9.2.3 第1课时 向量数量积的概念、运算及投影向量(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

9.2.3　向量的数量积 课标要求 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积（数学抽象、数学运算）. 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义（数学抽象）. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系（逻辑推理）. 第1课时　向量数量积的概念、运算及投影向量 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝｜F｜｜s｜cos θ，其中θ是F与s的夹角. 　　功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念. 【问题】　两个向量的数量积与这两个向量的哪些量有关？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　向量的数量积 1.定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，把数量　　　　　　叫作向量a和b的数量积，记作　　　　，即a·b＝　　　　　　. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝　　. 　　提醒：（1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. 2.两个非零向量a和b的夹角θ，可以由cos θ＝　　　　求得. 3.平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 （1）a·e＝e·a＝｜a｜cos θ； （2）a⊥b⇔a·b＝0； （3）当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝； （4）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜. 【想一想】 　已知非零向量a，b，a与b的夹角为θ，若a·b＜0，则θ是钝角对吗？ 知识点二　投影向量 1.定义：设a，b是两个非零向量，如图，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1，我们将上述由向量a得到向量的　　　　称为向量a向向量b投影，向量　　　　称为向量a在向量b上的投影向量. 2.对于向量a，b，向量a在向量b上的投影向量为　　　　　　. 3.向量数量积的几何意义：向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的　　　　　　与向量b的数量积. 提醒：（1）向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量；（2）如果向量a与向量b平行，向量a在向量b上的投影向量等于a或－a，当a与b垂直时，a在b上的投影向量为0；（3）向量a在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不是同一个向量；（4）如图，·＝±｜｜｜｜，符号由θ的范围确定. 1.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.对任意向量a，都有a2＝｜a｜2 B.若a≠0，且a·b＝a·c，则b＝c C.若a·b＝｜a｜｜b｜，则a∥b D.若a∥b，则a·b＝｜a｜｜b｜ 2.已知｜a｜＝4，｜b｜＝2，当它们之间的夹角为时，a·b＝（　　） A.4　 　　　　　　 B.4 C.8　 D.8 3.已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为135°，则b在a方向上的投影向量为　　　　. 题型一｜平面向量数量积的有关概念 【例1】　〔多选〕下列叙述正确的是（　　） A.a·0＝0 B.a·0＝0 C.若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0 D.若a与b是两个单位向量，则a2＝b2 通性通法 　　两个平面向量的数量积是一个全新的运算，最后的结果是一个实数，它是由两个向量的模与两个向量夹角的余弦值相乘所得的结果，所以最后的值由｜a｜，｜b｜及cos＜a，b＞所决定.即有以下结论：设两个非零向量a与b的夹角为θ，则 （1）当θ＝0时，cos θ＝1，a·b＝｜a｜｜b｜； （2）当θ为锐角时，cos θ＞0，a·b＞0； （3）当θ为直角时，cos θ＝0，a·b＝0； （4）当θ为钝角时，cos θ＜0，a·b＜0； （5）当θ＝π时，cos θ＝－1，a·b＝－｜a｜｜b｜. 【跟踪训练】 　〔多选〕已知a，b，c是三个非零向量，则下列选项中正确的是（　　） A.a·b＝±｜a｜｜b｜⇔a∥b B.a与b同向⇔a·b＝｜a｜｜b｜ C.｜a｜＝｜b｜⇔｜a·c｜＝｜b·c｜ D.若a·b＝0，则＜a，b＞＝ 题型二｜向量数量积的运算 【例2】　（链接教科书第22页例1）（1）已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜＝4，｜b｜＝2，求：①a·b；②a·a－a·b－2b·b； （2）已知正三角形ABC的边长为1，求：①·；②·；③·. 通性通法 定义法求平面向量的数量积 　　若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 【跟踪训练】 　 1.设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为（　　） A.　　 B.　　　C.　　 D.π 2.已知平面上三点A，B，C满足｜｜＝3，｜｜＝4，｜｜＝5，则·＋·＋·＝（　　） A.－7　 B.7　　C.25　 D.－25 题型三｜投影向量 【例3】　（链接教科书第24页练习5题）已知｜a｜＝3，｜b｜＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求： （1）a在b上的投影向量； （2）b在a上的投影向量的模. 通性通法 投影向量的求解方法 　　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜cos θ e（θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量），其中｜a｜｜cos θ｜为a在b上投影向量的模. 【跟踪训练】 1.若｜a｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝－4，则向量a在向量b上的投影向量为（　　） A.－b　 B.－b C.b　 D.－b 2.（2025·南京期末）已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，若a在b上的投影向量为－b，则a与b的夹角为（　　） A.60°　 B.120°　　C.135°　 D.150° 1.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a与b的夹角是120°，则a·b＝（　　） A.3　 B.－3　　C.－3　 D.3 2.〔多选〕对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是（　　） A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B.｜a－b｜＝｜a｜－｜b｜ C.若a⊥b，则a·b＝0 D.｜a｜＝ 3.在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·＝　　　　　. 4.已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a在向量e上的投影向量. 提示：完成课后作业　第九章　9.2　9.2.3　第1课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.3　向量的数量积 第1课时　向量数量积的概念、运算及投影向量 【基础落实】 知识点一 1.｜a｜｜b｜cos θ　a·b　｜a｜｜b｜cos θ　0　2. 想一想 　提示：不对.若θ＝π时，a·b＜0. 知识点二 1.变换　　2.（｜a｜cos θ）　 3.投影向量 自我诊断 1.AC 2.B　根据向量数量积的定义得a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝4×2×cos ＝4. 3.－a　解析：b在a方向上的投影向量为｜b｜cos＜a，b＞·＝×（－）a＝－a. 【典例研析】 【例1】　BD　A中，a·0＝0，故A错误；B中，a·0＝0，故B正确；C中，设a与b的夹角为θ，a与b均为非零向量，当cos θ＝0时，a·b＝0，故C错误，D正确.故选B、D. 跟踪训练 　ABD　a·b＝｜a｜｜b｜cos θ，所以由a·b＝±｜a｜｜b｜且a，b为非零向量可得cos θ＝±1，所以θ＝0或θ＝π，所以a∥b，反之也成立，故A正确；若a，b同向，则a，b的夹角为0，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos 0＝｜a｜｜b｜，反之也成立，故B正确；当｜a｜＝｜b｜，但a与c的夹角和b与c的夹角不相等时，就有｜a·c｜≠｜b·c｜，反之由｜a·c｜＝｜b·c｜也推不出｜a｜＝｜b｜，故C错误；若a·b＝0且a，b为非零向量，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝0，即cos＜a，b＞＝0，又因为＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝，故D正确. 【例2】　解：（1）①由已知得a·b＝｜a｜｜b｜·cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. ②a·a－a· b－2b·b＝｜a｜2－a·b－2｜b｜2＝16－（－4）－2×4＝12. （2）①∵与的夹角为60°，∴·＝｜｜｜｜ cos 60°＝1×1×＝. ②∵与的夹角为120°，∴·＝｜｜·｜｜ cos 120°＝1×1×（－）＝－. ③∵与的夹角为60°，∴·＝｜｜｜｜·cos 60°＝1×1×＝. 跟踪训练 1.B　设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 2.D　由题得｜｜2＝｜｜2＋｜｜2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos（180°－C）＋5×3cos（180°－A）＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25.故选D. 【例3】　解：（1）∵｜b｜＝1，∴b为单位向量. ∴a在b上的投影向量为｜a｜cos 120°·b＝3×b＝－b. （2）由投影向量的定义知，向量b在a上的投影向量的模为｜b｜｜cos 120°｜＝. 跟踪训练 1.D　因为a·b＝｜a｜｜b｜cos θ，所以cos θ＝＝＝－，则a在b上的投影向量是｜a｜cos θ＝2×（－）×＝－b.故选D. 2.B　设a，b的夹角为θ，则a在b上的投影向量为（｜a｜cos θ）·＝－b，即＝－，则cos θ＝－·＝－，所以a与b的夹角为120°.故选B. 随堂检测 1.B　由平面向量数量积的定义得a·b＝｜a｜｜b｜cos 120°＝×2×（－）＝－3.故选B. 2.CD　对于A，a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；对于B，｜a－b｜≥｜a｜－｜b｜，所以B错误；对于C，由数量积的性质知，C正确；对于D，因为a·a＝｜a｜｜a｜cos 0＝｜a｜2，所以｜a｜＝，所以D正确.故选C、D. 3.2　解析：·＝｜｜｜｜·cos∠ABC＝2××cos 45°＝2. 4.解：当θ＝45°时，a在e上的投影向量为｜a｜cos 45°·e＝6×e＝3e； 当θ＝90°时，a在e上的投影向量为｜a｜cos 90°·e＝6×0×e＝0； 当θ＝135°时，a在e上的投影向量为｜a｜cos 135°·e＝6×（－）e＝－3e. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $