12.2 第1课时 复数的加法、减法、乘法运算(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦复数的加法、减法、乘法运算及共轭复数核心知识点，从实数运算引入复数加法法则与运算律，以加法逆运算定义减法，类比多项式乘法构建复数乘法法则，结合共轭复数定义及性质形成完整知识链，通过知识点分点、问题引导搭建学习支架。 资料以问题驱动（如“复数加法是否满足交换律”）培养数学抽象，通过通性通法总结（如加减类比合并同类项）提升数学运算能力，题型分类配合跟踪训练，课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 12.2复数的运算 第1课时复数的加法、减法、乘法运算 【基础落实】 知识点一 1.(a+c)+(b+d)i2.(1)z2+31(2)21+(z2+z3) 知识点二 1.(a+bi)-(c+di)2.(a-c)+(b-d)i 想一想 提示：实部与虚部分别相加（减）· 知识点三 1.(ac-bd)+(bc+ad)i2.(1)221(2)a1(z223) （3)2122十3133 想一想 1.提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把2换成一1，再把 实部、虚部分别合并。 2.提示：仍然成立，乘法公式也适用. 知识点四 1.(1)相等互为相反数(2)a一bi 2.(1)它本身 自我诊断 1.BC对于A,复数与复数相加减后结果为确定的复数，故A错误；B、C正确；对于D,根据复 数的运算法则可知(31一22)一23=1一(22十23)是成立的，故D错误.故选B、C. 2.B根据复数的加法法则得1十2=(3+4i)十(3-4i)=6.故选B. 3.3-2i13解析：2=3-2i,z·z=(3+2i)(3-2i)=9-4i2=9+4=13. 【典例研析】 【例1】(1)-10i(2)-1+10i 解析：(1)(5-5i)+(-2-2i)-(3+3i)=(5-2-3)+[-5+(-2)-3]i=-10i. (2)因为21=x+2i,32=3-yi,31+22=5-6i,所以(3+x)+(2-y)i=5-6i,所以 1/3 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3+8=5, (X=2, {2-y=-6,所以{y=8,所以a1-2=(2+2i)-(3-8i)=(2-3)+[2-(-8)]i=-1+ 10i. 跟踪训练 1.-2-8i解析：-i-（-1+5i)+(-2-3i)+(i-1)=-i+1-5i-2-3i+i-1=-2-8i. （&-2a-3=0, 2.3解析：由条件知21十2=a2-2a-3+(a2-1)i,又21+是纯虚数，所以{-1≠0， 解得a=3. 【例2】(1)C(2)53+23i 解析：(1).'(a+i)(1-ai)=a+i-a2i-ai2=2a+(1-a2)i>0,则复数2a+(1-a2)i为 实数，∴.2a>0且1一a2=0,解得a=1.故选C (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-52)(3-4i)+2i=(3+11i)(3 4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i. 跟踪训练 1.D(1-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+2-(4-9i2)=-13-2i.故选D. 2.一1解析：，(m2+i)（1+mi)=m2-m+(m3+1)i是实数，.m3+1=0,则m=一1. 【例3】解：设z=x+yi(x,y∈R),则z=x-yi. ,z·2+2iz=4+2i,.x2+y2+2i(x+yi)=4+2i, ∴.(x2+y2-2y)+2xi=4+2i, （x2+y2-2y=4,（x=1,（X=1, …12x=2, 解得{y=3或1y=-1, .z=1十3i或z=1-i. ∴.z的共轭复数为2=1一3i或2=1十i. 跟踪训练 解：设z=a十bi(a,b∈R),则z=a-bi. 由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i, 即a2+b2-3b-3ai=1+3i, +b-3b=1,mm∫a=-1,∫a=-1, 则有1-3a=3, 解得1b=0 或{b=3, 所以z=一1或z=-1+3i. 2/3 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 随堂检测 1.B因为(1一i)+(2+3i)=a+bi,即3+2i=a+bi,所以a=3,b=2,所以a-b=1.故选 B. 2.Az=(3+i)十（一3-2i)=(3-3)+(1一2）i=一i,则z=i,复数z的虚部为1.故选A. 3-1-1解折：2+1 3i=3i(1+i)十2=-1+3i,∴其共轭复数为-1-31. 4.2+i解析：设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi.∴.(1+2i)(a-bi)=4+3i,∴.a-bi+2ai （a+2b=4, +2b=4+3i,即(a+2b)+(2a-b)i=4+3i,,12a-b=3,解得a=2,b=1..z=2+i 3/3 ·独家授权侵权必究· 第1课时　复数的加法、减法、乘法运算 课标要求 1.掌握复数代数形式的加、减运算（数学运算）. 2.理解复数乘法的运算法则，能进行复数的乘法运算（数学抽象、数学运算）. 3.掌握共轭复数的概念及应用（数学抽象、数学运算）. 　　我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律. 【问题】　复数中的加法满足交换律与结合律吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　复数的加法运算及运算律 1.复数的加法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则（a＋bi）＋（c＋di）＝　　　　　　. 即两个复数相加就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加. 2.复数加法满足的运算律 对任何z1，z2，z3∈C，有： （1）交换律：z1＋z2＝　　　　； （2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝　　　　　　. 知识点二　复数的减法运算 1.复数的差 把满足（c＋di）＋（x＋yi）＝a＋bi的复数x＋yi（x，y∈R）叫作复数a＋bi减去c＋di所得的差，记作　　　　　　　　. 2.复数的减法法则 （a＋bi）－（c＋di）＝　　　　　　　　. 即两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减. 　　提醒：复数的减法是加法的逆运算. 【想一想】 　对于多个复数相加（减）应该如何运算呢？ 知识点三　复数的乘法运算 1.复数的乘法法则 （a＋bi）（c＋di）＝　　　　　　　　. 2.复数乘法的运算律 对任何z1，z2，z3∈C，有： （1）交换律：z1z2＝　　　　； （2）结合律：（z1z2）z3＝　　　　　　； （3）分配律：z1（z2＋z3）＝　　　　　　. 　　提醒：（1）两个复数的积仍是一个复数；（2）复数的乘法法则与多项式的乘法法则类似. 【想一想】 1.复数的乘法与多项式乘法有何不同？ 2.多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？ 知识点四　共轭复数 1.共轭复数的定义 （1）把实部　　　　、虚部　　　　　　的两个复数叫作互为共轭复数； （2）记法：复数z＝a＋bi（a，b∈R）的共轭复数记作，即＝　　　　. 2.共轭复数的性质 （1）当复数z＝a＋bi（a，b∈R）的虚部b＝0时，z＝，也就是说，实数的共轭复数是　　　　； （2）z·＝a2＋b2. 1.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.复数与复数相加减后结果只能是实数 B.在进行复数加减乘的混合运算时，先乘再加减 C.在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部 D.复数的减法不满足结合律，即（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）可能不成立 2.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝（　　） A.8i　 B.6 C.6＋8i　 D.6－8i 3.已知z＝3＋2i，则＝　　　　，z·＝　　　　. 题型一｜复数的加、减运算 【例1】　（1）（链接教科书第123页例1）计算：（5－5i）＋（－2－2i）－（3＋3i）＝　　　　； （2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝　　　　. 通性通法 复数加（减）运算的法则 （1）复数代数形式的加（减）运算实质就是将实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部； （2）复数的加（减）运算可以类比多项式的运算（类似于合并同类项）：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算. 【跟踪训练】 1.－i－（－1＋5i）＋（－2－3i）＋（i－1）＝　　　　. 2.已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝　　　　. 题型二｜复数的乘法运算 【例2】　（链接教科书第124页例2、例3）（1）设a∈R，（a＋i）（1－ai）＞0，则a＝（　　） A.－2　 B.－1 C.1　 D.2 （2）计算：（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i＝　　　　. 通性通法 复数的乘法运算法则的应用 （1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简； （2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等. 【跟踪训练】 1.计算：（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝（　　） A.2－13i　 B.13＋2i C.13－13i　 D.－13－2i 2.若复数（m2＋i）（1＋mi）是实数，则实数m＝　　　　. 题型三｜共轭复数及其应用 【例3】　复数z满足z·＋2iz＝4＋2i，求复数z的共轭复数. 通性通法 1.有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：（1）设z＝a＋bi（a，b∈R），则z·＝a2＋b2；（2）z∈R⇔z＝. 2.紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础. 【跟踪训练】 　已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z. 1.若（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a－b＝（　　） A.5　　　　　　　 B.1 C.0　 D.－3 2.已知i是虚数单位，则复数z＝（3＋i）＋（－3－2i）的共轭复数的虚部是（　　） A.1　 B.i C.－1　 D.－i 3.定义一种运算：＝ad－bc.则复数的共轭复数是　　　　. 4.若复数z满足（1＋2i）＝4＋3i，则z＝　　　　. 提示：完成课后作业　第十二章　12.2　第1课时 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $