13.2.3 第2课时 直线与平面垂直(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“直线与平面垂直”核心知识点，系统梳理定义（直线垂直平面内任意直线）、判定定理（垂直平面内两条相交直线）、性质定理（垂直同一平面的两直线平行）及棱柱分类，承接空间线面位置关系，为后续面面垂直学习搭建支架。 资料以木工检查木棒垂直板面实例引入，培养直观想象，通过文字、符号、图形语言呈现定理，强化数学表达。题型含例题、母题探究及跟踪训练，助力逻辑推理，课中辅助教师引导学生从具体到抽象，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第2课时　直线与平面垂直 【基础落实】 知识点一 1.任意一条　a⊥α　垂线　垂面　垂足 知识点二 　相交　垂直　m∩n＝A　m⊂α　n⊂α 想一想 　提示：不一定垂直.直线可能落在平面内. 知识点三 　a∥b 想一想 　提示：共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面. 知识点四 1.垂直于　不垂直于　正多边形 2.平行四边形　垂直　矩形　相等 自我诊断 1.BCD　对于A，当平面内的两条直线是平行线时，这条直线和这个平面不一定垂直，故A错误；对于B，过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直，故B正确；对于C，由线面垂直的判定定理得：如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面，故C正确；对于D，由线面垂直的性质得：过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内，故D正确.故选B、C、D. 2.B　因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DCB1，所以AD1⊥平面A1DCB1.故选B. 3.BC　解析：因为∠BCA＝90°，所以BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因为AP⊂平面PAC，所以BC⊥AP. 【典例研析】 【例1】　C　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D错误.故选C. 跟踪训练 1.A　因为直线l⊥平面α，所以l与α相交.又因为m⊂α，所以l与m相交或异面.由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行.故选A. 2.①③④　解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内的两条直线必须是相交的，①③④中给定的两条直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件. 【例2】　证明：因为AB为☉O的直径，所以AM⊥BM. 又因为PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM. 因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN. 因为AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM. 母题探究 　证明：由本例知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM， 所以AN⊥PB. 因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，所以PB⊥平面ANQ. 跟踪训练 　证明：在△PCB中，∵PC＝10，BC＝6，PB＝2， ∴PC2＋BC2＝PB2，∴△PCB为直角三角形，PC⊥BC， 又PC·BC＝PB·CF，∴PB⊥CF. 又EF⊥PB，EF∩CF＝F，EF，CF⊂平面CEF， ∴PB⊥平面CEF. 【例3】　证明：∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， ∴AE⊥AB， 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点， ∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. 跟踪训练 　证明：因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D. 又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD＝D，A1D，CD⊂平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1. 随堂检测 1.B　直线a与平面α不垂直，一定存在b⊂α，使得a⊥b成立，因此在平面α内，与b平行的所有直线都与直线a垂直，因此有无数条直线在平面α内与直线a垂直.故选B. 2.C　因为m∥α，n∥α，则m∥n或m，n相交或m，n异面，故A错误；由m∥α，m⊥n，则n与α的关系无法确定，可能平行，可能相交，可能在平面内，故B错误；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，故C正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故D错误.故选C. 3.证明：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点， ∴SD⊥AC. 如图，连接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD， ∴△ADS≌△BDS， ∴∠ADS＝∠BDS， ∴SD⊥BD. 又AC∩BD＝D， ∴SD⊥平面ABC. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　直线与平面垂直 课标要求 借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面垂直的判定定理与性质定理（数学运算、逻辑推理、直观想象）. 木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）检查两次，如图.如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直. 【问题】　（1）用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？ （2）上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　直线与平面垂直的定义 1.定义：如果直线a与平面α内的　　　　　　直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直，记作　　　　.直线a叫作平面α的　　　　，平面α叫作直线a的　　　　，垂线和平面的交点称为　　　　. 2.画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图： 知识点二　直线与平面垂直的判定定理 文字 语言 如果一条直线与一个平面内的两条　　　　直线垂直，那么该直线与此平面　　　　 符号 语言 a⊥m，a⊥n，　　　　　　，　　　　，　　　　，则a⊥α 图形 语言 【想一想】 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？ 知识点三　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒　　　 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行；②作平行线 　　提醒：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 【想一想】 　垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？ 知识点四　棱柱的分类 1.棱柱的分类 分类 定义 直棱柱 侧棱　　　　　底面的棱柱 斜棱柱 侧棱　　　　　　底面的棱柱 正棱柱 底面是　　　　　　的直棱柱 2.特殊的四棱柱 分类 定义 平行六面体 底面是　　　　　　的四棱柱 直平行六面体 侧棱与底面　　　　的平行六面体 长方体 底面是　　　　的直平行六面体 正方体 棱长　　　　的长方体 1.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直 B.过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直 C.如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 D.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（　　） A.平面DD1C1C　 B.平面A1DCB1 C.平面A1B1C1D1　 D.平面A1DB 3.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与AP垂直的直线为　　　　　. 题型一｜线面垂直的定义的应用 【例1】　下列命题中正确的是（　　） A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α 通性通法 　　对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的任意一条直线”的说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事. 【跟踪训练】 1.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（　　） A.平行　　　　　　 B.相交 C.异面　 D.垂直 2.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.则能保证该直线与平面垂直的是　　　　.（填序号） 题型二｜线面垂直的判定 【例2】　如图所示，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.求证：AN⊥平面PBM. 【母题探究】 （变设问）在本例条件下，若AQ⊥PB，Q为垂足，证明PB⊥平面ANQ. 通性通法 证明线面垂直的方法 （1）由线线垂直证明线面垂直：①定义法（不常用）；②判定定理（最常用），要着力寻找平面内的两条相交直线（有时需要作辅助线），使它们与所给直线垂直. （2）平行转化法（利用推论）：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 【跟踪训练】 　如图，在四面体P-ABC中，已知BC＝6，PC＝10，PB＝2.F是线段PB上一点，CF＝，点E在线段AB上，且EF⊥PB.求证：PB⊥平面CEF. 题型三｜线面垂直的性质定理的应用 【例3】　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 通性通法 证明线线平行的常用方法 （1）利用线线平行的定义：证明两直线共面且无公共点； （2）利用基本事实4：证明两直线同时平行于第三条直线； （3）利用线面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面平行； （4）利用线面垂直的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面垂直. 【跟踪训练】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1. 1.（2025·盐城期末）若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线（　　） A.只有一条 B.无数条 C.是平面α内的所有直线 D.不存在 2.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，则下列命题正确的是（　　） A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m∥α，m⊥n，则n⊥α C.若m⊥α，n⊥α，则m∥n D.若m⊥α，m⊥n，则n∥α 3.如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.求证：直线SD⊥平面ABC. 提示：完成课后作业　第十三章　13.2　13.2.3　第2课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $