13.2.2 第2课时 异面直线(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“异面直线”核心知识点，系统梳理异面直线的定义、判定定理（过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线异面）及所成角的概念（平移后所成锐角或直角），衔接空间直线位置关系，为空间几何学习搭建基础支架。 资料以长方体模型问题导入，结合直观图形培养直观想象，通过判定定理符号化表述提升数学抽象，例题涵盖判定、求角及垂直证明，通性通法总结助力数学运算。课中辅助教师引导探究，课后习题帮助学生巩固，有效查漏补缺。

第2课时　异面直线 【基础落实】 知识点 1.不经过该点　2.锐角　90° 想一想 　提示：因为a'∥a，b'∥b，根据等角定理，a'，b'所成的锐角（或直角）等于a，b所成的锐角（或直角），与点O的选择无关.不过为了方便计算异面直线所成角的大小，点O常在异面直线中的某一条上取，常取某些特殊点. 自我诊断 1.ACD　根据异面直线的定义可知异面直线共3对：AP与BC， CP与AB， BP与AC.故选A、C、D. 2.60°　解析：如图，由正方体性质可得BC1∥AD1，所以直线AC和直线BC1所成的角等于∠D1AC，又易知△D1AC为等边三角形，所以∠D1AC＝60°. 【典例研析】 【例1】　①②③④　解析：因为直线DC⊂平面BCD，直线AB⊄平面BCD，点B∉直线DC，所以由异面直线的判定定理可知，①正确；同理，②③④正确. 跟踪训练 解：三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH. 还原的正方体如图所示. 【例2】　解：（1）∵CG∥FB， ∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角. 在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°， ∴BE与CG所成的角为45°. （2）如图，连接FH， ∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD， AE＝HD， ∴FB＝HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO是FO与BD所成的角， 连接HA，AF， 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°， ∴FO与BD所成的角为30°. 跟踪训练 　解：如图所示，取AC的中点G， 连接EG，FG， 则EG∥AB且EG＝AB， GF∥CD且GF＝CD. 由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角. ∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°， 由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°， 故EF与AB所成角的大小为15°或75°. 【例3】　证明：如图，连接BD，交AC于点O，取BB1的中点E，连接OE， 则OE∥B1D， 所以OE与AC所成的角即为B1D与AC所成的角. 连接AE，CE. 易证AE＝CE， 又O是AC的中点， 所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D. 跟踪训练 　解：取BC的中点M，连接ME，MF，如图，则ME∥AC，MF∥BD，∴ME与MF所成的锐角（或直角）即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°， ∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°. ∵ME＝AC，MF＝BD，BD＝AC＝2， ∴ME＝MF＝1. 当∠EMF＝60°时，EF＝ME＝MF＝1； 当∠EMF＝120°时，取EF的中点N， 连接MN，则MN⊥EF， ∴EF＝2EN＝2EM·sin∠EMN＝2×1×＝. 故EF的长度为1或. 随堂检测 1.B　如图所示，由正方体的性质易知当P为A1C1的中点时，P为B1D1的中点，而DD1∥BB1，所以B，D，D1，B1四点共面，则BP，DD1在平面BDD1B1上，故A不符合题意；因为AA1∥CC1，即A，C，C1，A1四点共面，易知P∈平面ACC1A1，而B∉平面ACC1A1，P∈A1C1，P∉AC，故BP与AC异面，故B符合题意；当P，C1重合时，易知AB∥D1C1，AB＝D1C1，则四边形ABC1D1是平行四边形，则此时AD1∥BP，故C不符合题意；当P，C1重合时，显然B1C，BP相交，故D不符合题意. 2.C　如图，连接FE，BD，C1D，C1B，因为E，F分别为棱AB，AD的中点，所以FE∥BD，所以∠DBC1为EF与BC1所成角，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD＝C1D＝C1B，所以△BDC1为等边三角形，所以∠DBC1＝60°.故选C. 3.D　①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，MN必相交.故选D. 4.90°　45°　解析：∵B'C'∥BC，∠A'B'C'＝90°，∴A'B'与BC所成的角为90°，又CC'∥DD'，∠DD'A＝45°，∴AD'与CC'所成的角为45°. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　异面直线 课标要求 1.理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是不是异面直线（数学抽象、直观想象）. 2.理解异面直线所成角的概念（直观想象、数学运算）. 　　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C. 【问题】　（1）直线A1C与B1B具有怎样的位置关系？ （2）图中还有哪些直线与直线A1C是异面直线？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　异面直线 1.异面直线的判定与几何表示 画 法 图形表示如图所示（通常用一个或两个平面衬托） 判定 定理 文字表述 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内　　　　　的直线是异面直线 符号表述 若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线 2.异面直线所成的角 定义 a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a'∥a，b'∥b，把直线a'和b'所成的　　　　（或直角）叫作异面直线a，b所成的角或夹角 范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°＜θ≤90° 特殊情况 当θ＝　　　时，a与b互相垂直，记作a⊥b 【想一想】 为什么a'，b'所成角的大小与点O的选择无关？ 1.〔多选〕如图，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在直线中，是异面直线的有（　　） A.AP与BC B.BP与BC C.CP与AB D.BP与AC 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC和直线BC1所成的角的大小为　　　　. 题型一｜异面直线的判定 【例1】　如图所示，在三棱锥A-BCD中，E，F是棱AD上异于A，D的两个不同点，G，H是棱BC上异于B，C的两个不同点，给出下列说法： ①AB与CD互为异面直线；②FH分别与DC，DB互为异面直线；③EG与FH互为异面直线；④EG与AB互为异面直线. 其中说法正确的是　　　　.（填序号） 通性通法 判定异面直线的方法 （1）定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在一个平面内； （2）利用异面直线的判定定理； （3）反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可. 【跟踪训练】 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？ 题型二｜异面直线所成的角 【例2】　（链接教科书第172页例3）如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： （1）BE与CG所成的角的大小； （2）FO与BD所成的角的大小. 通性通法 求两条异面直线所成角的步骤 （1）恰当选点，用平移法构造出一个相交角； （2）证明这个角就是异面直线所成的角（或补角）； （3）把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数； （4）给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角. 【跟踪训练】 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小. 题型三｜异面直线所成角的应用 【例3】　如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，求证：AC⊥B1D. 通性通法 证明两条直线垂直的策略 （1）对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明； （2）对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明. 【跟踪训练】 如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD与AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2，求EF的长度. 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（　　） A.DD1　 B.AC　　 C.AD1　 D.B1C 2.（2025·镇江期末）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，AD的中点，则EF与BC1所成角的大小为（　　） A.30°　 B.45°　　 C.60°　 D.90° 3.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形有（　　） A.①②　 B.①③　　 C.②③　 D.②④ 4.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，异面直线A'B'与BC所成的角的大小为　　　　.异面直线AD'与CC'所成的角的大小为　　　. 提示：完成课后作业　第十三章　13.2　13.2.2　第2课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $