12.1 复数的概念(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦高中数学复数的概念这一核心知识点，从数集扩充的历史脉络（自然数集到实数集的扩充）引入，通过方程无解问题提出复数引入的必要性，系统梳理虚数单位、复数代数形式（a+bi）、实部虚部、分类（实数、虚数、纯虚数）及复数相等的充要条件，构建完整的知识支架。 资料以历史发展和问题驱动设计，通过数集扩充过程培养数学抽象素养，设置“方程x²=-1无解”问题激发探究欲，体现数学眼光。例题涵盖概念辨析、分类讨论（如m为何值时复数为虚数/纯虚数），强化逻辑推理，课中辅助教师清晰授课，课后练习帮助学生巩固，查漏补缺。

12.1　复数的概念 【基础落实】 知识点一 1.虚数单位　（1）－1　（2）实数 2.全体复数　3.实部　虚部 知识点二 　实部　虚部　实部　虚部 自我诊断 1.ABD　对于A，当a＝0，b＝0时，a＋bi为实数，故A错误；对于B，若z＝3－2i，则a＝3，b＝－2，故B错误；对于C，若b＝0，则a＋bi为实数，故C正确；对于D，若a＝b＝0，则z是实数，故D错误.故选A、B、D. 2.C　依题意得a－2＝0，∴a＝2.故选C. 3.0　3　解析：依题意得即 【典例研析】 【例1】　解：（1）－2＋i，＋i，，－i，i，0的实部分别为－2，，，0，0，0；虚部分别为，1，0，－，1，0. （2）根据各数集的含义可知，N*⫋N⫋Z⫋Q⫋R⫋C. 跟踪训练 1.B　根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数.因此只有B正确.故选B. 2.4　解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4. 【例2】　解：（1）当即m≠5且m≠－3时，z是虚数. （2）当即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. （3）当即m＝5时，z是实数. 母题探究 1.解：因为z＞0，所以z为实数，需满足 解得m＝5. 2.解：∵z是虚数，∴lo（3－m）≠0，且1＋m＞0， 即∴－1＜m＜2或2＜m＜3. ∴m的取值范围为（－1，2）∪（2，3）. 跟踪训练 1.A　根据纯虚数的概念知，解得a＝1，所以实数a的值是1.故选A. 2.C　复数a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或｜a－1｜－1＝0，解得a≠－1.故选C. 【例3】　解：（1）由复数相等的充要条件， 得解得 （2）设方程的实根为x＝m， 则原方程可变为3m2－m－1＝（10－m－2m2）i， 所以 由②解得m＝2或m＝－， 分别代入①式，得a＝11或a＝－. 跟踪训练 1.－　－　解析：由题意得解得 2.解：因为a，m∈R，所以由复数相等的充要条件， 可得 解得或 所以a＝±. 随堂检测 1.A　复数z＝1＋i的实部为1，虚部为1，复数z＝1＋i不能与0 比较大小，且不是纯虚数.故选A. 2.BC　对于A，当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数，故A错误；对于B，若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－1，故B正确；对于C，若b＝0，则a＋bi＝a为实数，故C正确；对于D，i的平方为－1，故D错误.故选B、C. 3.1　解析：由题意得即m＝1. 4.解：因为z＜0， 所以z∈R，所以所以k＝2. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.1　复数的概念 课标要求 1.通过方程的解，了解引进复数的必要性（数学抽象）. 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件（逻辑推理）. 　　随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充，它的每一次扩充，解决了某些运算在原有数集中不能实施的矛盾，数集的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解： 　　在自然数集中，方程x＋4＝3无解，为此引入负数，数集扩充到整数集； 　　在整数集中，方程2x＝5无解，为此引入分数，数集扩充到有理数集； 　　在有理数集中，方程x2＝7无解，为此引入无理数，数集扩充到实数集. 【问题】　在实数集中，类似x2＝－1的方程无解，能否引入一种新数，使得方程有解并将实数集进行扩充呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　复数的概念及分类 1.虚数单位：引入一个新数i，叫作　　　　　，并规定： （1）i2＝　　； （2）　　　　可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立. 2.复数的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫作复数.　　　　　　所组成的集合叫作复数集，记作C. 3.复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫作复数z的　　　　与　　　　. 4.复数的分类 （1）复数z＝a＋bi（a，b∈R） （2）集合表示 知识点二　复数相等 　如果两个复数的　　　　与　　　　分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即a＋bi＝c＋di⇔这就是说，两个复数相等的充要条件是它们的　　　　和　　　　分别相等. 　　提醒：在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立. 1.〔多选〕对于复数z＝a＋bi（a，b∈R），则下列结论中错误的是（　　） A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B.若z＝3－2i，则a＝3，b＝2 C.若b＝0，则a＋bi为实数 D.若a＝b＝0，则z不是复数 2.已知a∈R，若a－1＋（a－2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（　　） A.1　　　　 　　 B.－1 C.2　 D.－2 3.已知x－3i＝（8x－y）i（x，y∈R），则x＝　　　　，y＝　　　　. 题型一｜复数的概念 【例1】　（1）（链接教科书第120页例1）写出下列复数的实部和虚部：－2＋i，＋i，，－i，i，0； （2）判断N*，N，Z，Q，R，C的关系. 通性通法 复数概念的几个关注点 （1）复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b； （2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分； （3）如果两个复数都是实数可以比较大小，否则不能比较大小. 【跟踪训练】 1.设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关系为（　　） A.A⫋B⫋C　 B.B⫋A⫋C C.B⫋C⫋A　 D.A⫋C⫋B 2.若复数z＝（2a－1）＋（3＋a）i（a∈R）的实部与虚部相等，则a＝　　　　. 题型二｜复数的分类 【例2】　（链接教科书第120页例2）当m取何值时，复数z＝＋（m2－2m－15）i是： （1）虚数？（2）纯虚数？（3）实数？ 【母题探究】 1.（变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z＞0. 2.（变条件，变设问）已知z＝log2（1＋m）＋[lo（3－m）]i（m∈R），若z是虚数，求m的取值范围. 通性通法 复数分类问题的求解方法与步骤 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部； （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可； （3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R）， ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 【跟踪训练】 1.若复数z＝（a2＋2a－3）＋（a＋3）i是纯虚数，则实数a的值是（　　） A.1　 B.3 C.－3　 D.－1 2.若复数a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是纯虚数，则（　　） A.a＝－1　 B.a≠－1且a≠2 C.a≠－1　 D.a≠2 题型三｜复数相等 【例3】　（1）（链接教科书第121页例3）若（x＋y）＋yi＝（x＋1）i，求实数x，y的值； （2）关于x的方程3x2－x－1＝（10－x－2x2）i有实根，求实数a的值. 通性通法 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解； （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. 【跟踪训练】 1.已知x，y∈R，若（x－3y）＋（2x＋y）i＝－i＋1，则x＝　　　　，y＝　　　　. 2.已知（a2＋am）＋2ai＝－2－mi（a，m∈R），求实数a的值. 1.已知复数z＝1＋i，则下列结论正确的是（　　） A.z的实部为1　 B.z的虚部为i C.z＞0　 D.z是纯虚数 2.〔多选〕对于复数a＋bi（a，b∈R），下列说法正确的是（　　） A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B.若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－1 C.若b＝0，则a＋bi为实数 D.i的平方等于1 3.若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为纯虚数，则实数m的值为　　　　. 4.已知复数z＝k2－3k＋（k2－5k＋6）i（k∈R），且z＜0，求实数k的值. 提示：完成课后作业　第十二章　12.1 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $