章末检测（九）平面向量-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

章末检测（九）　平面向量 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量a＝（2，0），b＝（－1，－1），则下列结论正确的是 （　　） A. a·b＝3 B. a∥b C. b⊥（a＋b） D. ｜a｜＝｜b｜ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·必修第二册（SJ） 解析： 　对于A，a·b＝2×（－1）＋0×（－1）＝－2，故A错误；对 于B，2×（－1）－（－1）×0≠0，a与b不平行，故B错误；对于C， b·（a＋b）＝b·a＋｜b｜2＝－2＋2＝0，所以b⊥（a＋b），故C正 确；对于D，｜a｜＝2，｜b｜＝ ，所以｜a｜≠｜b｜，故D错误.故 选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 2. 已知平面向量a＝（1，0），b＝（－1，2），则a在b上的投影向量为 （　　） A. （ ，－ ） B. （－ ， ） C. （－ ， ） D. （ ，－ ） √ 解析： 　a·b＝－1×1＋0×2＝－1，｜b｜＝ ＝ ， 则a在b上的投影向量为 · ＝ · ＝－ b＝（ ，－ ）.故 选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 3. 已知A，B，C为圆O上的三点，若 ＋ ＝ ，圆O的半径为2， 则 · ＝（　　） A. －1 B. －2 C. 1 D. 2 解析： 　如图所示， ＋ ＝ ，∴四边形OABC是 菱形，且∠AOC＝120°.又圆O的半径为2，∴ · ＝ 2×2× cos 60°＝2.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 4. 两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为（　　） A. 40 N B. 10 N C. 20 N D. 10 N 解析： 　设夹角为90°时，合力为F，｜F1｜＝｜F2｜＝｜F｜ cos 45°＝10 N，当夹角为120°时，由平行四边形法则知：｜F合｜＝｜ F1｜＝｜F2｜＝10 N. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 5. 如图，AB是☉O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设 ＝a， ＝b，则 ＝（　　） A. a＋b B. a－b C. a＋ b D. a－ b 解析： 　连接CD（图略），因为C，D是半圆弧的三等分点，所以 CD∥AB，且CD＝ AB，故 ＝ ＋ ＝b＋ a.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 6. 已知非零向量a，b满足（a－b）⊥（a＋2b），且2｜a｜＝3｜ b｜，则向量a，b的夹角的余弦值为（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　因为（a－b）⊥（a＋2b），所以（a－b）·（a＋2b）＝a2 ＋a·b－2b2＝0，即a·b＝2｜b｜2－｜a｜2＝ ｜a｜2－｜a｜2＝－ ｜ a｜2，所以 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 7. 已知点A（2，－1），B（4，2），点P在x轴上，当 · 取最小值 时，点P的坐标是（　　） A. （2，0） B. （4，0） C. D. （3，0） 解析： 　设P（a，0），则 ＝（2－a，－1）， ＝（4－a， 2），所以 · ＝（2－a）（4－a）－2＝a2－6a＋6，由二次函数 的性质得，当a＝3时， · 有最小值，此时点P的坐标是（3，0）. 故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 8. 在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝2，AB＝4， E，F分别为AB，BC的中点，以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点 为P（如图所示）.若 ＝λ ＋μ ，其中λ，μ∈R，则λ－μ＝ （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解析： 　因为以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P，所以 ＝ ＋ .易知 ＝ － ， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝2 ＋ － ＝ ＋ ，则 ＝λ ＋μ ＝ λ ＋μ（ － ）＝ ＋ ，则 解得 故λ－μ＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 已知向量a，b，c是三个非零向量，则下列结论正确的有（　　） A. 若a∥b，则a·b＝｜a｜·｜b｜ B. 若a∥b，b∥c，则a∥c C. a∥c的充要条件是存在唯一的λ∈R，使得c＝λa D. 若｜a＋b｜＝｜a－b｜，则a⊥b √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解析： 　对于A，a∥b，则a，b方向相同或者相反，故a·b＝±｜ a｜·｜b｜，故A错误；对于B，由于b≠0，所以a∥b，b∥c，则 a∥c，故B正确；对于C，由于a，c为非零向量，所以a∥c的充要条件 是存在唯一的λ∈R，使得c＝λa，故C正确；对于D，由｜a＋b｜＝｜ a－b｜可得｜a＋b｜2＝｜a－b｜2⇒a2＋b2－2a·b＝a2＋b2＋ 2a·b⇒a·b＝0，故a⊥b，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 10. 已知向量a＝（1，－2），b＝（λ，1），则下列说法中正确的是 （　　） A. 若a∥b，则λ＝－ B. 若a⊥b，则λ＝2 C. 若λ＜2，则a，b的夹角为钝角 D. 若λ＝1，则a在b上的投影向量的坐标为（－ ，－ ） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解析： 　对于A，由a∥b，得1×1＝－2λ，解得λ＝－ ，故A正 确；对于B，由a⊥b，得λ－2＝0，则λ＝2，故B正确；对于C，当λ＝ － ＜2时，a，b反向共线，夹角为180°，此时a，b的夹角不为钝角， 故C错误；对于D，当λ＝1时，b＝（1，1），因此a在b上的投影向量为 · ＝ ·b＝－ b＝（－ ，－ ），a在b上的投影向量 的坐标为（－ ，－ ），故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 11. 八卦是中国道家文化的深奥概念，其平面图形可简记为正八边形 ABCDEFGH（如图所示），其中OA＝1，则下列结论中正确的是 （　　） A. ∥ B. · ＝－ C. ＋ ＝－ D. ｜ ｜＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解析： 　对于A，由题图知，在正八边形ABCDEFGH中，连接AD （图略），则AD∥BC，所以 ∥ ，故A正确；对于B， · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos ＝－ ，故B正确；对于C， ＋ ＝ ， ＝－ ，所以 ＋ ＝－ ，故C正确；对于D，连接AF，则｜ ｜＝｜ － ｜＝ ＝ ＝ ＝ ，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·b＝3 ，则a与b的夹角为 　 　. 解析：设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ ，又因为 θ∈[0，π]，所以θ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 13. 若P为△ABC的垂心， · ＝2，则 · ＝ ⁠. 解析：因为P为△ABC的垂心，则CP⊥AB，即 · ＝0，又 ＝ ＋ ，所以 · ＝（ ＋ ）· ＝ · ＋ · ＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 14. 如图，已知点O为△ABC的外心，角A，B，C的对边分别为a，b， c.若3 ＋4 ＋5 ＝0，则 cos ∠BOC的值为 ， · ＝ ⁠. － 　 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解析：设外接圆半径为R，则｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝R，由3 ＋4 ＋5 ＝0.得4 ＋5 ＝－3 ，两边平方得16R2＋40 · ＋25R2＝9R2，则 · ＝－ R2，即R2 cos ∠BOC＝－ R2，则 cos ∠BOC＝－ .因为 ＝ ＝－ － ，所以 · ＝ · ＝－ － · ＝－ R2－ R2 cos ∠BOC＝－ R2－ R2· ＝0，即 · ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知 ＝（－1，3）， ＝（3，m）， ＝ （1，n），且 ∥ . （1）求实数n的值； 解：因为 ＝（－1，3）， ＝（3，m）， ＝（1，n）， 所以 ＝ ＋ ＋ ＝（3，3＋m＋n）， 因为 ∥ ，设 ＝λ ， 即 解得n＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （2）若 ⊥ ，求实数m的值. 解： 因为 ＝ ＋ ＝（2，3＋m）， ＝ ＋ ＝（4，m－3）， 又 ⊥ ，所以 · ＝0， 即8＋（3＋m）（m－3）＝0， 解得m＝±1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 16. （本小题满分15分）一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两 岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中最大航速为4 km/h，问 该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用 时多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解：如图所示，设 为水流速度， 为最大航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED且当 与 方向相同时能最快到达彼岸B码头，根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中， ｜ ｜＝｜ ｜＝2，｜ ｜＝4，∠AED＝90°， 因为 sin ∠EAD＝ ，∠EAD∈（0°，90°）， 所以∠EAD＝30°，∠DAC＝120°. 所以｜ ｜＝ ＝2 . 又AB＝ ，所以用时 ＝0.5（h）. 所以该船的航行速度为4 km/h，与水流方向成120°角时能 最快到达彼岸B码头，用时0.5 h. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 17. （本小题满分15分）已知｜a｜＝ ，｜b｜＝1，a与b的夹角为 45°. （1）若2a＋3b与ta－b共线，求实数t的值； 解： 因为2a＋3b与ta－b共线， 所以存在实数m使得2a＋3b＝m（ta－b）＝mta－mb， 所以 解得 所以t＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （2）求｜a＋2b｜的值； 解： 因为｜a｜＝ ，｜b｜＝1，a与b的夹角为45°， 所以a·b＝｜a｜·｜b｜· cos 45°＝ ×1× ＝1， 所以｜a＋2b｜2＝a2＋4a·b＋4b2＝2＋4＋4＝10， 则｜a＋2b｜＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （3）若向量（2a－λb）与（λa－3b）的夹角为锐角，求实数λ的取 值范围. 解： 因为向量（2a－λb）与（λa－3b）的夹角是锐角， 所以（2a－λb）·（λa－3b）＞0，且（2a－λb）与（λa－3b）不 同向共线， 即为2λa2＋3λb2－（6＋λ2）a·b＞0， 即有7λ－（6＋λ2）＞0，解得1＜λ＜6， 若（2a－λb）与（λa－3b）同向共线，则存在实数k， 使2a－λb＝k（λa－3b），k＞0， 则 解得λ＝ ， 当λ＝ 时，两者同向共线， 则实数λ的取值范围为（1， ）∪（ ，6）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 18. （本小题满分17分）如图所示，平行四边形ABCD中， ＝a， ＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝ BC. （1）以a，b为基底表示向量 与 ； 解： ∵平行四边形ABCD中， ＝a， ＝b， H，M分别是AD，DC的中点，BF＝ BC， ∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝b＋ a， ＝ － ＝ ＋ － ＝a＋ b－ b＝a－ b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （2）若｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为120°，求 · ； 解： 由（1）知， ＝b＋ a， ＝a－ b， ∵｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为120°， ∴a·b＝2×3× cos 120°＝－3， · ＝（b＋ a）·（a－ b）＝ a2－ b2＋ a·b＝ ×4－ ×9＋ ×（－3）＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （3）设线段AM，FH的交点为O，在（2）的条件下，求∠MOF的余 弦值. 解： 由（1）（2）知， ＝b＋ a， ＝a－ b，a·b＝－3， · ＝－ ， ∵｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·b＝－3， ∴｜ ｜＝ ＝ ＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） ｜ ｜＝ ＝ ＝ ＝ ， ∵线段AM、FH的交点为O， ∴∠MOF就是向量 与 的夹角， ∴ cos ∠MOF＝ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ ， 故∠MOF的余弦值为－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 19. （本小题满分17分）n个有次序的实数a1，a2，…，an所组成的有序 数组（a1，a2，…，an）称为一个n维向量，其中ai（i＝1，2，…，n） 称为该向量的第i分量，特别地，对一个n维向量a＝（a1，a2，…， an），若｜ai｜＝1，i＝1，2，…，n，称a为n维信号向量.设a＝ （a1，a2，…，an），b＝（b1，b2，…，bn），则a和b的内积定义为 a·b＝ aibi，且a⊥b⇔a·b＝0. （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量； 解： 根据题意，两两垂直的4维信号向量可以为：（1，1，1，1）， （－1，－1，1，1），（－1，1，－1，1），（－1，1，1，－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量； 解：证明：假设存在14个两两垂直的14维信号向量y1，y2，…，y14， 因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位 置，任意两个向量的内积不变， 所以不妨设y1＝（1，1，…，1），y2＝（1，1，1，1，1，1，1，－1，－ 1，－1，－1，－1，－1，－1）， 因为y1·y3＝0，所以y3有7个分量为－1， 设y3的前7个分量中有r个－1，则后7个分量中有7－r个－1， 所以y2·y3＝r·（－1）＋（7－r）＋（7－r）＋r·（－1）＝0，可得r＝ ，矛盾， 所以不存在14个两两垂直的14维信号向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （3）已知k个两两垂直的2 024维信号向量x1，x2，…，xk满足它们的前m 个分量都是相同时，求证： ＜45. 解： 证明：任取i，j∈{1，2，…，k}，计算内积xi·xj，将所有这些 内积求和得到S， 则S＝ ＋ ＋…＋ ＝2 024k， 设x1，x2，…，xk的第k个分量之和为ci， 则从每个分量的角度考虑，每个分量为S的贡献为 ， 所以S＝ ＋ ＋…＋ ≥ ＋ ＋…＋ ＝k2m， 则2 024k≥k2m，所以km≤2 024＜2 025，所以 ＜45. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） $