kπ)=sinα , cos(α+2kπ)=cosα sin(-α)=-sinα , cos(-α)=cosα sin(α+π)=-sinα , cos(α+π)=-cosα sin(α-π)=-sinα , cos(α-π)=-cosα sin(π-α)=sinα , cos(π-α)=-cosα sin( + α)=cosα , cos( + α)=-sinα sin( - α)=cosα , cos( - α)=sinα 一、诱导公式 二、记忆口诀是“奇变偶不变、符号看象限”。 21 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $