第11章 章末整合提升 体系构建 素养提升(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

该高中数学讲义通过分类梳理与方法归纳构建解三角形知识体系，以“应用定理”“判断形状”“实际应用”“综合问题”为模块，用结构化框架呈现常见题型（如两边对角解的个数判断）和核心方法（边角互化、方程思想），清晰展现知识内在联系。 讲义亮点是分层练习设计，从基础的例1定理应用到综合的例4三角恒等变换题，搭配跟踪训练，培养数学思维与模型意识。反思感悟提炼逻辑推理技巧，助力不同学生掌握边角互化方法，支持教师精准分层教学，提升复习实效。

一、应用正弦、余弦定理解三角形 1.这类问题一般要先审查题设条件，进行归类，根据题目类型确定应用哪个定理解决.常见题型有：（1）一边和两角（如a，B，C）；（2）两边和夹角（如a，b，C）；（3）三边（a，b，c）；（4）两边和其中一边的对角（如a，b，A）. 2.已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形.已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解的情况是不确定的.如已知△ABC的边长a，b和角A，根据正弦定理求角B时，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务必做到不漏解、不多解. 【例1】　（2025·连云港期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2ccos B＝acos B＋bcos A. （1）求角B的大小； 解：（1）因为2ccos B＝acos B＋bcos A， 由正弦定理可得2sin Ccos B＝sin Acos B＋sin Bcos A， 即2sin Ccos B＝sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sin C， 又C∈（0，π），所以sin C＞0，所以cos B＝， 又B∈（0，π），所以B＝. （2）若b＝，3a＝4c，求△ABC的面积. 解：（2）由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得13＝a2＋c2－ac， 又3a＝4c，解得（负值已舍去） 所以S△ABC＝acsin B＝×4×3×＝3. 反思感悟 应用正弦、余弦定理需注意的三个方面 （1）正弦定理和余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一； （2）统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形； （3）求值时注意方程思想的运用. 【跟踪训练】 　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B. （1）求B的大小； 解：（1）∵bsin A＝acos B， ∴由正弦定理，得sin Bsin A＝sin Acos B. 在△ABC中，sin A≠0， 即得tan B＝，∴B＝. （2）若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. 解：（2）∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理，得c＝2a， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 即9＝a2＋4a2－2a·2acos ， 解得a＝，∴c＝2a＝2. 二、判断三角形的形状 1.根据已知条件判断三角形的形状时，主要的方法是边角互化，一般有两种途径：（1）将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；（2）将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解. 2.边角互化的常见方法有：（1）通过正弦定理进行边角转换；（2）通过余弦定理进行边角转换；（3）通过三角变换找出角之间的关系；（4）b2＋c2－a2＞0⇔A为锐角，b2＋c2－a2＝0⇔A为直角，b2＋c2－a2＜0⇔A为钝角. 【例2】　（1）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为（　B　） A.锐角三角形　 B.直角三角形 C.钝角三角形　 D.不确定 解析：（1）法一　由正弦定理，得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，即sin（B＋C）＝sin2A，从而sin（B＋C）＝sin A＝sin2A，∵sin A≠0，解得sin A＝1，∴A＝.故选B. 法二　由余弦定理得bcos C＋ccos B＝a，从而a＝asin A，∵a≠0，∴sin A＝1，∵A∈（0，π），∴A＝.故选B. （2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos A＝bcos B，且c2＝a2＋b2－ab，则△ABC的形状为（　D　） A.等腰三角形或直角三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 解析：（2）∵acos A＝bcos B，由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，又A，B∈（0，π），故可得A＝B或A＋B＝；又c2＝a2＋b2－ab，即cos C＝，又C∈（0，π），故可得C＝.综上所述，A＝B＝C＝.故△ABC是等边三角形.故选D. 反思感悟 利用正弦、余弦定理判断三角形形状的方法 （1）通过边之间的关系判断形状； （2）通过角之间的关系判断形状. 合理利用正弦、余弦定理将已知条件中的边、角互化，把条件统一为边的关系或角的关系. 【跟踪训练】 　（2025·苏州期末）在△ABC中，已知cos 2A＋cos 2B＝2cos2C，则△ABC的形状一定为（　　） A.等腰三角形　 B.锐角三角形 C.直角三角形　 D.钝角三角形 解析：C　因为cos 2A＋cos 2B＝2cos2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－2sin2C，所以sin2A＋sin2B＝sin2C，由正弦定理可得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形.故选C. 三、正弦、余弦定理在实际问题中的应用 1.正弦定理和余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面. 2.在应用正弦定理或余弦定理解决实际问题时，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验. 【例3】　如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是 60 m，则河流的宽度BC是（　　） A.240（－1）m　　　　 B.180（－1）m C.120（－1）m　 D.30（＋1）m 解析：C　由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60（m），∴AC＝120（m）.在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝＝＝120（－1）（m）.故选C. 反思感悟 正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题 （1）分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图； （2）明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、方向角、方位角等； （3）将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形； （4）在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累. 【跟踪训练】 如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋）n mile的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？ 解：由题意知AB＝5（3＋）n mile， ∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－（45°＋30°）＝105°， 在△DAB中，由正弦定理得 ＝， ∴DB＝＝ ＝ ＝＝10 n mile， 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋（90°－60°）＝60°，BC＝20 n mile， ∴在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos∠DBC ＝300＋1 200－2×10×20×＝900， ∴CD＝30 n mile. ∴t＝＝1 h. ∴救援船到达D点需要1 h. 四、与三角形有关的综合问题 　　该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等. 【例4】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. （1）求B； 解：（1）由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C， 对比已知a2＋b2－c2＝ab， 可得cos C＝＝＝， 因为C∈（0，π），所以C＝， 又sin C＝cos B，所以＝cos B， 即cos B＝，又B∈（0，π），所以B＝. （2）若△ABC的面积为3＋，求c. 解：（2）由（1）可得A＝， 则sin A＝sin＝sin（＋）＝×＋×＝，由正弦定理有＝， 从而a＝·c＝c， 又S△ABC＝acsin B＝3＋，即ac＝4（＋1）， 将a＝c代入，解得c＝2. 反思感悟 解三角形综合问题的方法 （1）三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法进行求解； （2）解三角形常与平面向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解. 【跟踪训练】 　已知向量a＝（sin x，cos x），b＝（cos x，cos x），f（x）＝a·b. （1）求函数f（x）＝a·b的最小正周期； 解：（1）f（x）＝sin xcos x＋cos2x ＝sin 2x＋cos 2x＋ ＝sin（2x＋）＋， 所以f（x）的最小正周期T＝＝π. （2）在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若f（A）＝1，求△ABC的周长. 解：（2）由f（A）＝1，可得sin（2A＋）＝， 又0＜A＜π，所以＜2A＋＜， 所以2A＋＝，故A＝. 设角A，B，C的对边分别为a，b，c， 则a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以a2＝b2＋c2－bc＝7. 又sin B＝3sin C，所以b＝3c. 故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1. 所以b＝3，△ABC的周长为4＋. 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $