第13章 培优课 几何法求空间角 能力提升(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦高中数学空间角计算核心知识点，系统梳理异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的定义及求法，构建从基础例题解析到通性通法总结再到跟踪训练的学习支架。 该资料通过“题型分类+通法提炼+跟踪练习”设计，以正六棱柱、正方体等实例培养学生空间观念（数学眼光），多种求角方法训练推理能力（数学思维），规范解析过程提升数学语言表达，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

题型一｜异面直线所成的角 【例1】　正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线E1D与BC1所成的角是（　　） A.90°　 B.60° C.45°　 D.30° 解析：B　连接FE1，FD，则FE1∥BC1，故∠FE1D为E1D与BC1所成的角或其补角.在△EFD中，EF＝ED＝1，∠FED＝120°，∴FD2＝EF2＋ED2－2EF·ED·cos 120°＝3，∴FD＝，在△EFE1和△EE1D中，得E1F＝E1D＝＝，∴△FE1D是等边三角形，∠FE1D＝60°.故选B. 通性通法 求异面直线所成的角的方法 　　求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：①直接平移法（可利用图中已有的平行线）；②中位线平移法；③补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）. 【跟踪训练】 　已知正四棱锥P-ABCD中，PA＝2，AB＝，M是侧棱PC的中点，且BM＝，则异面直线PA与BM所成角为　45°　. 解析：如图，连接AC，BD交于点O，连接OM，则∠OMB为异面直线PA与BM所成的角.由O，M分别为AC，PC中点，得OM＝PA＝1.在Rt△AOB中，易得OB＝AB·sin 45°＝1.又BM＝，即OB2＋OM2＝BM2，所以△OMB为等腰直角三角形，∠OMB＝45°. 题型二｜直线与平面所成的角 【例2】　如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：A　取A1C1，AC的中点E，F，连接B1E，BF，EF，如图所示.由正三棱柱性质易知B1E⊥平面AA1C1C，过D作DH∥B1E，则DH⊥平面AA1C1C，则∠DAH即为AD与平面AA1C1C所成的角，易得DH＝B1E＝，DA＝， 所以sin∠DAH＝＝，故选A. 通性通法 直线与平面所成的角的求法 　　求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，即得直线在平面内的射影，最后根据垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角. 提醒：（1）斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段；（2）一条斜线与平面所成的角是这条斜线与平面内所有直线所成角中最小的，称之为最小角定理. 【跟踪训练】 　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱BC，A1B1的中点分别为E，F，则直线EF与平面ABB1A1所成角的正弦值为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：C　连接FB，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥平面ABB1A1，棱BC的中点为E，则BE⊥平面ABB1A1，而BF⊂平面ABB1A1，故BE⊥BF，则∠EFB即为直线EF与平面ABB1A1所成角，设正方体棱长为2，则BE＝1，BF＝＝＝，则EF＝＝，故sin∠EFB＝＝＝，故选C. 题型三｜二面角 角度1　定义法求二面角 【例3】　如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE.求平面ADE与平面BCEF所成二面角的大小. 解：在平面BCEF中，过点E作BC的平行线与BF的延长线交于点G，连接AG，如图，则EG∥BC. 因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以EG∥AD.则平面ADEG与平面BCEG所成的角即是我们要求的二面角，EG即为该二面角的棱. 由BC⊥CD，BC⊥CE可知，BC⊥平面CDE. 又EG∥BC，所以EG⊥平面CDE. 因为在平面BCEG中有CE⊥EG，在平面ADEG中，有DE⊥EG， 所以∠DEC即为平面ADE与平面BCEF所成二面角的平面角. 因为DC＝CE，所以△DCE是等腰直角三角形， 所以∠DEC＝45°， 即平面ADE与平面BCEF所成二面角的大小为45°. 通性通法 　　利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角. 角度2　垂面法求二面角 【例4】　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点. （1）求证：平面MNF⊥平面NEF； 解：（1）证明：∵N，F均为所在棱的中点，∴NF⊥平面A1B1C1D1.而MN⊂平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN. 又∵M，E均为所在棱的中点，∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形， ∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°， ∴MN⊥NE.又NF∩NE＝N，NF，NE⊂平面NEF，∴MN⊥平面NEF. 而MN⊂平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF. （2）求二面角M-EF-N的平面角的正切值. 解：（2）在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连接MG.如图所示. 由（1）得MN⊥平面NEF， 又EF⊂平面NEF， ∴MN⊥EF. 又MN∩NG＝N，MN， NG⊂平面MNG，∴EF⊥平面MNG， ∴EF⊥MG. ∴∠MGN为二面角M-EF-N的平面角. 设该正方体的棱长为2， 在Rt△NEF中，NG＝＝＝， ∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝＝＝. ∴二面角M-EF-N的平面角的正切值为. 通性通法 　　二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角. 角度3　垂线法求二面角 【例5】　如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α-BD-β的大小. 解：如图，过A作AF⊥BD，F为垂足， 作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE， ∴由三垂线定理知BD⊥EF， ∴∠AFE为二面角α-BD-β的平面角. 依题意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，设AC＝2， ∴AF＝CF＝，AE＝1， ∴sin∠AFE＝＝＝， ∴∠AFE＝45°. ∴二面角α-BD-β的大小为45°. 通性通法 　　如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角. 角度4　射影面积法求二面角 【例6】　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小. 解：如图，∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥AD， 又AD⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴AD⊥平面PAB， 同理BC⊥平面PAB. ∴△PCD在平面PBA上的射影为△PAB， 设平面PBA与平面PCD所成的二面角为θ， ∴cos θ＝＝＝， ∴θ＝45°. 故平面PBA与平面PCD所成的二面角的大小为45°. 通性通法 　　若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S'，且多边形与该平面所成的二面角为θ，则cos θ＝. 【跟踪训练】 1.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的平面角的正切值为（　　） A.　 B. C.1　 D. 解析：D　由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，设棱长为a，BC的中点为E，连接A1E，AE（图略），可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA，在Rt△A1AE中，AE＝a，所以tan∠A1EA＝＝＝，即二面角A1-BC-A的平面角的正切值为. 2.《九章算术》是我国古代数学名著，书中将四个面均为直角三角形的棱锥称为“鳖臑”.如图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝1，BC＝，则二面角A-PC-B的正弦值为　　. 解析：因为PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.过点B作BD⊥AC于点D，过点D作DE⊥PC于点E，连接BE.因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BD⊂平面ABC，所以BD⊥平面PAC.因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.因为DE⊥PC，BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以PC⊥平面BDE.因为BE⊂平面BDE，所以PC⊥BE，所以二面角A-PC-B的平面角为∠BED.因为AB⊥BC，且PA＝AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABC，所以PB＝，AC＝，PC＝2，PB⊥BC.又因为BE⊥PC，所以E为PC的中点，所以BE＝1.由等面积法得BD＝.因为BD⊥平面PAC，所以sin∠BED＝＝.所以二面角A-PC-B的正弦值为. 1.若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（　　） A.　　 B.　　 C.　　 D. 解析：C　设圆锥的底面半径为R，母线长为l，因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，所以πRl＝2πR2，解得l＝2R，设该圆锥的母线与底面所成角为α，则cos α＝＝，所以α＝.故选C. 2.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，则异面直线B1C1与AC所成角的大小为（　　） A.45° B.60° C.30° D.90° 解析：A　因为BC∥B1C1，所以∠ACB（或它的补角）为异面直线B1C1与AC所成的角，因为∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，所以∠ACB＝45°，所以异面直线B1C1与AC所成角为45°.故选A. 3.已知在如图所示的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC＝CD＝1，AD＝，则二面角B-CD-A的正切值为　1　. 解析：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC，∴CD⊥AC，∴∠ACB为二面角B-CD-A的平面角.∵BC⊥CD，∴BD＝＝.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD，∴AB＝＝1，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝1. 1.如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角的大小为（　　） A.30°　 B.45° C.60°　 D.90° 解析：B　如图，过点A作AO⊥BD于点O，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°.故选B. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：D　由于AA1∥DD1，所以∠DD1B（或其补角）即为直线BD1与直线AA1所成的角，不妨设正方体的棱长为a，则BD＝a，BD1＝＝a，所以cos∠DD1B＝＝＝，故选D. 3.已知二面角α-AB-β的平面角是锐角θ，平面α上有一点C到β的距离为3，点C到棱AB距离为4，那么tan θ＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：B　如图，作CE⊥AB于点E，CD⊥平面β于点D，连接ED，因为AB⊂平面β，所以CD⊥AB，又CE∩CD＝C，且CE⊂平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB⊥平面CDE，因为ED⊂平面CDE，所以AB⊥ED，因此∠CED＝θ，CD＝3，CE＝4，所以ED＝＝，所以tan θ＝＝.故选B. 4.已知正三棱锥S-ABC的所有棱长为2，则侧面和底面所成二面角的余弦值为（　　） A.　 B.－ C.　 D.－ 解析：C　法一　如图所示，过点S作SO⊥底面ABC，点O为垂足，连接OA，OB，OC，则Rt△OAS≌Rt△OBS≌Rt△OCS，∴OA＝OB＝OC，∴点O为等边三角形ABC的中心.延长AO交BC于点D，连接SD，则AD⊥BC，BC⊥SD，∴∠ODS为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角.∵OD＝AD＝SD，∴在Rt△SOD中，cos∠ODS＝＝. 法二　∵三个侧面在底面上的射影完全相同，都是底面正三角形面积的，且正三棱锥S-ABC的四个面面积相同，∴由cos θ＝知，侧面和底面所成二面角（显然为锐角）的余弦值为. 5.二面角α-MN-β的平面角为θ1，AB⊂α，B∈MN，∠ABM＝θ2（θ2为锐角），AB与β的夹角为θ3，则下列关系式成立的是（　　） A.cos θ3＝cos θ1·cos θ2 B.cos θ3＝sin θ1·cos θ2 C.sin θ3＝sin θ1·sin θ2 D.sin θ3＝cos θ1·sin θ2 解析：C　如图，过点A作AH⊥β于点H，作HO⊥MN于点O，连接AO，BH，则AO⊥MN，所以∠AOH为α-MN-β的平面角，∠ABH为AB与β所成的角，因为sin θ1＝，sin θ2＝，所以sin θ1·sin θ2＝·＝＝sin θ3. 6.〔多选〕已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则（　　） A.直线AB1与A1C1所成的角为60° B.直线AC与B1D1所成的角为60° C.二面角B-AD-B1的大小为45° D.二面角A-BD-A1的大小为45° 解析：AC　对于A，连接AC，CB1，由正方体的性质知：AB1＝B1C＝AC，所以△AB1C为等边三角形，故∠B1AC＝60°，由于A1A∥C1C，A1A＝C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，故∠B1AC即为直线AB1与A1C1所成的角，故A正确；对于B，由于B1D1∥BD，而BD⊥AC，所以直线AC与B1D1所成的角为90°，故B错误；对于C，因为DA⊥平面B1BAA1，AB1⊂平面B1BAA1，所以AD⊥AB1，又因为AB⊥DA，故∠BAB1即为二面角B-AD-B1的平面角，由于∠BAB1＝45°，故C正确；对于D，连接A1D，A1B，设正方体的棱长为2，所以A1D＝BD＝A1B＝2，AO＝，A1O＝，又A1O⊥BD，AO⊥BD，所以∠A1OA即为二面角A-BD-A1的平面角，所以sin∠A1OA＝＝＝，故D错误.故选A、C. 7.〔多选〕《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥.如图，在直角梯形ABCS中，∠ABC＝∠BCS＝90°，SC＝2BC＝2AB＝2，过点A作AD⊥SC交SC于点D，以AD为折痕把△SAD折起，当几何体S-ABCD为阳马时，下列四个命题正确的是（　　） A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成角的大小等于45° D.AB与SC所成角的大小等于30° 解析：AB　如图，当几何体S-ABCD为阳马时，SD⊥平面ABCD，对于A，SD⊥平面ABCD，所以AC⊥SD，又AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD，故AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故A正确；对于B，因为AB∥CD，且AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，故B正确；对于C，由A知，AC⊥平面SBD，连接SO，则∠ASO是SA与平面SBD所成的角，因为SA＝，OA＝，所以∠ASO＝30°，故C不正确；对于D，因为AB∥CD，所以∠SCD是AB与SC所成的角，因为SD＝CD＝1，所以∠SCD＝45°，故D不正确. 8.设P为圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足∠ABC＝90°，M为线段AP的中点.若AB＝1，AC＝2，AP＝，则二面角M-BC-A的正切值为　　. 解析：由∠ABC＝90°知，AC为底面圆的直径.作出示意图如图，设底面圆圆心为O，连接PO，则PO⊥平面ABC，易知AO＝AC＝1，PO＝＝1.设H为点M在底面上的射影，则H为AO的中点.在底面作HK⊥BC，垂足为点K，连接MK，则BC⊥平面HMK，MK⊥BC，从而∠MKH为二面角M-BC-A的平面角.因为MH＝PO＝，HK∥AB，所以＝＝，易得HK＝，所以tan∠MKH＝＝，故二面角M-BC-A的正切值为. 9.已知P为一个圆锥的顶点，PA是母线，PA＝2，该圆锥的底面半径为，B，C分别在圆锥的底面上，则异面直线PA与BC所成角的最小值为　30°　. 解析：如图所示，因为点B，C分别在圆锥PO的底面上，且PA为该圆锥的一条母线，所以异面直线PA与BC所成角的最小值为直线PA与底面所成的角，由圆锥的几何性质可知，PO与底面垂直，且OA为底面内的一条直线，则OA⊥PO，所以异面直线PA与BC所成角的最小值为∠PAO，且cos∠PAO＝＝，故∠PAO＝30°. 10.如图，S是正三角形ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝，M，N分别是AB和SC的中点.求异面直线SM与BN所成角的余弦值. 解：如图所示，连接CM， 设Q为CM的中点，连接QN，则QN∥SM. ∴∠QNB或其补角是异面直线SM与BN所成的角. 连接BQ，设SC＝a，在△BQN中， BN＝a，NQ＝SM＝a，BQ＝a， ∴cos∠QNB＝＝＝，即异面直线SM与BN所成角的余弦值为. 11.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，∠ABC＝30°，求二面角P-BC-A的余弦值. 解：设PA＝AB＝2，过点A在平面ABCD内作AE⊥BC交BC于点E，连接PE，如图所示， ∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PA， ∵AE⊥BC，PA∩AE＝A，PA，AE⊂平面PAE， ∴BC⊥平面PAE， ∵PE⊂平面PAE，∴PE⊥BC， ∴二面角P-BC-A的平面角为∠PEA， 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝30°， AB＝2，则AE＝AB＝1， ∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD， ∴PA⊥AE， ∴PE＝＝， ∴cos∠PEA＝＝＝. ∴二面角P-BC-A的余弦值为. 12.如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点. （1）求点C到平面A1ABB1的距离； （2）若AB1⊥A1C，求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值. 解：（1）由AC＝BC，D为AB的中点， 得CD⊥AB， 又CD⊥AA1，AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面A1ABB1， 所以CD⊥平面A1ABB1， 所以点C到平面A1ABB1的距离为CD＝＝. （2）如图，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1，DD1⊂平面CDC1. 又由（1）知CD⊥平面A1ABB1，A1D，DD1⊂平面A1ABB1， 故CD⊥A1D，CD⊥DD1， 所以∠A1DD1为所求的二面角A1-CD-C1的平面角. 因为CD⊥平面A1ABB1，AB1⊂平面A1ABB1， 所以AB1⊥CD， 又已知AB1⊥A1C，A1C∩CD＝C，A1C，CD⊂平面A1CD， 所以AB1⊥平面A1CD，又A1D⊂平面A1CD，故AB1⊥A1D，从而∠A1AB1，∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1＝∠A1DA， 所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A. 因此＝， 即A＝AD·A1B1＝8， 得AA1＝2. 从而A1D＝＝2. 所以，在Rt△A1DD1中， cos∠A1DD1＝＝＝. 故二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值为. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $