13.2.3 第3课时 空间距离及直线与平面所成的角-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦空间距离（点面距、线面距）及直线与平面所成的角，通过“铅笔与桌面”情境导入，衔接线面关系旧知，以新知初探、自我诊断搭建学习支架，引导学生逐步理解概念。 其亮点在于“通性通法”总结（如求点面距“一作二证三求四答”），典例与跟踪训练结合，体现直观想象（图形分析）和数学运算（推理计算），助力学生掌握方法，教师可高效开展分层教学。

第3课时　空间距离及直线与平面所成的角 1 1.理解点到平面的距离、直线到平面的距离的概念，会求简单的点面距、线面距（数学运算）. 2.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角（直观想象、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成 的角逐渐增大. 【问题】　观察并思考铅笔和桌面所成的角怎样定义？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　点到平面及直线到平面的距离 1. 点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个 平面的距离. 2. 直线到平面的距离 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作 这条直线和这个平面的距离. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面 ，但不和这个平 面 ，这条直线叫作这个平面的斜线 斜足 斜线与平面的 ，如图中 ⁠ 斜线段 斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的 斜线段，如图中 ⁠ 相交　 垂直　 交点　 点Q　 PQ　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 有关概念 对应图形 射影 如图，过平面外一点P向平面α引斜线和垂 线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在 平面内的射影，线段 就是斜线段PQ 在平面α内的射影 P1Q　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 有关概念 对应图形 直线与 平面所 成的角 定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射 影所成的锐角，如图中 ⁠； 规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们 所成的角是 ；如果一条直线与平面平 行，或在平面内，那么称它们所成的角 是 ⁠角 取值范围 设直线与平面所成的角为θ， 则 ⁠ ∠PQP1　 直角　 0°　 0°≤θ≤90°　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：对直线与平面所成的角的三点说明：①点P是斜线上不同于斜 足Q的任意一点，点P具有随意性；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂 足的一条直线，而不是线段；③求一条直线与平面所成的角，可先作出直 线在平面内的射影，从而得到直线与平面所成的角，再进一步求解. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. 平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°＜θ＜90° B. 直线与平面所成的角的取值范围是0°＜θ≤90° C. 若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行 D. 若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等 √ √ 解析： 　A、D正确；B应为0°≤θ≤90°；C中这两条直线可能平 行，也可能相交或异面.故选A、D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 若点A，B在平面α的同侧，且点A，B到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 √ 解析： 　如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α 作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质定理 可知AA1∥MM1∥BB1.结合题意知，四边形AA1B1B为直角 梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.故选A. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB 与平面ABC所成的角等于（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° √ 解析： 　∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的 角，在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°.故直线PB与平面ABC所 成的角为45°.故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜求点到平面的距离 【例1】　在各棱长均为1的四面体ABCD中，点A到平面BCD的距离为 （　　） A. B. C. D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 如图，设△BCD的中心为O，连接AO，则AO的 长即为所求.在Rt△AOD中，AD＝1，OD＝ × ×1＝ ，∴AO＝ ＝ ，即点A到平面BCD的距离 为 .故选D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求点到平面的距离的步骤 （1）作（或找）出点到平面的垂线段的垂足； （2）证明线面垂直； （3）求出该点到垂足间的线段长即为所求点到平面的距离，在平面图形 中（一般为三角形）计算所求线段的长； （4）下结论：给出所求距离. 简称“一作，二证，三求，四答”. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图，已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD， E是PA的中点，求点E到平面PBC的距离. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：如图，连接AC，BD，设交点为O，连接EO. ∵E为PA的中点，O为AC的中点，∴EO∥PC. ∵EO⊄平面PBC，PC⊂平面PBC， ∴EO∥平面PBC，∴点O到平面PBC的距离就是点E到 平面PBC的距离. 在平面ABCD内过O作OG⊥BC于点G. ∵PC⊥平面ABCD，OG⊂平面ABCD， ∴PC⊥OG，又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC， ∴OG⊥平面PBC，∴OG的长即为所求距离. ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， 数学·必修第二册（SJ） 目 录 ∴OB⊥AC，∠CBD＝∠ABD＝30°， ∴OB＝AB· cos ∠ABD＝a· cos 30°＝ a， ∴OG＝OB· sin ∠OBC＝ a· sin 30°＝ a， 即点E到平面PBC的距离为 a. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜求直线和平面的距离 【例2】　若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，且侧面ABB1A1上 的∠B1AB＝60°，则A1C1和底面ABCD的距离为（　　） A. 1 B. C. D. 2 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　连接AC，则A1C1∥AC. ∵A1C1⊄平面ABCD，AC⊂平面 ABCD，∴A1C1∥平面ABCD，∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱， ∴A1A的长即为A1C1和底面ABCD的距离，又A1A＝B1B，∴B1B的长即 为A1C1和底面ABCD的距离.由题意知，B1B＝ ，即A1C1和底面ABCD 的距离为 .故选C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　当直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等，因此线面 距离转化为点面距离，而点面距离又可以根据线面平行灵活取点求解. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝1，则直线CC1和平面B1BDD1的 距离为（　　） A. B. C. D. 1 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　连接AC（图略），则AC⊥BD，又BB1⊥AC，BD∩BB1＝ B，故AC⊥平面B1BDD1，所以点C到平面B1BDD1的距离为 AC＝ ， 即直线CC1和平面B1BDD1的距离为 .故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜求直线与平面所成的角 【例3】　（链接教科书第184页例7）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中. （1）求直线A1B与平面AA1D1D所成的角的大小； 解： ∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求直线A1B与平面BB1D1D所成的角的大小. 解： 连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角. 设正方体的棱长为1，则A1B＝ ，A1O＝ . 又∵∠A1OB＝90°， ∴ sin ∠A1BO＝ ＝ ， 又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【母题探究】 1. （变设问）在本例条件下，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角. 解：如图，连接BC1交B1C于点O，连接A1O，设正方体 的棱长为a， 因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，又B1C1∩B1B＝B1， B1C1，B1B⊂平面BCC1B1， 所以A1B1⊥平面BCC1B1， 又BC1⊂平面BCC1B1. 所以A1B1⊥BC1， 又因为BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1CD， 数学·必修第二册（SJ） 目 录 所以BC1⊥平面A1B1CD. 所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影， 所以∠BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角. 在Rt△A1BO中，A1B＝ a，BO＝ a， 所以BO＝ A1B，∠BA1O＝30°. 因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. （变设问）在本例条件下，求BD1与平面BB1C1C所成角的正切值. 解：∵D1C1⊥平面BB1C1C，∴∠D1BC1为BD1与平面BB1C1C所成的角. 设正方体的棱长为1，则BC1＝ ， ∴在Rt△D1C1B中，tan∠D1BC1＝ ＝ ＝ ， ∴BD1与平面BB1C1C所成角的正切值为 . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求直线与平面所成角的步骤 （1）作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点 作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的 位置要与问题中已知量有关，才能便于计算； （2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角； （3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面 ABCD，PC＝2，求PA与平面PBC所成角的正弦值. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：过A作AH⊥BC于H，连接PH，如图所示. ∵PC⊥平面ABCD，AH⊂平面ABCD， ∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC， ∴AH⊥平面PBC. ∴∠APH为PA与平面PBC所成的角. 在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴△ABC为正三角形，又AH⊥BC，∴H为BC中点， AH＝ ， ∵PC＝AC＝2， ∴PA＝2 ，∴ sin ∠APH＝ ＝ . 故PA与平面PBC所成角的正弦值为 . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 在正三棱锥P-ABC中，AB＝3，PA＝2 ，则直线PA与平面ABC所 成的角的大小为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　如图，取底面正三角形ABC的中心O，连接 PO，则PO⊥底面ABC，连接AO并延长，交BC于D，则 ∠PAO为直线PA与平面ABC所成的角，可得AD＝ ＝ ，则AO＝ AD＝ .在Rt△POA中，有 cos ∠PAO＝ ＝ ＝ ，即∠PAO＝60°，∴直线PA与平面ABC所成的角的大小为60°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则直线B1C1到平面ABCD的距离 是 ⁠. 解析：由正方体的性质可知，B1C1∥平面ABCD，所以直线B1C1到平面 ABCD的距离即为B1到平面ABCD的距离，由正方体的性质知B1到平面 ABCD的距离为1，即直线B1C1到平面ABCD的距离为1. 1　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知过平面α外一点A的斜线l与平面α所成角为 ，斜线l交平面α于 点B，若点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所形成 的图形面积为 ⁠. 解析：如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连接 BC，所以线段BC为线段AB在平面α上的射影，∠ABC 为斜线l与平面α所成的角，则∠ABC＝ ，又AC＝1， 所以BC＝ ，故射影形成的图形为半径为 的圆面， 其面积为3π. 3π　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则直线 A1B1到平面A1B1C1D1的距离为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　因为直线A1B1∥平面ABCD且点A1到平面ABCD的距离为4，所 以所求距离为4. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面 α所成的角是（　　） A. 60° B. 45° C. 30° D. 120° √ 解析： 　∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝ 2BO，所以 cos ∠ABO＝ ，即∠ABO＝60°.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图，平行四边形ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3， 则CE与平面ABCD所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE，且AF＝DE. 因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD，所以DE⊥DC. 因为AF＝ 2，所以DE＝2，又CD＝3，所以CE＝ ＝ ＝ .所 以所求正弦值为 ＝ ＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面 BB1C1C所成角的大小是（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° √ 解析： 　如图，取BC的中点E，连接AE，ED，AD，则 AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所 成的角.设棱长为a，则AE＝ a，DE＝ a.所以 tan∠ADE＝ ，所以∠ADE＝60°.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运 动，则下列说法正确的是（　　） A. 直线BD1⊥平面A1C1D B. 三棱锥P-A1C1D的体积为定值 C. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是 D. 直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　A项，如图，连接B1D1，由正方体可得 A1C1⊥B1D1，且BB1⊥平面A1B1C1D1，又A1C1⊂平面 A1B1C1D1，则BB1⊥A1C1，因为B1D1∩BB1＝B1，B1D1， BB1⊂平面BD1B1，所以A1C1⊥平面BD1B1，又BD1⊂平面 BD1B1，所以A1C1⊥BD1.同理，连接AD1，易证得A1D⊥BD1，因为A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1⊂平面A1C1D，所以BD1⊥平面A1C1D，故A正确；B项， ＝ ，因为点P在线段B1C上运 动，所以 ＝ A1D·AB为定值，且C1到平面A1PD的距离即为C1到平面A1B1CD的距离，也为定值，故三棱锥P-A1C1D的体积为定值，故B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 正确；C项，当点P与线段B1C的端点重合时，AP与A1D 所成角取得最小值，最小值为 ，故C错误；D项，因为直 线BD1⊥平面A1C1D，所以若直线C1P与平面A1C1D所成角 的正弦值最大，则直线C1P与直线BD1所成角的余弦值最大，即点P运动到B1C中点处，直线C1P与直线BD1所成角为∠C1BD1，设正方体棱长为1，在Rt△D1C1B中， cos ∠C1BD1＝ ＝ ＝ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（　　） A. BF∥CD B. DG⊥BH C. CH与BG成60°角 D. BE与平面ABCD所成角为45° √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由正方体的平面展开图还原正方体如图所 示，由正方体的结构特征可知，BF与CD异面垂直，所以 A错误；DG⊥CH，而CH为BH在平面DCGH上的射影， 所以DG⊥BH，所以B正确；连接AH，由AB∥GH，AB ＝GH，可得四边形ABGH为平行四边形，则AH∥BG， 所以∠AHC或其补角为异面直线CH与BG所成的角，连接AC，可得△AHC为等边三角形，得CH与BG成60°角，所以C正确；因为AE⊥平面ABCD，所以∠EBA为BE与平面ABCD所成角，为45°，所以D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 一条与平面α相交的线段，其长度为10 cm，两端点到平面α的距离分 别是2 cm，3 cm，则这条线段与平面α所成角的大小是 ⁠. 解析：如图，作出AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，AC， BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O， AB＝10，AC＝3，BD＝2，则AO＝6，BO＝4，∴∠AOC ＝∠BOD＝30°. 30°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 如图所示，AB是☉O的直径，PA⊥☉O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为 ⁠. 2　 解析：因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面 ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角.在△ABC中，AC＝ AB＝ PA，即PA＝2AC，所以tan∠PCA＝ ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 已知三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，顶点P在底面的射影为 △ABC的中心，且其高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则点A到侧面 PBC的距离是 ⁠. 解析：如图，设P在底面的射影为O，取BC的中点D，连 接PO，PD，作AE⊥PD于点E，则AE的长为所求.由 ∠PAO＝45°，PO＝2，可求PA＝2 ，AO＝2，AD＝ 3，PD＝ ，在△PAD中，由PD·AE＝PO·AD，可得 AE＝ .故点A到侧面PBC的距离为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD， DE＝DA＝2. （1）求证：AC⊥平面BDE； 解： 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD. ∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥DE， ∵BD，DE⊂平面BED，BD∩DE＝D， ∴AC⊥平面BDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求AE与平面BDE所成的角的大小. 解： 设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示. ∵AC⊥平面BDE， ∴EO是直线AE在平面BDE上的射影， ∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角. 在Rt△EAD中，EA＝ ＝2 ，AO＝ ， ∴在Rt△EOA中， sin ∠AEO＝ ＝ ， ∴∠AEO＝30°， 即AE与平面BDE所成的角为30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB∶BB1＝ ∶1，则AB1 与平面BB1C1C所成的角的大小为（　　） A. 45° B. 60° C. 30° D. 75° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　取BC的中点D，连接AD，B1D，由题意得AD⊥BC且 AD⊥BB1，又BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，∴AD⊥平面 BCC1B1，∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角.设AB＝ ，则 AA1＝1，AD＝ ，AB1＝ ，∴ sin ∠AB1D＝ ＝ ，∴∠AB1D＝ 45°.即AB1与平面BB1C1C所成的角为45°.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点 P到BC的距离是（　　） A. B. 2 C. 3 D. 4 √ 解析： 　如图，作PD⊥BC于点D，连接AD. ∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥BC. 又PA∩PD＝P，PA，PD⊂平面PAD， ∴BC⊥平面PAD，∴AD⊥BC. 在Rt△ACD中，AC＝5， CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD ＝ ＝4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 已知三棱锥P-ABC的侧棱两两垂直，PA＝PC＝2，PB＝ ，Q为 棱BC上的动点，AQ与侧面PBC所成角为θ，则tan θ的最大值为 ⁠. 　 解析：如图所示，依题意可知PA⊥PB，PA⊥PC，所 以PA⊥平面PBC，故∠PQA是所求直线与平面所成的 角.由于tan θ＝ ，其中PA＝2，当PQ最小时，正切 值取得最大值.当PQ⊥BC时，PQ最小，BC＝ ＝ ，在Rt△PBC中，利用等面积得 × ×2＝ × ×PQ，解得PQ＝ .此时tan θ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC ＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°. （1）求证：PC⊥BC； 解： 证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面 ABCD，所以PD⊥BC. 因为∠BCD＝90°，所以BC⊥CD， 又PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，所以BC⊥平面 PCD，而PC⊂平面PCD，所以PC⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求点A到平面PBC的距离. 解： 如图所示，过点A作BC的平行线交CD的延长 线于E，过点E作PC的垂线，垂足为F，则有AE∥平面 PBC，所以点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的 距离. 因为BC⊥平面PCD，EF⊂平面PCD， 所以EF⊥BC. 又EF⊥PC，BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，所以EF⊥平面PBC. 所以EF的长即为点E到平面PBC的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 又因为AE∥BC，AB∥CE， 所以四边形ABCE为平行四边形. 所以CE＝AB＝2.又PD＝CD＝1，PD⊥平面ABCD， CD⊂平面ABCD， 所以PD⊥CD，∠PCD＝45°. 所以EF＝ ，即点A到平面PBC的距离为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 〔多选〕在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是△BDC1内（不 含边界）的一个动点，若A1P⊥BC1，则线段A1P的长可能的取值为 （　　） A. B. C. 2 D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，所以A1B1⊥BC1.连接B1C，A1C，则BC1⊥B1C， A1B1∩B1C＝B1且A1B1，B1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，又 A1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥A1C，同理可证A1C⊥DC1，A1C⊥DB， 又DC1，DB⊂平面DBC1，所以A1C⊥平面DBC1，设垂足为O，则A1O ＝ A1C＝ × ＝ .记BC1∩B1C＝E，连接DE，A1D， 因为P是△BDC1内（不含边界）的一个动点，A1P⊥BC1，所以P在平面A1B1CD与平面DBC1的交线DE上（不含端点），所以A1O≤A1P＜A1D＝ ＝2 ，所以A1P的长的取值范围是［ ，2 ）.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $