培优课 与球有关的“切”“接”问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦球的“切”“接”问题，通过柱体、锥体、台体及补形几何体的外接球和内切球题型，以典型例题为导入，搭建从具体几何体到球的空间关系学习支架，衔接立体几何与球的核心知识。 其亮点在于以“通性通法”提炼解题策略，如补形法转化三棱锥为长方体，培养数学思维的逻辑性与空间观念。结合轴截面分析、勾股定理应用等，用数学语言精确描述几何关系，助力学生提升空间想象与问题解决能力，也为教师提供系统教学资源。

培优课　 与球有关的“切”“接”问题 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 　　空间几何体与球有关的“切”“接”问题是立体几何中的重点， 也是难点.所谓几何体的外接球，是指几何体的各顶点（或旋转体的 顶点、底面圆周）都在一个球面上，此球称为该几何体的外接球；内 切球是指与几何体内各面（平面、曲面）都相切的球.求解此类问题 的关键是作出合适的截面圆，确定球心，再由球的半径R、截面圆的 半径r及各几何量建立关系. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 角度1　柱体的外接球 【例1】　（1）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外 接球的体积为（　B　） A. B. C. D. B 题型一 几何体的外接球 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 法一　如图，O为外接球球心， 母线BB1的长度为2，底面半径r＝O2B＝1， 易得外接球半径R＝OB＝ ＝ ，∴外接球体积V＝ π（ ）3＝ π. 故选B. 法二　由圆柱外接球的直径等于其轴截面对角线长，∴2R＝ ＝2 ，R＝ ，∴外接球体积V＝ π（ ）3＝ π. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六 棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周 长为3，则这个球的体积为 ⁠. 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有解 得由六棱柱的外接球等于其外接圆柱体的外接球，又正六 棱柱的底面外接圆的半径r＝ ，∴外接球的直径2R＝ ＝2，∴R＝1，∴V球＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 柱体外接球问题的求解策略 （1）正方体、长方体的外接球：①正方体的外接球的球心为其体对 角线的中点，半径为体对角线长的一半；②长方体的外接球的 球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半； 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求圆柱的外接球，可以先作该圆柱的轴截面，轴截面对角线即 为外接球的直径，或将空间问题转化为平面问题，按图示方法 求解； （3）求直棱柱的外接球，可以先求其外接圆柱体，再利用该圆柱体 的轴截面求半径即可. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 角度2　锥体的外接球 【例2】　（1）（2024·南通月考）已知球O是圆锥PO1的外接球，圆 锥PO1的母线长是底面半径的3倍，且球O的表面积为 ，则圆锥 PO1的侧面积为 ⁠； 解析： 设O1B＝r，球O的半径为R，则 PB＝3r，PO1＝2 r.由球O的表面积为4πR2 ＝ ，得R2＝ .在Rt△OO1B中，R2＝（PO1 －R）2＋r2，即R2＝（2 r－R）2＋r2，解得 r＝1，故圆锥PO1的侧面积为πr·PB＝3r2π＝3π. 3π　 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）若正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为 ，各顶点都 在同一球面上，则此球的体积为 ⁠. 解析： 法一　如图，设正四棱锥的底面中 心为O1，∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球 心为O，∴△ASC的外接圆就是外接球的一个 轴截面，外接圆的半径就是外接球的半径，在 △ASC中，由SA＝SC＝ ，AC＝2，得SA2＋SC2＝AC2.∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形.∴ ＝1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球＝ . 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 法二　设外接球半径为R，正四棱锥底面中心为O1，正四棱锥S- ABCD的外接球即为其外接圆锥的外接球，易得正四棱锥底面外接圆 的半径r＝1，又AS＝ ，AO1＝r＝1，∴SO1＝ ＝ ＝1，∴R2＝（SO1－R）2＋r2，解得R＝1，故V球＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 锥体外接球问题的求解策略 （1）求圆锥的外接球，可以先作其轴截面，其为三角形，该三角形 中垂线的交点即为球心，将空间问题转化为平面问题，按图示 方法求解； 　　 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求正棱锥的外接球，可以先求其外接圆锥，再利用该圆锥的轴 截面求半径即可； （3）求直棱锥的外接球，可以先求其外接直棱柱，按照柱体求外接 球半径的方法求解即可. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 角度3　台体的外接球 【例3】　（2024·镇江质检）已知正三棱台的高为1，上、下底面边 长分别为3 和4 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 （　　） A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为 × ×3 ＝3， × ×4 ＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的 圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在 直线O1O2上.设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32 ＋O ＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；当球心O不在线 段O1O2上时，R2＝42＋O ＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所 以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.故选A. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 台体外接球问题的求解策略 （1）圆台的外接球：如图，设r1，r2，h分别为圆台的上、下底面的 半径和高，R为外接球的半径： （2）求棱台的外接球，可以先求其外接圆台，然后按照求圆台外接 球的方法求解. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 角度4　可补成规则几何体的外接球 【例4】　已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB， AC，AD两两垂直，且AB＝ ，AC＝2，AD＝3，则球O的表面积 为 ⁠. 解析：四面体ABCD的外接球O即为以AB，AC，AD为长、宽、高 的长方体的外接球，所以球O的半径R＝ ＝2，所 以球O的表面积S＝4πR2＝16π. 16π　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 1. 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内， 如图①所示. 2. 若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图② 所示. 3. 正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a＝ ，如图 ③所示. 4. 若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图 ④所示. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. 在三棱锥P-BCD中，BC⊥CD，PB⊥底面BCD，设BC＝1，PB ＝CD＝2，则该三棱锥的外接球的体积为（　　） A. B. 3π 解析： 　如图，将三棱锥P-BCD放在长、宽、高 分别为2，1，2的长方体中，则三棱锥P-BCD的外 接球即为该长方体的外接球，所以外接球的直径 PD＝ ＝ ＝3，所以 该球的体积为 π×（ ）3＝ . C. D. 5π √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 一个圆台的轴截面的面积为6，上、下底面的半径分别为1，2，则 该圆台的外接球的体积为 ⁠. 解析：设圆台的高为h，由轴截面的面积为6，得 ＝6，解 得h＝2，设该圆台外接球的半径为R，由题意得 ＋ ＝2，解得R＝ ，所以该圆台的外接球的体积为 πR3 ＝ π×（ ）3＝ π. π　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底 面圆周和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则 圆锥的侧面积为 ⁠. 4 π　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：依题意，作球的轴截面如图所示，其中O是 球心，E是圆锥的顶点，EC是圆锥的母线，由题意 可知 πR3＝36π，解得R＝3，由于圆柱的高为2， 则OD＝1，DE＝3－1＝2，DC＝ ＝ 2 ，母线EC＝ ＝2 ，故圆锥的侧面积 为S＝π·DC·EC＝π×2 ×2 ＝4 π. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 几何体的内切球 【例5】　（1）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半 径最大的球的体积为（　B　） A. B. C. D. π B 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 易知半径最大的球即为该圆锥的内切 球.圆锥PE及其内切球O如图所示，设内切球的 半径为R，则 sin ∠BPE＝ ＝ ＝ ，所以OP ＝3R，所以PE＝4R＝ ＝ ＝2 ，所以R＝ ，所以内切球的体积V＝ πR3＝ π，即该圆锥内半径最大的球的体积为 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若 三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝ 3，AB⊥BC，若三棱锥P-ABC有一个内切球O，则球O的体积 为（　C　） A. B. C. D. 9π C 解析：设球O的半径为r，则三棱锥P-ABC的体积V＝ × ×3×4×4＝ ×（ ×3×4＋ ×4×3＋ ×5×4＋ ×4×5） ×r，解得r＝ ，所以球O的体积V＝ πr3＝ ，故选C. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 常见几何体内切球的求解策略 （1）正方体的内切球：正方体的内切球球心位于其体对角线中点 处，设正方体的边长为a，其内切球半径为R＝ ； （2）圆锥的内切球：圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆的半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为r，高为h， R＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　（2024·淮安月考）一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面 都相切，已知这个球的体积为 ，那么这个正三棱柱的体积是 （　　） A. 96 B. 16 C. 24 D. 48 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　由球的体积为 ，得 πr3＝ ，解得r ＝2，又球与正三棱柱内切，故h＝2r＝4，设正三棱 柱的底面边长为a，如图，得r2＋（ ）2＝（2r）2， 解得a＝4 ，∴正三棱柱的底面积S＝ a2＝12 ，∴该正三棱柱的体积V＝S·h＝48 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 已知正方体的内切球的体积是 π，则正方体的棱长为（　　） A. 2 B. C. D. 解析： 　设正方体的棱长为a，其内切球的半径为R，则a＝ 2R，又 πR3＝ π，所以R3＝2 ，所以R＝ ，所以a＝2 . √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 底面半径为 ，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（　　） A. 6π B. 12π C. 8π D. 16π 解析： 　由圆锥的底面半径为 ，母线长为2，可求得其轴截面 的顶角为 .设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径 为R，则O1O＝｜R－1｜，R2＝O1O2＋r2＝（R－1）2＋（ ） 2，解得R＝2，所以球O的表面积为4πR2＝16π. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球 面上，则球的表面积为 ⁠. 解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面 边长相等，均为 a.如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP＝ × a＝ a，OP＝ a，所以球 的半径 R＝OA 满足R2＝（ a）2＋（ a）2＝ a2，故 S球＝4πR2＝ πa2. πa2　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 长方体的共顶点的三个面的对角线长分别为 ， ，2 ，则它 的外接球的半径为（　　） A. 1 B. C. D. 2 解析： 　设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c， ∴（2R）2＝a2＋b2＋c2＝9，∴长方体的外接球的半径R＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面 积为20π，则该四棱柱的高为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 解析： 　设球的半径为R，则4πR2＝20π，解得R2＝5，设四棱柱 的高为h，则（ ）2＋（ ）2＝R2，解得h＝3 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为 （　　） A. 4π（r＋R）2 B. 4πr2R2 C. 4πRr D. π（R＋r）2 解析： 　如图， BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R， 又OE⊥AB且BO⊥OA，∴△AEO∽△OEB， ∴OE2＝AE·BE＝Rr，∴球的表面积为4πOE2＝ 4πRr. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. （2024·盐城月考）已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个 面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为2，则半球的表面积为 （　　） A. 10π B. 12π C. 15π D. 18π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　因为正方体的一个面在半球的底面圆 内，所以过正方体体对角线的轴截面如图所示， 又正方体的棱长为2，所以FG＝2，EF＝2 ， 则OF＝ （O为半球的球心），OG＝ ＝ ，即半球的半径为 ，所以半球的表面积为 ×4π×（ ）2＋π×（ ）2＝18π，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. 已知正三棱锥S-ABC的侧棱长为4 ，底面边长为6，则该正三棱 锥外接球的体积是（　　） A. B. 64π C. D. 256π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　取△ABC的中心为E，连接SE，记球 心为O. 如图， ∵在正三棱锥S-ABC中，底面边长为6，侧棱长为 4 ，∴BE＝ × ×6＝2 ，∴SE＝ ＝6.∵球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长R，∴OB＝R，OE＝6－R. 在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，即R2＝12＋（6－R）2，解得R＝4，∴外 接球的体积为V＝ πR3＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （2024·镇江月考）如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆，∵正方体 棱长为1，∴AC＝CD1＝AD1＝ .∴内切圆半径r＝tan 30°·AE ＝ × ＝ .∴S＝πr2＝π× ＝ ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. （多选）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，上面刻着一 个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相 等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温 这个伟大发现，下列关于圆柱的体积与球的体积之比以及圆柱的表 面积与球的表面积之比的说法正确的是（　　） A. 体积之比为 B. 体积之比为 C. 表面积之比为 D. 表面积之比为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R， 由圆柱和球的体积、表面积公式计算可得V柱＝2πR3，V球＝ πR3，所以V柱∶V球＝3∶2；S柱＝4πR2＋2πR2＝6πR2，S球＝ 4πR2，所以S柱∶S球＝3∶2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. （多选）已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内 切球上有一个动点N，若线段MN的最小值为 －1，则下列说法 正确的是（　　） A. 正方体的外接球的表面积为12π B. 正方体的内切球的体积为 C. 正方体的棱长为2 D. 线段MN的最大值为2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角 线长的一半，为 a，内切球半径为棱长的一半，为 .∵M，N分 别为该正方体外接球和内切球上的动点，∴MNmin＝ a－ ＝ a＝ －1，解得a＝2，∴正方体的棱长为2，C正确.正方体 的外接球的表面积为4π×（ ）2＝12π，A正确.正方体的内切球 的体积为 π×13＝ ，B正确.线段MN的最大值为 a＋ ＝ ＋ 1，D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) 9. （2023·全国乙卷16题）已知点S，A，B，C均在半径为2的球面 上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA ＝ ⁠. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，连接 O1A，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以 其外接圆半径r＝O1A＝ × ×3＝ .将三棱 锥S-ABC补形为正三棱柱SB1C1-ABC，由题意知 SA为侧棱，设球心为O，连接OO1，OA，则OO1⊥平面ABC，且OO1＝ SA. 又球的半径R＝OA＝2，OA2＝O ＋O1A2，所以4＝ SA2＋3，得SA＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的 体积为 ，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之 和为 ⁠. 解析：如图所示，由球的体积为 ，可得该球的 半径R＝2，由题意得，两个圆锥的高O'S，O'P分别 为1和3，∵PS为球O的直径，∴△PAS为直角三角 形，又∵O'A⊥PS，∴可得截面圆半径O'A＝ ， ∴这两个圆锥的体积之和为V＝ π·（ ）2·（3＋ 1）＝4π. 4π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. 有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正 方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三 个球的表面积之比. 解：设正方体的棱长为a，三个球的半径分别为r1，r2，r3. （1）正方体的内切球球心是 正方体的中心，切点是六个面 （正方形）的中心，经过在一 个平面上的四个切点及球心作 截面，如图①所示.所以2r1＝a，r1＝ ，S1＝4π ＝πa2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）球与正方体各棱的切点为每条棱的中点，过球心作正方体的 对角面得截面，如图②. 所以2r2＝ a，r2＝ a，所以S2＝4π ＝2πa2. （3）正方体的各个顶点都在球面上，过球心作正方体的对角面得 截面，如图③所示. 则2r3＝ a，所以r3＝ a，S3＝4π ＝3πa2. 因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3＝1∶2∶3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. 一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一 个内切球.求： （1）圆锥的侧面积； 解： 如图所示，作出轴截面，则等腰 △SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB. 设圆O的半径为R，则有 πR3＝972π， ∴R＝9，SE＝2R＝18. ∵SD＝16，∴ED＝2. 连接AE，又SE是圆O的直径， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) ∴SA⊥AE， ∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝ 12 . ∵AB⊥SD，D为AB中点， ∴AD2＝SD×DE＝16×2＝32，AD＝ 4 ， ∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4 ×12 ＝ 96π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）圆锥内切球的体积. 解： 设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r， ∵△SAB的周长为2×（12 ＋4 ）＝32 ， ∴ r×32 ＝ ×8 ×16，解得r＝4. 故圆锥内切球的体积V球＝ πr3＝ π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) 13. 在如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是长方形，底面周 长为8，PD＝3，且PD是四棱锥的高，设AB＝x. （1）当x＝3时，求三棱锥A-PBC的体积； 解： 当x＝3时，AB＝3，BC＝1， 则S△ABC＝ ×AB×BC＝ ， ∴V三棱锥A-PBC＝V三棱锥P-ABC＝ ×PD×S△ABC＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求四棱锥外接球的表面积的最小值. 解： 将四棱锥P-ABCD补成长方体 ABCD-A1B1C1P，如图所示， 则四棱锥P-ABCD的外接球和长方体 ABCD-A1B1C1P的外接球相同. ∵AB＝x，∴BC＝4－x，则四棱锥P- ABCD外接球的半径R＝ ＝ ， 易知当x＝2时，R取得最小值 ，此时四棱锥外接 球的表面积的最小值为4π×（ ）2＝17π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第二册 (SJ) $