15.3 第2课时 独立事件-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“独立事件”核心知识点，涵盖概念、性质、概率公式及应用。通过“3张奖券有放回抽取”情境导入，引导学生观察事件影响，衔接互斥事件知识，用对比表格构建知识支架，帮助理解概念内涵与外延。 其亮点在于以情境激发兴趣，通过定义辨析、性质推导培养数学抽象与逻辑推理能力，如例1用定义法判断独立事件，例2结合三科成绩问题强化数学运算。分层次作业满足不同需求，助力学生提升解题能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

第2课时　独立事件 1 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念（数学抽象、逻辑推理）. 2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一名同 学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”. 【问题】　（1）上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？ （2）上述问题中事件A和事件B相互独立吗？ 　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 　  　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点　相互独立事件 1. 定义：一般地，对于两个随机事件A，B，如果P（AB）＝P（A）P （B），那么称A，B为相互独立事件. 2. 相互独立事件的性质 当事件A，B相互独立时，事件A与事件 ，事件 与事件 B ，事件 与事件 ⁠. 相互独立　 相互独立　 相互独立　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 相互独立事件的概率公式 （1）若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（　B　）； （2）如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么P（A1A2…An）＝P （A1）P（A2）…P（An）. 　　提醒：当三个事件A，B，C两两独立时，等式P（ABC）＝P （A）P（B）P（C）一般不成立，事件相互独立与事件两两独立是不等 同的. B 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 相互独立事件与互斥事件的区别与联系 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 符号 相互独立事件A，B同时发生，记作：AB 互斥事件A，B中有一个发生，记作：A＋B 计算公式 P（AB）＝P（A）P（B） P（A＋B）＝P（A）＋ P（B） 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）不可能事件与任何一个事件相互独立. （　√　） （2）必然事件与任何一个事件相互独立. （　√　） （3）“P（AB）＝P（A）P（B）”是“事件A，B相互独立”的充要 条件. （　√　） （4）如果两个事件相互独立，则它们的对立事件也是相互独立的. （　√　） √ √ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概 率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的 概率为（　B　） A. 1 B. 0.629 C. 0 D. 0.74或0.85 B 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可 能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会 淋雨.则他们淋雨的概率是 ⁠. 解析：由题意，设事件A表示下雨，B表示准时收到帐篷，且P（A）＝P （B）＝ ，易知A，B相互独立，所以A与 相互独立.所以淋雨的可能 性为P（A ）＝P（A）P（ ）＝ × ＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜相互独立事件的判断 【例1】　（链接教科书第295页例1）判断下列每组事件A，B是否是相互 独立事件： （1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组 中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”记为事件A， “从乙组中选出1名女生”记为事件B； 解： “从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以事件A与B是相互独立事件. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）一个袋子中有标号分别为1， 2， 3， 4的4个球，除标号外没有其他 差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.“第一次摸出球的标号小于3” 记为事件A，“第二次摸出球的标号小于3”记为事件B； 解：因为样本空间Ω＝{（1， 2）， （1， 3）， （1， 4）， （2， 1）， （2， 3）， （2， 4）， （3， 1）， （3， 2）， （3， 4）， （4， 1）， （4， 2）， （4， 3）}， A＝{（1， 2）， （1， 3）， （1， 4）， （2， 1）， （2， 3）， （2， 4）}，B＝{（1， 2）， （2， 1）， （3， 1）， （3， 2）， （4， 1）， （4， 2）}， 数学·必修第二册（SJ） 目 录 所以P（A）＝P（B）＝ ＝ ， P（AB）＝ ＝ ，此时P（AB）≠ P（A）P（　B　）， 因此，事件A与B不是相互独立事件. （3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”记为事件A，“出现3点或6点” 记为事件B. 解：因为P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝ . 所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：事件A，B相互独立⇔P（AB）＝P（A）·P （　B　）； （2）直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响. B 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件 B：“乙击中目标”，则事件A与事件B（　　） A. 相互独立但不互斥 B. 互斥但不相互独立 C. 相互独立且互斥 D. 既不相互独立也不互斥 解析：　对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的， 所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中 目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件. 故选A. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 甲、乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为x，y， A表示事件“x＞4”，B表示事件“y为奇数”，C表示事件“x＋y＞ 8”，D表示事件“x＋y＝7”，则相互独立的事件是（　　） A. A与C B. B与C C. C与D D. B与D √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：　由题意，事件A的情况有（5，1），（5，2），…，（6，5），（6，6），共12种，所以P（A）＝ ＝ .同理P（B）＝ ＝ ， P（C）＝ ＝ ，P（D）＝ .P（AC）＝ ≠P（A）P（C），故A与C不独立，故A错误；P（BC）＝ ＝ ≠P（B）P（C），故B与C不独立，故B错误；因事件C与D不能同时发生，故P（CD）＝0≠ P（C）P（D），故C错误；P（BD）＝ ＝ ＝P（B）P（D），故B与D相互独立，故D正确. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜相互独立事件同时发生的概率 【例2】　（链接教科书第298页习题2题）某同学语文、数学、英语三科 的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8， 英语为0.85.求： （1）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ 解：记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件分别为A， B，C，则A，B，C两两相互独立，且P（A）＝0.9，P（B）＝0.8， P（C）＝0.85. （1）“三科成绩均未获得第一名”可以用 表示，P（ ）＝P （ ）P（ ）P（ ）＝[1－P（A）][1－P（B）]·[1－P（C）]＝ （1－0.9）×（1－0.8）×（1－0.85）＝0.003， 即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？ 解： “恰有一科成绩未获得第一名”可以用（ BC）＋（A C）＋（AB ）表示. 由于事件 BC，A C和AB 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事 件的概率公式，所求的概率为P（ BC）＋P（A C）＋P（AB ）＝ P（ ）P（B）·P（C）＋P（A）P（ ）·P（C）＋P（A）P （B）P（ ）＝[1－P（A）]·P（B）P（C）＋P（A）·[1－P （B）]·P（C）＋P（A）P（B）[1－P（C）]＝（1－0.9）×0.8 ×0.85＋0.9×（1－0.8）×0.85＋0.9×0.8×（1－0.85）＝0.329， 即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求相互独立事件同时发生的概率的关注点 （1）公式：若事件A与事件B相互独立，则P（AB）＝P（A）P （　B　）； （2）性质：若A，B相互独立，则 与B，A与 ， 与 也相互独立； （3）注意：公式的适用条件——各个事件是相互独立的，而且它们同时 发生. B 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色 蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为 ， ， ，且三个项目是否成功相互独立. （1）求恰有两个项目成功的概率； 解：只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 × × （1－ ）＝ ， 数学·必修第二册（SJ） 目 录 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 ×（1－ ）× ＝ ， 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为（1－ ）× × ＝ ， 所以恰有两个项目成功的概率为 ＋ ＋ ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求至少有一个项目成功的概率. 解：三个项目全部失败的概率为（1－ ）×（1－ ）×（1－ ）＝ ， 所以至少有一个项目成功的概率为1－ ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜相互独立事件概率的综合应用 【例3】　为了庆祝“五四”青年节，某班组织了一次学生爱国主义知识 竞赛，由甲、乙两队参与竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对 得1分，答错得0分.假设甲队每人回答问题正确的概率均为 ，乙队每人回 答问题正确的概率分别为 ， ， ，且两队各人回答正确与否相互之间没 有影响. （1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率； 解：记“甲队总得分为3分”为事件A，“甲队总得分为1分”为事件B， 甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为P（A）＝ × × ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人回答错误， 其概率为P（B）＝ × × ＋（1－ ）× × ＋ × × ＝ . 故甲队总得分为3分与1分的概率分别为 ， . （2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率. 解：记“甲队总得分为2分”为事件C，“乙队总得分为1分”为事件D， 事件C即甲队有2人答对，其余1人答错， 则P（C）＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 事件D即乙队只有1人答对，其余2人答错， 则P（D）＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ . 由题得事件C与事件D相互独立， 所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P（CD）＝P（C）P （D）＝ × ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求较复杂事件的概率的一般步骤 （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示； （2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立 的），列出关系式； （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算； （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对 立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换 发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.已知甲、乙两位同学进行 11分制乒乓球比赛，双方10∶10平后，甲先发球，假设甲发球时甲得分的 概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立. （1）求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率； 解：设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件Ak（k＝1，2，3，…）， 又打了X个球比赛结束， 则P（X＝2）＝P（A1A2）＋P（ ）＝P（A1）·P（A2）＋P （ ）P（ ）＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率. 解：P（X＝4且甲获胜）＝P（A1 A3A4）＋P（ A2A3A4）＝P（A1）P（ ）P（A3）P（A4）＋P（ ）P（A2）·P（A3）P（A4） ＝0.5×0.6×0.5×0.4＋0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 对于两个相互独立的事件A与B，若P（A）＝0.3，P（B）＝0.4， 则P（A ）＝（　　） A. 0.42 B. 0.28 C. 0.12 D. 0.18 解析：　由相互独立事件的性质知A与 也相互独立，所以P（A ）＝ P（A）[1－P（B）]＝0.18. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机 取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表 示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数 字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（　　） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：　事件甲发生的概率P（甲）＝ ，事件乙发生的概率P（乙）＝ ，事件丙发生的概率P（丙）＝ ，事件丁发生的概率P（丁）＝ .事 件甲与事件丙同时发生的概率为0，P（甲丙）≠P（甲）P（丙），故A 错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为 ＝ ，P（甲丁）＝P （甲）P（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为 ＝ ， P（乙丙）≠P（乙）P（丙），故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件， 不是相互独立事件，故D错误.故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，且3 人是否击中目标相互独立.若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中 的概率为 ⁠. 解析：3人向目标各发1枪，由相互独立事件的概率计算公式，得目标没有 被击中的概率P＝（1－0.7）×（1－0.8）×（1－0.85）＝0.3×0.2× 0.15＝0.009. 0.009　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. （2025·泰州期末）抛掷两颗质地均匀的骰子，记“第一颗骰子结果向 上的点数为偶数”为事件A，记“第二颗骰子结果向上的点数为5或6”为 事件B，则P（AB）＝ ⁠. 解析：由题意，可得P（A）＝ ＝ ，且P（B）＝ ＝ ，根据相互独立 事件的概率公式，可得P（AB）＝P（A）P（B）＝ × ＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4.若两人考试相互独 立，则甲未通过而乙通过的概率为（　　） A. 0.28 B. 0.12 C. 0.42 D. 0.16 解析：　甲、乙两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率P＝ （1－0.7）×0.4＝0.12.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独立，则 下列命题一定成立的是（　　） A. A与B相互独立 B. A与C互斥 C. B与C互斥 D. 与 相互独立 解析：　注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指的是不可能同时发生的事件，后者指的是在两个事件中，一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.因为B与C相互独立，由两事件相互独立的性质易知D正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的 时间分别为25秒、35秒、45秒.某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都 不停车的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：　由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为 ， ， .在 这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为 × × ＝ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一 个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的 概率为 ，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：　甲班最终获胜有三种情况：①甲班前两场获胜；②甲班第1场和 第3场获胜，第2场输；③甲班第1场输，第2场和第3场获胜.故甲班最终获 胜的概率为 ＋ × × ＋ × ＝ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕下列各对事件中，不是相互独立事件的有（　　） A. 运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有 射中目标” D. 甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标 但乙未射中目标” √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：　在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在B中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在D中，记“至少有1人射中目标”为事件A，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B，则AB＝B，因此当P（A）≠1时，P（AB）≠P（A）P（B），故不独立.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕已知A，B是一个随机试验中的两个随机事件，若P（AB） ＝ ，P（A）＝ ，P（B）＝ ，则（　　） A. 事件A与B互为对立 B. 事件A与B相互独立 C. P（A＋B）＝ D. P（ ）＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：　因为P（AB）＝ ≠0，所以事件A与B不互斥，所以事件A与B不互为对立，A错误；因为P（A）P（B）＝ × ＝ ，所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立，B正确；P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝ ＋ － ＝ ，C正确；P（ ）＝1－P（A＋B）＝1－ ＝ ，D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180 个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为 ⁠. 解析：“从甲盒内取一个A型螺杆”记为事件M，“从乙盒内取一个A型 螺母”记为事件N，因事件M，N相互独立，则能配成A型螺栓（即一个 A型螺杆与一个A型螺母）的概率为P（MN）＝P（M）P（N）＝ × ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知事件A与B相互独立，P（A）＝0.6，P（AB）＝0.42，则P（A ＋B）＝ ⁠. 解析：因为事件A与B相互独立，所以P（AB）＝P（A）×P（B）＝ 0.6×P（B）＝0.42⇒P（B）＝0.7，所以P（A＋B）＝P（A）＋P （B）－P（AB）＝0.6＋0.7－0.42＝0.88. 0.88　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品互不影响. 已知师傅加工一个零件是精品的概率为 ，师徒二人各加工2个零件都是精 品的概率为 ，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为 　 　. 解析：记师傅加工2个零件都是精品的概率为P（A），则P（A）＝ × ＝ ，记徒弟加工2个零件都是精品的概率为P（B），则师徒二人各加工2 个零件都是精品的概率为P（AB）＝P（A）·P（B）＝ ，求得P （B）＝ ，故徒弟加工2个零件都是精品的概率为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 在生活小常识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关生 活小常识的问题，已知甲答对这道题的概率是 ，甲、乙两人都回答错误 的概率是 ，乙、丙两人都回答正确的概率是 .设每人回答问题正确与否 相互独立. （1）求乙答对这道题的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对这道题”分别为事件A，B，C，设乙答对这道题的概率P（B）＝x，由于每人回答问题正确与否相互独立，因此A，B，C是相互独立事件. 由题意可知，P（A）＝ ，P（ ）＝P（ ）P（ ）＝ × （1－x）＝ ，解得x＝ ， 所以乙答对这道题的概率为P（B）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率. 解：设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M， 丙答对这道题的概率P（C）＝y，由题可知，P（BC）＝P（B）P （C）＝ ×y＝ ，解得y＝ . 甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P（ ）＝P（ ）P（ ）P （ ）＝ × ×（1－ ）＝ . 因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”的对立事件是“甲、乙、丙三人 中，至少有一人答对这道题”， 所以P（M）＝1－ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 专家甲独立地破译一个密码成功的概率为 ，为提高破译概率需增加专 家数量，若要达到译出密码的概率为99%（各专家相互独立互不交流）， 至少需要像甲这样的专家的个数为（参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）（　　） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 解析：　设需要像甲这样的专家x个， 要达到译出密码的概率为99%，则 ≤ ，则xlg ≤lg ，即x≥ ＝ ≈16.01，故至少需17 个像甲这样的专家. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是 ， 且每个开关是否闭合是相互独立的，则灯亮的概 率为（　　） A. B. C. D. 解析：　记“A开关闭合”“B开关闭合”“C开关闭合”“D开关闭 合”分别为事件A，B，C，D，则题图中含开关的三条线路同时断开的 概率为P（ ）P（ ）[1－P（AB）]＝ × ×（1－ × ）＝ ，所 以灯亮的概率为1－ ＝ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上 跳来跳去（每次跳跃时，均从一片跳到另一片），而且 逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如 图所示.假设现在青蛙在A片荷叶上，则跳三次之后停 在A片荷叶上的概率是 ⁠. 　 解析：由题意知逆时针方向跳的概率为 ，顺时针方向跳的概率为 ，青蛙 跳三次要回到A片荷叶只有两条途径：第一条：A→B→C→A，P1＝ × × ＝ ；第二条：A→C→B→A，P2＝ × × ＝ ，所以跳三次 之后停在A片荷叶上的概率P＝P1＋P2＝ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 为刺激消费，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查 预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率 如表： 200元 300元 400元 500元 老年 0.4 0.3 0.2 0.1 中年 0.3 0.4 0.2 0.1 青年 0.3 0.3 0.2 0.2 某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅 游景点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率； 解：设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1， 则P1＝（0.7）2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448. （2）求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率. 解：消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002， 消费总额为1 400元的概率是（0.1）2×0.2＋2×（0.2）2×0.1＝0.01， 消费总额为1 300元的概率是（0.1）2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋ 0.1×0.4×0.2＋（0.2）3＋2×（0.2）2×0.1＝0.033， 因为0.002＋0.01＋0.033＝0.045， 所以消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每 场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被 淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另 一人最终获胜，比赛结束. 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 . （1）求甲连胜四场的概率； 解：甲连胜四场的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求需要进行第五场比赛的概率； 解：根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为 ； 乙连胜四场的概率为 ； 丙上场后连胜三场的概率为 . 所以需要进行第五场比赛的概率为1－ － － ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3）求丙最终获胜的概率. 解：丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 ； 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、 负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 ， ， . 因此丙最终获胜的概率为 ＋ ＋ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $