第11讲 立体几何中点线面的位置关系及平行垂直问题（7题型）-2025-2026 学年高一下学期数学期末必考重难点题型归纳及检测（苏教版）

第11讲 立体几何中点线面的位置关系及平行垂直问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1、证明空间中直线、平面的平行关系 3 知识点2、证明空间中直线、平面的垂直关系 3 03 重难点题型 5 题型一：空间点、线、面的位置关系判定 5 题型二：直线与平面平行的证明 6 题型三：平面与平面平行的证明 10 题型四：空间直线与直线垂直的证明 13 题型五：直线与平面垂直的证明 16 题型六：平面与平面垂直的证明 19 题型七：空间平行与垂直的存在性探索问题 22 04 过关检测 28 知识点1、证明空间中直线、平面的平行关系 （1）证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2）证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面． （3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 知识点2、证明空间中直线、平面的垂直关系 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质（）； ⑦平行线垂直直线的传递性（∥）． （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（∥）； ⑤面面垂直的性质（）． （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）． 题型一：空间点、线、面的位置关系判定 例1．（2026·高一·河南新乡·阶段检测）设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【解析】对于A，若，，则或异面或相交，故A错误； 对于B，若，，则或相交，故B错误； 对于C，若，，则或或相交，故C错误； 对于D，设，，过平面内一点，分别作，， 如图所示， 因为，，，，所以， 又因为，所以，同理：， 又因为，、，所以，故D正确. 例2．（2026·高一·重庆沙坪坝·期中）已知空间中两条不同的直线，两个不同的平面，以下可以得到的是（    ） A． B． C．直线上有两个不同的点到的距离相等 D． 【答案】D 【解析】对于选项A，当，，则可能在平面内，所以得不到，故选项A不正确. 对于选项B，，如果直线是平面和的交线，则直线在平面内，无法一定有，故B错误. 对于选项C，当直线与平面相交时，当直线上的两点分别在平面的两侧时也可以有这两点到平面的距离相等，故C错误. 对于选项D，当时，即平面和没有公共点，而，即直线与平面没有公共点，即，故D正确. 例3．（2026·高一·山东菏泽·阶段检测），表示两条直线，，表示两个平面，若，，则“”是“”（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，可得， 当时，不一定成立，如：时有； 当时，因为，所以，又，所以， 综上，所以“”是“”的必要不充分条件. 变式1．（2026·高一·海南·阶段检测）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则与相交 D．若，，则与至多有一个公共点 【答案】D 【解析】对于A，若，，则，可能平行、可能相交、可能异面，A错误. 对于B，若，，则或，B错误. 对于C，若，，，则，可能平行、可能相交、可能异面，C错误. 对于D，若，则与平行或相交，当时，因为，所以与无公共点；当与相交于一点时，因为，所以与至多有一个公共点.综上，D正确. 题型二：直线与平面平行的证明 例4．（2026·高一·宁夏·期末）如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 【解析】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面平面， 所以. （2）在四棱锥中，取的中点，连接， 由是的中点，得，由（1）知，而， 因此，四边形是平行四边形，则， 而平面，平面，所以平面. 例5．（2026·高一·河北邢台·期中）如图，在棱长为4的正方体中，点M，N分别在线段，上，且． (1)证明：平面． (2)记过且与平行的平面为，平面与直线交于点P，求的长． 【解析】（1） 作，交于点，作，交于点，连接． 因为，所以．同理可得． 因为在正方体中，，，所以，所以．因为，所以． 因为，所以四边形是平行四边形，所以． 因为不在平面内，平面，所以平面． （2）过点作直线，设直线分别与，交于点，，连接，，，记． 因为，所以，，即，分别为，的中点． 因为，，所以四边形为平行四边形，， 所以，平面即平面，延长，与的交点即为点． 因为，所以，解得． 例6．（2026·高一·陕西铜川·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面 (2)当平面 ，求的值，并说明理由． 【解析】（1）取中点为，连接 ， 在中，为的中点，为中点， ， 在平行四边形中，为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 面面， 平面； （2）连接 ，相交于，连接， 面，面面 面， ，， 即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点. 变式2．（2026·高一·浙江温州·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； 【解析】（1）在四棱锥中，取中点，连、 ，又， ， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面； （2）在梯形中，， 又平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ，，. 题型三：平面与平面平行的证明 例7．（2026·高一·陕西咸阳·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于O点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设平面交平面于直线l． ①求证：； ②求的值． 【解析】（1）证明：连接EC，   ，， ，， 四边形是平行四边形， O为的中点， 又F是的中点， ， 又平面，平面， 平面BEF． （2）证明：F，H分别是的中点， ， 又平面PAD，平面PAD， 平面PAD， 又O是的中点，H是的中点， ，平面，平面， 平面， 又在平面内相交于点H， 平面平面． （3）①证明：，平面，平面， 平面， 又平面，平面平面直线l， ． ②且， ， 又E，H分别为的中点， ，且三棱锥与三棱锥高之比为， ． 例8．（2026·高一·北京·期中）如图，在正方体 中，为的中点. (1)求证： 平面； (2)取中点，求证：平面平面 (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）由为的中点，为的中点，得，， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而， 平面，所以平面平面． （3）如图，作，连接则是异面直线与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，， 因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 例9．（2026·高一·黑龙江·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)记平面平面平面，求证：三点共线. 【解析】（1）连接，又点分别为棱的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 连接，又点分别为棱的中点，所以， 在正方体中，， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 又平面平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）因为平面，所以平面， 又平面，所以平面， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面. 所以平面平面， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面. 所以，即三点共线. 题型四：空间直线与直线垂直的证明 例10．（2026·高一·天津滨海新区·期中）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； 【解析】（1）连接，交于，连接． 直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点． 因为点是的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以． 在中，，，，则，所以． 因为，平面，， 所以平面，所以． 例11．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，底面是正方形的直棱柱中，，． (1)求直线与所成角的正弦值； (2)求证：． 【解析】（1）设与的交点为， 直线与所成角为， 由已知，同理可得， 所以， 所以， 因为 ， 所以 . 即直线 与 所成角的正弦值为 . （2）证明：因为 是直棱柱， 所以 平面 . 又因为 平面 ， 所以 . 因为底面 是正方形， 所以 . 又因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面 ， 所以 . 例12．（2026·湖南株洲·模拟预测）在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． (1)求与面所成角的余弦值； (2)证明：． 【解析】（1）由直四棱柱可知平面， 因为平面，所以， 四边形为菱形，则，又，所以， 又因为，平面，所以平面， 则为与平面所成的角， 由，， 由余弦定理可得， 所以，则， 在中，，所以， 在中，， 在中，， 所以在中，， 即与平面所成角的余弦值为； （2）由（1）知平面，又平面，所以. 题型五：直线与平面垂直的证明 例13．（2026·高一·福建厦门·期中）如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【解析】（1）因为分别是的中点，则，又因为，则， 且平面，平面，所以平面. （2）因为底面，则，又因为底面为矩形，则， 因为且平面，平面，所以平面， 由（1）得，所以平面. 例14．（2026·高一·北京顺义·期中）如图，正方体中，为的中点，      (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)证明：平面. 【解析】（1）连接，， 在正方体中， 则，，所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，所以平面. （2） 连接交于，连接，， 因为四边形是正方形，所以为的中点， 在中，因为为的中点，为的中点，所以， 又因为平面，所以平面. （3）在正方体中，平面， 因为平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. 例15．（2026·高一·浙江杭州·期中）在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)证明：平面. 【解析】（1）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，是的中点； 是的中点，为的中位线，则； 平面，平面，平面. （2）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，； ,，，即; 六棱柱是正六棱柱，底面； 底面，； ，平面； 平面，； 底面是正六边形，，，； 底面，底面，； ，； ，，，，四边形为正方形； ，为正方形的对角线，； ，，平面，平面，且， 平面. 题型六：平面与平面垂直的证明 例16．（2026·高一·河北沧州·期中）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 【解析】（1）因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； （2）因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 例17．（2026·高一·北京·期中）如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求证：平面平面. 【解析】（1）如图，连接交于点，连接， 因为是正方形，所以是的中点，又是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为分别是的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. 又平面，且平面，， 所以平面平面. （3）因为平面，平面，所以， 又，平面，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 例18．如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 【解析】如图， 取AB中点O，连接PO，CO. 因为，，所以， 即，且，. 又因为四边形是菱形，， 所以，. 因为，所以，即， 因为平面，平面ABCD，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 变式3．（2026·高二·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，且分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 【解析】（1）由分别是的中点，得且， 又四边形为正方形，则且， 因此且，四边形为平行四边形，则， 而平面，且平面，所以平面. （2）由底面，平面，得， 在正方形中，，而，平面， 则平面，又平面，于是， 而且为的中点，则， 由，且平面，得平面， 又平面，所以平面平面. 题型七：空间平行与垂直的存在性探索问题 例19．（2026·高一·福建泉州·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. (1)求证：平面； (2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）法一：连接，在正方体中，分别是中点， 且，则四边形是平行四边形， ∴，平面平面，所以平面， 法二：连接分别交于点，连接， 如图在正方体中，且， 所以，则，同理得， 所以，则，而平面平面， 所以平面； （2）存在，且，理由如下： 因为，所以， ，而 ， 由平面平面， 所以平面， 法一：取中点P，连接，如图 ，是中点， 是的中位线，则， ∵F为中点，则且， ∴四边形是平行四边形， ， 综上，，平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 法二：延长交于，延长交于，连接，如图： 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，又，即， ∴四边形为平行四边形， 平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 所以时，平面平面. 例20．（2026·高一·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：，分别为，的中点，， 底面是平行四边形，. ，所以点，，，四点共面. （2）由（1）知，因为平面，平面，平面. ，分别为，的中点，， 因为平面，平面，平面. 又，，平面，所以平面平面. （3）线段上存在一点，使得平面，且. 证明如下：取的中点，连接，，， 因为，，分别是，，的中点，，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，此时． 例21．（2026·高一·北京·期中）如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．    (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）如图，连接，与交于点O，连接OD， 因为四边形是平行四边形，所以O为的中点. 又D是棱AC的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）（Ⅰ）选择条件①，. 由D是棱AC的中点，得. 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以. 又，，平面，所以平面，所以. 因为，所以，又， 在和中，， 所以，而， 则，所以， 又，BD，平面，所以平面. 选择条件②：． 因为底面ABC，平面ABC，所以， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以，下同条件①. 选择条件③：，下同条件①. （Ⅱ）当点N为的中点，即时，平面平面． 证明如下：如图，取的中点为M，连接DM、MN， 因为M、D分别为、AC的中点， 所以且， 又N为的中点，所以且， 所以四边形BDMN为平行四边形，故. 由（Ⅰ）知平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 1．（2026·高一·河北·期中）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【解析】对于A：若，，可能落在平面内，此时不满足，A错误； 对于B：若，，与可能是异面直线，不一定平行，B错误； 对于C：若，，可能落在平面内，此时不满足，C错误； 对于D：该命题就是线面平行的性质定理，D正确. 2．（2026·高一·陕西·期中）已知，是两个不同的平面，直线，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】C 【解析】已知直线，直线，，则可以平行，相交或者垂直，不一定有两个平面垂直. 已知直线，直线，，只能说明两个平面的二面角为直角，平面内任意两条直线不一定垂直. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 3．（2026·安徽马鞍山·二模）已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A．， B．， C．， D．，， 【答案】C 【解析】对于选项A：当，时，，所以本选项不符合题意； 对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； 对于选项C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； 对于选项D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 4．（2026·高一·山东济宁·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明． 【解析】（1）证明：设为的中点，连接，． 又因为为的中点，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面 （2）直线与平面平行，证明如下： 因为平面，平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 5．（2026·高一·天津和平·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：. 【解析】（1）取的中点，连接，如图所示. 因为分别是的中点， 所以中，，且. 因为四边形为平行四边形，所以，且. 所以且 所以四边形为平行四边形，所以 又在平面内，在平面外， 所以平面. （2）连接交于点，连接，如图所示. 因为四边形是平行四边形，所以是的中点. 又因为是的中点，在中，根据三角形中位线定理可得. 因为平面在平面外， 根据线面平行的判定定理，得知平面. 因为过点和的平面交平面于，且平面， 根据线面平行的性质定理可得，. 6．（2026·高一·山西·阶段检测）如图，在矩形中，分别为上的点，，将矩形沿折起，使点落在的位置，落在的位置，得到四边形，已知不在平面上． (1)证明：四点共面； (2)证明：平面平面． 【解析】（1）由得， 由两平行直线确定一个平面，可知四点共面． （2）由平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面平面． 7．（2026·高一·吉林长春·期中）如图，在正方体中，、、分别是、、的中点． (1)证明：，，、四点共面． (2)若是线段CG上的动点，证明：平面． 【解析】（1）证明：连接，正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为、分别是、的中点，所以， 所以. 又两条平行线确定一个平面，所以，，、四点共面. （2）取中点，连接，. 正方体中，、为中点，则，， 所以四边形为平行四边形，所以. 正方形中，，， 又、为中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以. 又平面，平面，所以平面. 由（1）知，，同理可得，平面. 又，，平面，所以平面平面. 又平面，所以平面. 8．（2026·高一·辽宁沈阳·期中）如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．设平面PAD与平面PBC的交线为． (1)求证：平面平面PAD； (2)求证：； 【解析】（1）因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，底面ABCD为平行四边形， 所以， 又平面平面， 则平面， 同理平面平面， 可得平面， 又平面， 所以平面平面． （2）因为底面ABCD为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以． 9．如图，三棱锥中，平面平面ABC，，M为AC的中点，， 求证： 【解析】取AB中点N，连接PN，MN，如图所示， 则，而，故， 因为，所以， 又，MN，平面PMN， 所以平面， 因为平面PMN，所以. 10．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. 求证：平面 【解析】取的中点F，连接，如图所示， 由底面是直角梯形，，，， 结合勾股定理计算可得：， ，，，∴四边形是正方形， 则，再由勾股定理可得：，又因为， 则由，所以， 又因为平面，平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面. 11．（2026·高一·北京·期中）已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 【解析】（1）设平面与直线交于. 因为平面平面，设平面平面， 连接，平面平面，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，所以， ∵在正方体中，,所以， 在正方形中，是的中点，所以点是的中点， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，且点是的中点， 所以点是的中点． （2）连接，因为在正方形中，，，，平面， ∴平面，平面，， 同理可证，又，平面， ∴平面，且平面平面， 所以平面，平面，所以； （3）取中点，连接， 因为平面平面，平面平面， 设平面平面，所以， 而,所以,又因为是中点，所以是中点， 连接，设，则是中点， 而G为中点，所以， 又由（2）知平面，所以平面， 而平面，使得平面平面， 又过且与平面垂直的平面存在且唯一， 故当且仅当G为中点时，平面平面. 连接， 又因为 ， 所以. 12．如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 13．（2026·高一·广东惠州·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，面面，是的中点. (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，说明理由. 【解析】（1）证明：设，连接， 因为底面是正方形，所以为的中点， 因为是的中点，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面 （2）因为底面是正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以, 因为为等边三角形，是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设正方形的边长为2，则， 因为平面，平面，所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）存在，当时，平面平面， 因为平面，平面平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 设，则，所以， 由（2）知平面， 因为平面，所以，所以， 因为， ， 所以， 所以，得，解得， 所以当时，平面平面. 14．（2026·高一·湖南·阶段检测）如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面． 因为平面，所以. 因为是等边三角形，D为的中点，所以. 因为，平面，且， 所以平面． （2）如图，取的中点，连接，，则， 则是异面直线与CD所成的角或补角. 设，则，，，， 故， 即异面直线与CD所成角的余弦值为. （3）在中，作，垂足为E. 因为平面，且平面， 所以. 因为平面，且， 所以平面. 因为平面BCE，所以平面平面. 设，则，，故. 因为， 所以， 则，， 所以. 故在上存在点E，使得平面平面，此时. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $第11讲立体几何中点线面的位置关系及平行垂直问题 目录 01题型归纳目录.. .2 02知识点梳理 .3 知识点1、证明空间中直线、平面的平行关系 0…3 知识点2、证明空间中直线、平面的垂直关系.... 03重难点题型… .5 题型一：空间点、线、面的位置关系判定. .5 题型二：直线与平面平行的证明.... .5 题型三：平面与平面平行的证明.... .7 题型四：空间直线与直线垂直的证明...。 .8 题型五：直线与平面垂直的证明.... ...10 题型六：平面与平面垂直的证明.... ...11 题型七：空间平行与垂直的存在性探索问题 .13 04过关检测… 15 1/21 01 题型归纳目录 题型一：空间点、线、面的位置关系判定 题型五：直线与平面垂直的证明 题型二：直线与平面平行的证明 题型六：平面与平面垂直的证明 题型归纳 题型三：平面与平面平行的证明 题型七：空间平行与垂直的存在性探索问题 题型四：空间直线与直线垂直的证明 2/21 知识点梳理 知识点1、证明空间中直线、平面的平行关系 (1)证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线a与平面α没有公共点，一般结合反证法证明： ②利用线面平行的判定定理，即线线平行→线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面， 同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段： ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行： (2)证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合： ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线： ④证明两个平面同时平行于第三个平面， (3)证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理： 知识点2、证明空间中直线、平面的垂直关系 (1)证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高： ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直： ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零： ⑥线面垂直的性质(aLa,bca→aLb): ⑦平行线垂直直线的传递性(a上c,a∥b→b⊥c). (2)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义： ②线面垂直的判定(aLb,aLc,cca,bC,b∩c=P→a1): ③面面垂直的性质(a⊥B,a∩B=b,a⊥b,aCa一aLP): 3/21 平行线垂直平面的传递性(a1,b∥a→b⊥a): ⑤面面垂直的性质(a1Y,B⊥y,a∩B=1→11y). (3)证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义： ②面面垂直的判定定理(a上B,aC→⊥B). 4/21 03 重难点题型 题型一：空间点、线、面的位置关系判定 例1.(2026高一河南新乡阶段检测)设I,m,n是三条不同的直线，，P,Y是三个不同的平面， 则下列命题为真命题的是() A.若l⊥m,1⊥n,则m/ln B.若a⊥Y,B⊥y,则al"B C.若lca,a⊥B,则I⊥B D.若a⊥B,B⊥y,a∩y=n,则n⊥B 例2.(2026高一重庆沙坪坝期中)已知空间中两条不同的直线m,”,两个不同的平面a,阝，以下可以 得到m/IP的是() A.mlln,nCB B.mca,nCB,m//n C.直线m上有两个不同的点到B的距离相等 D.allB,mca 例3.(2026高一山东菏泽阶段检测)m,n表示两条直线，a,B表示两个平面，若mCa,a1/p, 则“m上n”是“n上B”() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也不必要条件 变式1.(2026高一海南阶段检测)已知a,b是两条不同的直线，α，B是两个不同的平面，以下说法 正确的是() A.若a∥a,b∥a,则a∥b B.若a∥b,a∥a,则b∥a c.若anB=l,aca,bcB,则a与b相交 D.若ada,bca,则a与b至多有一个公共点 题型二：直线与平面平行的证明 例4.(2026高一·宁夏期末)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC1/平面PAD,2BC=AD,E是 PD的中点： 5/21 B (1)求证：BC/1AD: (2)求证：CE11平面PAB. 例5.(2026高一·河北邢台期中)如图，在棱长为4的正方体ABCD-ABCD中，点M,V分别在线段 BD,AD上，且BM=AN=√2 D C M A B ⊙ (1)证明：MN/平面CDD,C. (2)记过MN且与BC平行的平面为a,平面a与直线BC交于点P,求B,P的长. 例6.(2026高一陕西铜川期中)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面 PAD为正三角形，M为线段PD上一点，N为BC的中点. 6/21 p M D 子 N (1)当M为PD的中点时，求证：MNI/平面PAB. PM (2)当PB/平面AMN时，求MD的值，并说明理由. 变式2.(2026高一浙江温州期中)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，BC11AD, BC-)AD,面PBCn面P4D=1E是PD的中点， 2 D E M A C (1)求证：CE/1平面PAB: (2)求证：111AD； 题型三：平面与平面平行的证明 例7.（2026高一陕西成阳期中)）如图，四棱锥p-ABCD中，B=8C-4D, ADIIBC,E,E,H分别 为线段AD,PC,CD的中点，AC与BE交于O点. 7/21 D B C (1)求证：APW平面BEF: (2)求证：平面OFH∥平面PAD (3)设平面PBC交平面PAD于直线. ①求证：BC∥1； Vp-ABC的值. ②求VF-EHD 例8.(2026高一北京期中)如图，在正方体ABCD-AB,CD中，E为DD的中点. 0 C A B A B (1)求证：BD/平面AEC: (2)陬CC中点F,求证：平面AEC11平面BFD (3)求异面直线AE与DB所成角的余弦值. 例9.(2026高一·黑龙江·期中)如图，在正方体ABCD-ABCD中，点E,F,G分别为棱AD,AB,DC 的中点 8/21 G A B B (1)求证：平面AEF/1平面GBD: (2)记AC∩平面GBD=P,AG∩平面GBD=2,CC∩平面GBD=R,求证：P,Q,R三点共线， 题型四：空间直线与直线垂直的证明 例10.(2026·高一天津滨海新区·期中)如图，已知在直三棱柱ABC-4BC中，AC=3,AB=5, BC=4,A4=4,点D是AB的中点 C A -------B D (1)求证：AC/1平面CDB,: (2)求证：AC⊥CB: 例11.(2026湖南长沙模拟预测)如图，底面是正方形的直棱柱ABCD-AB,CD中，AB=3,A4=4. 9/21 D C A B D A B (1)求直线DB与AC所成角的正弦值： (2)求证：AC⊥D,B 例12.(2026湖南株洲-模拟预测)在直四棱柱ABCD-AB,CD,中，底面ABCD是菱形，边长为1， ∠ADC=-120°，DD=2,O为AC的中点. D C D (1)求D,C与面DOD所成角的余弦值： (2)证明：D,O1AC 题型五：直线与平面垂直的证明 例13.(2026~高一·福建厦门期中)如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,E,F 分别是PC,PD的中点. 10/21 (1)求证：EF∥平面PAB: (2)求证：EF⊥平面PAD. 例14.(2026高一北京顺义期中)如图，正方体ABCD-AB,CD中，E为DD的中点， D A B B (1)证明：AC/1平面AEC: (2)证明：BD1I平面AEC: (3)证明：AC⊥平面BDD. 例15.(2026高一浙江杭州期中)在正六棱柱ABCDEF-AB,CD,EF中，AB=1,A4=V5,O为下底面 ABCDEF的中心，M为侧棱DD的中点： E A B M O. (1)求证：MO/1平面ABD,E: 2)证明：BDL平面ABDE. 11/21 题型六：平面与平面垂直的证明 例16.(2026高一河北沧州期中)如图，己知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，点C在 底面圆周上，点D为BC的中点. P B (1)证明：OD11平面PAC: (2)证明：平面POD⊥平面PBC. 例17.(2026高一北京期中)如图，在正方体ABCD-AB,CD,中，E,F分别为DD,CC的中点， D A E B B (1)求证：BDII平面ACE: (2求证：平面BFD/平面ACE: (3)求证：平面BDD⊥平面ACE. 例18.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2,PA=PB=V2.证明： 12/21 平面PAB⊥平面ABCD 4 B 变式3.(2O26高二广东深圳期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD是正 方形，PD=DC,且E,F,G分别是PC,PB,AD的中点： D G A B (1)求证：GFI1平面PCD: (2)求证：平面DEFG⊥平面PBC 题型七：空间平行与垂直的存在性探索问题 例19.(2026高一福建泉州期中)如图，在正方体ABCD-ABCD,中，点G,E,F,P分别为棱 8,DG,BC,4的中点，点M是楼40上的-点，且M0=4D 13/21 D A B D- G B (1)求证：DG1I平面DBFE: AN 2]棱AB上是否存在一点N使平面PMN1平面DBFE?若存在，求4B的值：若不存在，请说明理由. 例20.(2026高一·福建泉州期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M,N, Q分别为BC,PA,PB的中点 B (1)求证：点Q,N,C,D四点共面 (2)求证：平面MNO/I平面PCD PE 3)在线段PD上是否存在一点E'使得MN11平面ACE?若存在，求出PD的值：若不存在，请说明理由. 例21.(2026高一北京期中)如图，在直三棱柱ABC-4B,C中，D是棱AC的中点，且AC=4, A4=2V2 14/21 B C D (1)求证：BC11平面ABD, (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： (I)求证：AC⊥平面ABD: BN (Ⅱ)在棱BB上是否存在点N,使得平面ACNL平面ACCA？如果存在，求出BB的值：如果不存在， 请说明理由 条件①：AB=BC: 条件②：BD⊥4D: 条件③：BD⊥AC」 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分. 15/21 过关检测 1.(2026高一·河北期中)已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列说法正确的 是() A.若m/1a,m/ln,则nlla B.若m/a,nca,则mlln C.若m/ln,nc,则m//a D.若m/la,mcB,a∩B=n,则mllm 2.(2026高一陕西期中)己知a,P是两个不同的平面，直线lca,直线mcP,则“11m”是“ a上B”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 3.(2026安徽马鞍山二模)已知直线m,n与平面a,B,y,则C1B的一个充分条件是() A.m⊥a,m⊥B B.a⊥y,B⊥Y c.m⊥B,mca D.a∩B=n,mca,m⊥n 4.(2026高一山东济宁·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，且 ADIIBC,AD=2BC,且E为PD的中点. (1)求证：CE∥平面PAB: (2)设平面PAB与平面PCD的交线为l,试判断直线I与平面ACE的位置关系，并证明. 5.(2026高一天津和平期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M,N分别是 AB,PC的中点： 16/21 N M B (1)求证：MN∥平面PAD: (2在DN上取一点G(不与D,N重合)，设过点G和PA的平面交平面BDN于GH,求证：PA∥GH. 6.(2026高一·山西阶段检测)如图，在矩形BCEF中，A,D分别为BF,CE上的点，AD/EF,将矩形 ADEF沿AD折起，使点E落在E的位置，F落在F的位置，得到四边形ADE,F,己知EF不在平面 ABCD上 D (1)证明：B,C,E,F四点共面； (2)证明：平面ABF∥平面CDE. 7.(2026高一吉林长春期中)如图，在正方体ABCD-ABCD中，E、F、G分别是DD、CD、BB 的中点. D C B A E G P D F - B 17/21 (1)证明：A,B,E、F四点共面. (2)若P是线段CG上的动点，证明：PD/1平面ABFE. 8.(2026高一·辽宁沈阳期中)如图，正四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形.M、N、Q分别为PC、 CD、AB的中点.设平面PAD与平面PBC的交线为I. M B (1)求证：平面MN0/I平面AD: (2求证：BC1: 9.如图，三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,AB⊥BC,M为AC的中点，AB=BC=2, AP=BP=3. 求证：AB⊥PM 18/21 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD/IBC,AB⊥BC,AB=BC=1, AD=2,PA⊥平面ABCD,PA=2, A B C 求证：CD⊥平面PAC 11.(2026高一北京期中)己知正方体ABCD-ABCD棱长为4，F是BC的中点，点E是DC上一点， H是AA上一点，且平面EFH/平面DAC, D A B H A B (1)求证：点E是DC的中点. (2)求证： EF⊥DB (3)棱CD上是否存在点G使得平面EFG⊥平面EFH,若存在，求出三棱锥E-FGH的体积，若不存在， 说明理由. 12.如图，在几何体ABCDE中，EA⊥平面ABC,EA∥DC,AB LAC,EA=AB=AC=2DC,M是线 段BD上的动点. 19/21 D M B (1)当M是线段BD的中点时，求证：BC⊥平面MEA DM (2)是否存在点M,使得平面MEA1平面EBD？若存在，求MB的值：若不存在，请说明理由. 13.(2026高一广东惠州期末)如图，在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面QAD是正三 角形，面QAD⊥面ABCD,M是QD的中点 1)求证：QB∥平面AMC: (2)求直线AC与平面QCD所成角的正弦值： ON 3)在棱QC上是否存在点N使平面BDN⊥平面AMC成立？如果存在，求出NC如果不存在，说明理由· 14.(2026高一湖南阶段检测)如图，在正三棱柱ABC-ABC中，AB=V5AA,D为AB的中点 20/21 A B (1)证明：AB⊥平面CCD (2)求异面直线BC与CD所成角的余弦值. CE (3)在CD上是否存在点E,使得平面BCE⊥平面ABC,？若存在，求出ED的值；若不存在，说明理由. 21/21