第13章 培优课 与球有关的“切”“接”问题 能力提升(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本高中数学讲义聚焦空间几何体与球的“切”“接”问题，系统梳理外接球（柱体、锥体、台体、可补成规则几何体）和内切球的求解方法，通过作截面、确定球心、建立半径关系，构建从基础到复杂几何体的解题支架。 资料以“通性通法”提炼解题策略，如柱体轴截面转化、锥体补形法等，培养学生空间观念与推理能力（数学思维），结合具体例题（如圆柱外接球、圆锥内切球）引导用数学眼光观察空间形式，课中助力教师系统教学，课后辅助学生强化练习、弥补盲点。

　　空间几何体与球有关的“切”“接”问题是立体几何中的重点，也是难点.所谓几何体的外接球，是指几何体的各顶点（或旋转体的顶点、底面圆周）都在一个球面上，此球称为该几何体的外接球；内切球是指与几何体内各面（平面、曲面）都相切的球.求解此类问题的关键是作出合适的截面圆，确定球心，再由球的半径R、截面圆的半径r及各几何量建立关系. 题型一｜几何体的外接球 角度1　柱体的外接球 【例1】　（1）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（　B　） A.　 B. C.　 D. 解析：（1）法一　如图，O为外接球球心，母线BB1的长度为2，底面半径r＝O2B＝1，易得外接球半径R＝OB＝＝，∴外接球体积V＝π（）3＝ π.故选B. 法二　由圆柱外接球的直径等于其轴截面对角线长，∴2R＝＝2，R＝，∴外接球体积V＝π（）3＝π. （2）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　. 解析：（2）设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有解得由六棱柱的外接球等于其外接圆柱体的外接球，又正六棱柱的底面外接圆的半径r＝，∴外接球的直径2R＝＝2，∴R＝1，∴V球＝. 通性通法 柱体外接球问题的求解策略 （1）正方体、长方体的外接球：①正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半；②长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半； （2）求圆柱的外接球，可以先作该圆柱的轴截面，轴截面对角线即为外接球的直径，或将空间问题转化为平面问题，按图示方法求解； （3）求直棱柱的外接球，可以先求其外接圆柱体，再利用该圆柱体的轴截面求半径即可. 角度2　锥体的外接球 【例2】　（1）已知球O是圆锥PO1的外接球，圆锥PO1的母线长是底面半径的3倍，且球O的表面积为，则圆锥PO1的侧面积为　3π　； 解析：（1）设O1B＝r，球O的半径为R，则PB＝3r，PO1＝2r.由球O的表面积为4πR2＝，得R2＝.在Rt△OO1B中，R2＝（PO1－R）2＋r2，即R2＝（2r－R）2＋r2，解得r＝1，故圆锥PO1的侧面积为πr·PB＝3r2π＝3π. （2）若正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一球面上，则此球的体积为　　. 解析：（2）法一　如图，设正四棱锥的底面中心为O1，∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O，∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面，外接圆的半径就是外接球的半径，在△ASC中，由SA＝SC＝，AC＝2，得SA2＋SC2＝AC2.∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形.∴＝1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球＝. 法二　设外接球半径为R，正四棱锥底面中心为O1，正四棱锥S-ABCD的外接球即为其外接圆锥的外接球，易得正四棱锥底面外接圆的半径r＝1，又AS＝，AO1＝r＝1，∴SO1＝＝＝1，∴R2＝（SO1－R）2＋r2，解得R＝1，故V球＝. 通性通法 锥体外接球问题的求解策略 （1）求圆锥的外接球，可以先作其轴截面，其为三角形，该三角形中垂线的交点即为球心，将空间问题转化为平面问题，按图示方法求解； 　　 （2）求正棱锥的外接球，可以先求其外接圆锥，再利用该圆锥的轴截面求半径即可； （3）求直棱锥的外接球，可以先求其外接直棱柱，按照柱体求外接球半径的方法求解即可. 角度3　台体的外接球 【例3】　已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　） A.100π　 B.128π C.144π　 D.192π 解析：A　由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋O＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋O＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.故选A. 通性通法 台体外接球问题的求解策略 （1）圆台的外接球：如图，设r1，r2，h分别为圆台的上、下底面的半径和高，R为外接球的半径： （2）求棱台的外接球，可以先求其外接圆台，然后按照求圆台外接球的方法求解. 角度4　可补成规则几何体的外接球 【例4】　已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝，AC＝2，AD＝3，则球O的表面积为　16π　. 解析：四面体ABCD的外接球O即为以AB，AC，AD为长、宽、高的长方体的外接球，所以球O的半径R＝＝2，所以球O的表面积S＝4πR2＝16π. 通性通法 1.若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图①所示. 2.若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图②所示. 3.正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a＝，如图③所示. 4.若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图④所示. 【跟踪训练】 1.在三棱锥P-BCD中，BC⊥CD，PB⊥底面BCD，设BC＝1，PB＝CD＝2，则该三棱锥的外接球的体积为（　　） A.　 B.3π C.　 D.5π 解析：C　如图，将三棱锥P-BCD放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，则三棱锥P-BCD的外接球即为该长方体的外接球，所以外接球的直径PD＝＝＝3，所以该球的体积为π×（）3＝. 2.一个圆台的轴截面的面积为6，上、下底面的半径分别为1，2，则该圆台的外接球的体积为　π　. 解析：设圆台的高为h，由轴截面的面积为6，得 ＝6，解得h＝2，设该圆台外接球的半径为R，由题意得＋ ＝2，解得R＝，所以该圆台的外接球的体积为 πR3＝π×（）3＝π. 3.如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为　4π　. 解析：依题意，作球的轴截面如图所示，其中O是球心，E是圆锥的顶点，EC是圆锥的母线，由题意可知πR3＝36π，解得R＝3，由于圆柱的高为2，则OD＝1，DE＝3－1＝2，DC＝＝2，母线EC＝＝2，故圆锥的侧面积为S＝π·DC·EC＝π×2×2＝4π. 题型二｜几何体的内切球 【例5】　（1）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为（　B　） A.　　 B.　　　 C.　　 D.π 解析：（1）易知半径最大的球即为该圆锥的内切球.圆锥PE及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sin ∠BPE＝＝＝，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝＝＝2，所以R＝，所以内切球的体积V＝πR3＝π，即该圆锥内半径最大的球的体积为. （2）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，若三棱锥P-ABC有一个内切球O，则球O的体积为（　C　） A.　 B. C.　 D.9π 解析：（2）设球O的半径为r，则三棱锥P-ABC的体积V＝××3×4×4＝×（×3×4＋×4×3＋×5×4＋×4×5）×r，解得r＝，所以球O的体积V＝πr3＝，故选C. 通性通法 常见几何体内切球的求解策略 （1）正方体的内切球：正方体的内切球球心位于其体对角线中点处，设正方体的边长为a，其内切球半径为R＝； （2）圆锥的内切球：圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆的半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为r，高为h，R＝. 【跟踪训练】 　一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是（　　） A.96　 B.16　　C.24　 D.48 解析：D　由球的体积为，得πr3＝，解得r＝2，又球与正三棱柱内切，故h＝2r＝4，设正三棱柱的底面边长为a，如图，得r2＋（）2＝（2r）2，解得a＝4，∴正三棱柱的底面积S＝a2＝12，∴该正三棱柱的体积V＝S·h＝48. 1.已知正方体的内切球的体积是 π，则正方体的棱长为（　　） A.2 　 B.　　 C.　 D. 解析：A　设正方体的棱长为a，其内切球的半径为R，则a＝2R，又 πR3＝π，所以R3＝2 ，所以R＝，所以a＝2 . 2.底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（　　） A.6π　 B.12π　　 C.8π　 D.16π 解析：D　由圆锥的底面半径为，母线长为2，可求得其轴截面的顶角为.设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径为R，则O1O＝｜R－1｜，R2＝O1O2＋r2＝（R－1）2＋（）2，解得R＝2，所以球O的表面积为4πR2＝16π. 3.（2025·镇江期末）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是　24π　. 解析：由题意得正四棱柱的底面边长为2，则底面正方形的对角线的长度为＝2，所以正四棱柱体对角线的长度为＝2，因为正四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为S＝4πr2＝4π·6＝24π. 1.长方体的共顶点的三个面的对角线长分别为，，2，则它的外接球的半径为（　　） A.1　 B. C.　 D.2 解析：B　设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，∴（2R）2＝a2＋b2＋c2＝9，∴长方体的外接球的半径R＝. 2.一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为（　　） A.　 B.2 C.3　 D. 解析：C　设球的半径为R，则4πR2＝20π，解得R2＝5，设四棱柱的高为h，则（ ）2＋（ ）2＝R2，解得h＝3. 3.若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为（　　） A.4π（r＋R）2　 B.4πr2R2 C.4πRr　 D.π（R＋r）2 解析：C　如图， BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，又OE⊥AB且BO⊥OA，∴△AEO∽△OEB，∴OE2＝AE·BE＝Rr，∴球的表面积为4πOE2＝4πRr. 4.已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为2，则半球的表面积为（　　） A.10π　 B.12π C.15π　 D.18π 解析：D　因为正方体的一个面在半球的底面圆内，所以过正方体体对角线的轴截面如图所示，又正方体的棱长为2，所以FG＝2，EF＝2，则OF＝（O为半球的球心），OG＝＝，即半球的半径为，所以半球的表面积为×4π×（）2＋π×（）2＝18π，故选D. 5.（2025·无锡期末）正四棱锥所有棱长均为2，其外接球的表面积为（　　） A.4π　 B.8π C.12π　 D.16π 解析：B　如图，连接AC，取AC的中点H，连接PH，则PH⊥平面ABCD，则正四棱锥P-ABCD的外接球的球心O在PH上，连接OA.取BC的中点E，连接PE，HE，∵PB＝PC，∴PE⊥BC，CE＝BE＝BC＝1，HE＝1，由勾股定理得PE＝，PH＝，AH＝，设正四棱锥P-ABCD的外接球的半径为R，在Rt△OAH中，OA2＝OH2＋AH2，即R2＝（－R）2＋（）2，解得R＝，则外接球的表面积为4πR2＝8π.故选B. 6.（2025·泰州期末）已知圆锥的底面半径为3，体积为3π，若圆锥底面圆周和顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（　　） A.100π　 B.40π C.　 D. 解析：A　如图，设圆锥的高为h，因为圆锥的体积为3π，可得π×32×h＝3π，解得h＝1，设圆锥的外接球的半径为R，可得R2＝r2＋（R－h）2，即R2＝32＋（R－1）2，解得R＝5，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π.故选A. 7.〔多选〕如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，上面刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，下列关于圆柱的体积与球的体积之比以及圆柱的表面积与球的表面积之比的说法正确的是（　　） A.体积之比为　 B.体积之比为 C.表面积之比为　 D.表面积之比为 解析：AC　设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，由圆柱和球的体积、表面积公式计算可得V柱＝2πR3，V球＝πR3，所以V柱∶V球＝3∶2；S柱＝4πR2＋2πR2＝6πR2，S球＝4πR2，所以S柱∶S球＝3∶2. 8.〔多选〕已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段MN的最小值为－1，则下列说法正确的是（　　） A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为 C.正方体的棱长为2 D.线段MN的最大值为2 解析：ABC　设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，为a，内切球半径为棱长的一半，为.∵M，N分别为该正方体外接球和内切球上的动点，∴MNmin＝a－＝a＝－1，解得a＝2，∴正方体的棱长为2，C正确.正方体的外接球的表面积为4π×（）2＝12π，A正确.正方体的内切球的体积为π×13＝，B正确.线段MN的最大值为a＋＝＋1，D错误.故选A、B、C. 9.（2023·全国乙卷16题）已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝　2　. 解析：如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径r＝O1A＝××3＝.将三棱锥S-ABC补形为正三棱柱SB1C1-ABC，由题意知SA为侧棱，设球心为O，连接OO1，OA，则OO1⊥平面ABC，且OO1＝SA.又球的半径R＝OA＝2，OA2＝O＋O1A2，所以4＝SA2＋3，得SA＝2. 10.在四面体ABCD中，AB＝2，AD＝3，AC＝BC＝，CD＝2，BD＝，则四面体ABCD的外接球的表面积为　17π　，四面体ABCD的体积为　2　. 解析：在四面体ABCD中，因为BD2＝AB2＋AD2，所以△ABD为直角三角形，因为BD2＝BC2＋CD2，所以△BCD为直角三角形，取BD的中点O，则OA＝OB＝OD＝OC，所以O为四面体ABCD的外接球的球心，则BD为四面体ABCD的外接球的直径，所以四面体ABCD的外接球的表面积为S＝4πR2＝（2R）2π＝17π.将四面体ABCD补成直三棱柱A1BC-AB1D，由条件可知，A＋A1B2＝8，且AA1＝CD＝2，所以A1B＝2，又A1C＝AD＝3，所以A1C2＋A1B2＝13＝BC2，A1C⊥A1B，故四面体ABCD的体积为VA-BCD＝VB-ACD＝＝＝××2×3×2＝2. 11.有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比. 解：设正方体的棱长为a，三个球的半径分别为r1，r2，r3. （1）正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面（正方形）的中心，经过在一个平面上的四个切点及球心作截面，如图①所示.所以2r1＝a，r1＝，S1＝4π＝πa2. （2）球与正方体各棱的切点为每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②. 所以2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4π＝2πa2. （3）正方体的各个顶点都在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③所示. 则2r3＝a，所以r3＝a，S3＝4π＝3πa2. 因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3＝1∶2∶3. 12.一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球.求： （1）圆锥的侧面积； （2）圆锥内切球的体积. 解：（1）如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB. 设圆O的半径为R，则有πR3＝972π， ∴R＝9，SE＝2R＝18. ∵SD＝16，∴ED＝2. 连接AE，又SE是圆O的直径， ∴SA⊥AE， ∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝12. ∵AB⊥SD，D为AB中点， ∴AD2＝SD×DE＝16×2＝32，AD＝4， ∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4×12＝96π. （2）设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r， ∵△SAB的周长为2×（12＋4）＝32， ∴r×32＝×8×16，解得r＝4. 故圆锥内切球的体积V球＝πr3＝π. 13.在如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是长方形，底面周长为8，PD＝3，且PD是四棱锥的高，设AB＝x. （1）当x＝3时，求三棱锥A-PBC的体积； （2）求四棱锥外接球的表面积的最小值. 解：（1）当x＝3时，AB＝3，BC＝1， 则S△ABC＝×AB×BC＝， ∴V三棱锥A-PBC＝V三棱锥P-ABC＝×PD×S△ABC＝. （2）将四棱锥P-ABCD补成长方体ABCD-A1B1C1P，如图所示， 则四棱锥P-ABCD的外接球和长方体ABCD-A1B1C1P的外接球相同. ∵AB＝x，∴BC＝4－x，则四棱锥P-ABCD外接球的半径R＝＝， 易知当x＝2时，R取得最小值，此时四棱锥外接球的表面积的最小值为4π×（ ）2＝17π. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $