13.2.3 第2课时 直线与平面垂直-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦直线与平面垂直，涵盖定义、判定定理、性质定理及棱柱分类等核心知识点。课堂通过木工用曲尺检查木棒垂直的情境导入，以问题链引导学生从生活实例抽象数学概念，搭建直观到逻辑的学习支架。 其亮点在于以直观想象和逻辑推理为核心，如“L”形木尺问题培养数学眼光，典例中证明AN⊥平面PBM强化逻辑推理，分层作业（A基础、B综合、C拓展）适配不同学生。助力学生发展空间观念与推理能力，为教师提供系统教学资源与分层练习设计。

第2课时　直线与平面垂直 1 借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面垂直的判定定理与性质定理（数学运算、逻辑推理、直观想象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是 相反的方向）检查两次，如图.如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木 棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直. 【问题】　（1）用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？ （2）上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　直线与平面垂直的定义 1. 定义：如果直线a与平面α内的 直线都垂直，那么称直线 a与平面α垂直，记作 .直线a叫作平面α的 ，平面α 叫作直线a的 ，垂线和平面的交点称为 ⁠. 2. 画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图： 任意一条　 a⊥α　 垂线　 垂面　 垂足　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条 直线垂直，那么 该直线与此平面 ⁠ 符号语言 a⊥m，a⊥n， ， ， ⁠， 则a⊥α 图形语言 相交　 垂直　 m∩n＝A　 m⊂α　 n⊂α　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个 平面垂直？ 提示：不一定垂直.直线可能落在平面内. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点三　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒ ⁠ 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行；②作平行线 　　提醒：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一 个平面与已知直线垂直. a∥b　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 　垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？ 提示：共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定 一个平面. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点四　棱柱的分类 1. 棱柱的分类 分类 定义 直棱柱 侧棱 ⁠底面的棱柱 斜棱柱 侧棱 ⁠底面的棱柱 正棱柱 底面是 ⁠的直棱柱 垂直于　 不垂直于　 正多边形　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 特殊的四棱柱 分类 定义 平行六面体 底面是 ⁠的四棱柱 直平行六面体 侧棱与底面 ⁠的平行六面体 长方体 底面是 ⁠的直平行六面体 正方体 棱长 ⁠的长方体 平行四边形　 垂直　 矩形　 相等　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. 如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂 直 B. 过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直 C. 如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定 的平面 D. 过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内 √ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 对于A，当平面内的两条直线是平行线时，这条直线和这个 平面不一定垂直，故A错误；对于B，过直线l外一点P，有且仅有一个平 面与l垂直，故B正确；对于C，由线面垂直的判定定理得：如果三条共点 直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面，故C正 确；对于D，由线面垂直的性质得：过点A垂直于直线a的所有直线都在过 点A垂直于a的平面内，故D正确.故选B、C、D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（　　） A. 平面DD1C1C B. 平面A1DCB1 C. 平面A1B1C1D1 D. 平面A1DB √ 解析： 　因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，A1D， A1B1⊂平面A1DCB1，所以AD1⊥平面A1DCB1.故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在 的直线中，与AP垂直的直线为 ⁠. 解析：因为∠BCA＝90°，所以BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C， 所以BC⊥平面PAC，因为AP⊂平面PAC，所以BC⊥AP. BC　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜线面垂直的定义的应用 【例1】　下列命题中正确的是（　　） A. 若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α B. 若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C. 若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D. 若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以 A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以 B不正确，C正确；若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D错 误.故选C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的任意一条直线”的 说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（　　） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 √ 解析： 　因为直线l⊥平面α，所以l与α相交.又因为m⊂α，所以l与 m相交或异面.由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行. 故选A. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边； ③圆的两条直径；④正五边形的两边.则能保证该直线与平面垂直的 是 .（填序号） 解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内的两条直线必须是相交 的，①③④中给定的两条直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯 形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件. ①③④　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜线面垂直的判定 【例2】　如图所示，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为 圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.求证：AN⊥平面PBM. 证明：因为AB为☉O的直径，所以AM⊥BM. 又因为PA⊥平面ABM， 所以PA⊥BM. 因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN. 因为AN⊥PM， 且BM∩PM＝M， 所以AN⊥平面PBM. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【母题探究】 （变设问）在本例条件下，若AQ⊥PB，Q为垂足，证明PB⊥平面ANQ. 证明：由本例知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM， 所以AN⊥PB. 因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，所以PB⊥平面 ANQ. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 证明线面垂直的方法 （1）由线线垂直证明线面垂直：①定义法（不常用）；②判定定理（最 常用），要着力寻找平面内的两条相交直线（有时需要作辅助线），使它 们与所给直线垂直. （2）平行转化法（利用推论）：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β， a⊥α⇒a⊥β. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　如图，在四面体P-ABC中，已知BC＝6，PC＝10，PB＝2 .F是线 段PB上一点，CF＝ ，点E在线段AB上，且EF⊥PB. 求证： PB⊥平面CEF. 证明：在△PCB中，∵PC＝10，BC＝6，PB＝2 ， ∴PC2＋BC2＝PB2，∴△PCB为直角三角形，PC⊥BC， 又PC·BC＝PB·CF，∴PB⊥CF. 又EF⊥PB，EF∩CF＝F，EF，CF⊂平面CEF， ∴PB⊥平面CEF. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜线面垂直的性质定理的应用 【例3】　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面 PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且 MN⊥AB，MN⊥PC. 证明：AE∥MN. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 证明：∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， ∴AE⊥AB， 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 证明线线平行的常用方法 （1）利用线线平行的定义：证明两直线共面且无公共点； （2）利用基本事实4：证明两直线同时平行于第三条直线； （3）利用线面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面平行； （4）利用线面垂直的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面垂直. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC. 求证：MN∥AD1. 证明：因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D. 又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD＝D，A1D，CD⊂平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. （2025·盐城期末）若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线（　　） A. 只有一条 B. 无数条 C. 是平面α内的所有直线 D. 不存在 √ 解析： 　直线a与平面α不垂直，一定存在b⊂α，使得a⊥b成立，因 此在平面α内，与b平行的所有直线都与直线a垂直，因此有无数条直线 在平面α内与直线a垂直.故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，则下列命题正确的是 （　　） A. 若m∥α，n∥α，则m∥n B. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α C. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n D. 若m⊥α，m⊥n，则n∥α √ 解析： 　因为m∥α，n∥α，则m∥n或m，n相交或m，n异面，故A 错误；由m∥α，m⊥n，则n与α的关系无法确定，可能平行，可能相 交，可能在平面内，故B错误；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，故C正确； 若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故D错误.故选C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.求证：直线SD⊥平面ABC. 证明：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，∴SD⊥AC. 如图，连接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD， ∴△ADS≌△BDS， ∴∠ADS＝∠BDS， ∴SD⊥BD. 又AC∩BD＝D， ∴SD⊥平面ABC. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. 已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是（　　） A. m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B. m⊥b，b∥α C. m∩b＝A，b⊥α D. m∥b，b⊥α √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，则m与α可能平行或m⊂α， 故A错误；m⊥b，b∥α，则m与α可能平行或相交或m⊂α，故B错 误；m∩b＝A，b⊥α，则m与α可能平行或相交或m⊂α，故C错误； 由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面 α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 √ 解析： 易证AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. （2025·南京期末）设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的 直线，则下列说法正确的是（　　） A. 若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α B. 若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m C. 若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥n D. 若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，由m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，只有直线m与n相交 时，可得l⊥α，故A错误；对于B，由m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l与m平 行、相交或异面，故B错误；对于C，由l∥m，m⊥α，n⊥α，则 l∥n，故C错误；对于D，由l∥m，l⊥α，可得m⊥α，又因为m∥n， 所以n⊥α，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心， B1H⊥D1O，H为垂足，则B1H与平面AD1C的位置关系是（　　） A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 无法确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　如图，连接B1D1，BD. ∵几何体ABCD- A1B1C1D1是正方体，底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD. 又 ∵B1B⊥AC，BD∩BB1＝B，BD，BB1⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥平面BDD1B1.∵B1H⊂平面BDD1B1，∴AC⊥B1H. ∵B1H⊥D1O，AC∩D1O＝O，AC，D1O⊂平面AD1C， ∴B1H⊥平面AD1C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA ＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是（　　） A. BC⊥平面PAB B. AD⊥PC C. AD⊥平面PBC D. PB⊥平面ADC √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AB⊥BC，∴BC⊥平面 PAB，故A判断正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA ＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正 确；∵PC⊂平面PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；在平面PBC中， PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是 （　　） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE 不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平 面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不 垂直；对于D，连接AC（图略），由ED⊥AC，ED⊥BC，且AC∩BC ＝C，可得ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又 ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE. 故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD， 则图中共有直角三角形的个数为 ⁠. 解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB. ∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 如图所示，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC 的边所在的直线中，与PC垂直的直线有 ，与AP垂直 的直线有 ⁠. 解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC. 因为 AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又因为AP⊂ 平面PAC，所以AB⊥AP，故与AP垂直的直线是AB. AB，BC，AC　 AB　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 ⁠. 线段B1C　 解析：如图，连接AC，AB1，B1C，∵正方体ABCD- A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，又CB1与AC交于 点C，∴ BD1⊥平面B1AC，又知点P在侧面BCC1B1及其 边界上运动，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P为 线段B1C上任意一点时，均有AP⊥BD1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. （2025·镇江期末）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中. 求证：（1）AB∥平面A1B1CD； 证明： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥DC， 又AB⊄平面A1B1CD，DC⊂平面A1B1CD，所以AB∥平面A1B1CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）AC1⊥B1C. 证明：连接BC1，AD1，AC1，在正方体ABCD- A1B1C1D1中BCC1B1为正方形， 所以BC1⊥B1C，又AB⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面 BCC1B1，所以AB⊥B1C， 又AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥ 平面ABC1D1， 又AC1⊂平面ABC1D1，所以AC1⊥B1C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 如图所示，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α， 垂足分别为G，H. 为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是（　　） A. EF⊥平面α B. EF⊥平面β C. PQ⊥GE D. PQ⊥FH 解析： 　因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ. 若EF⊥平面 β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ. 又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥ 平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3 的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1， G2，G3重合，重合后的点记为G，则下列关系正确的是（　　） A. SG⊥平面EFG B. SE⊥平面EFG C. GF⊥SE D. EF⊥平面SEG √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，A成立；因为 FG2⊥EG2，即FG⊥EG，因为SG∩EG＝G，所以GF⊥平面GSE，又 SE⊂平面GSE，所以GF⊥SE，C成立；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE， 这与SG∩SE＝S矛盾，B错；因为EF不垂直于EG，所以EF不垂直于平 面SEG，D错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面 ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为 ⁠. 解析：如图所示，因为PC⊥平面ABC，CM⊂平面 ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三角形，故PM2 ＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM 也最小.由条件知AC＝4，BC＝4 ，故CM的最小值为 2 ，又PC＝4，则PM的最小值为 ＝2 . 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 如图，CD⊥平面ABC，AC⊥BC，点D，E位于平面ABC的两侧， B，C，D，E四点共面，且BE＝CE. （1）证明：BC⊥平面ACD； 解： 证明：因为CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以 CD⊥BC. 又AC⊥BC，且AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD， 所以BC⊥平面ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）过点E作平面ABC的垂线，指出垂足H的位置，并说明理由. 解： 垂足H为BC的中点.理由如下： 取BC中点H，连接EH，因为BE＝CE，所以EH⊥BC. 又与（1）同理，可证AC⊥平面BCD. 因为B，C，D，E四点共面，所以EH⊂平面BCD，所以 AC⊥EH. 又AC∩BC＝C，AC，BC⊂平面ABC，所以EH⊥平面 ABC. 所以H为BC的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点. （1）求证：MN∥平面PAD； 解： 证明：取PD的中点E，连接NE，AE，如图. ∵N是PC的中点， ∴NE∥DC且NE＝ DC， 又∵DC∥AB且DC＝AB，AM＝ AB， ∴AM∥CD且AM＝ CD，∴NE∥AM，且NE＝AM， ∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE. ∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， ∴MN∥平面PAD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）当AP与AD的长度满足什么关系时，MN⊥平面PCD？ 解： 当AP＝AD时，MN⊥平面PCD，证明如下. ∵AP＝AD，∴AE⊥PD. 又∵MN∥AE，∴MN⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， ∴CD⊥平面PAD. ∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE， ∴CD⊥MN. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $