13.2.2 第2课时 异面直线-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦异面直线，通过长方体模型情境导入，衔接空间直线位置关系旧知，以定义、判定定理及所成角概念为核心，结合表格梳理、“想一想”互动和自我诊断题，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于融合直观想象与数学思维，如用平面衬托画法直观呈现异面直线，通过反证法及判定定理培养逻辑推理。典例研析总结“平移法”等通性通法，分层作业兼顾基础与拓展，助力学生提升空间观念和运算能力，也为教师提供系统教学资源。

第2课时　异面直线 1 1.理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是不是异面直线（数学抽象、直观想象）. 2.理解异面直线所成角的概念（直观想象、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C. 【问题】　（1）直线A1C与B1B具有怎样的位置关系？ （2）图中还有哪些直线与直线A1C是异面直线？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点　异面直线 1. 异面直线的判定与几何表示 画法 图形表示如图所示（通常用一个或两个平面衬托） 判定 定理 文字 表述 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内 ⁠ ⁠的直线是异面直线 符号 表述 若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直 线 不 经过该点　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 异面直线所成的角 定义 a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a'∥a， b'∥b，把直线a'和b'所成的 （或直角）叫作异面 直线a，b所成的角或夹角 范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°＜θ≤90° 特殊 情况 当θ＝ 时，a与b互相垂直，记作a⊥b 锐角　 90°　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 为什么a'，b'所成角的大小与点O的选择无关？ 提示：因为a'∥a，b'∥b，根据等角定理，a'，b'所成的锐角（或直 角）等于a，b所成的锐角（或直角），与点O的选择无关.不过为了方 便计算异面直线所成角的大小，点O常在异面直线中的某一条上取，常 取某些特殊点. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕如图，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在直线中，是异面直线的 有（　　） A. AP与BC B. BP与BC C. CP与AB D. BP与AC √ √ √ 解析： 　根据异面直线的定义可知异面直线共3对：AP与BC， CP与 AB， BP与AC. 故选A、C、D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC和直线BC1所成的角的大小 为 ⁠. 解析：如图，由正方体性质可得BC1∥AD1，所以直线AC 和直线BC1所成的角等于∠D1AC，又易知△D1AC为等边 三角形，所以∠D1AC＝60°. 60°　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜异面直线的判定 【例1】　如图所示，在三棱锥A-BCD中，E，F是棱AD上异于A，D的 两个不同点，G，H是棱BC上异于B，C的两个不同点，给出下列说法： ①AB与CD互为异面直线； ②FH分别与DC，DB互为异面直线； ③EG与FH互为异面直线； ④EG与AB互为异面直线. 其中说法正确的是 .（填序号） 解析：因为直线DC⊂平面BCD，直线AB⊄平面BCD，点B∉直线DC，所 以由异面直线的判定定理可知，①正确；同理，②③④正确. ①②③④　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 判定异面直线的方法 （1）定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交， 即不可能同在一个平面内； （2）利用异面直线的判定定理； （3）反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关 系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体， 那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异 面直线的有几对？分别是哪几对？ 解：三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH. 还原的正方体如图所示. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜异面直线所成的角 【例2】　（链接教科书第172页例3）如图，在正方体ABCD-EFGH中， O为侧面ADHE的中心，求： （1）BE与CG所成的角的大小； 解： ∵CG∥FB， ∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角. 在Rt△EFB中，EF＝FB， ∴∠EBF＝45°， ∴BE与CG所成的角为45°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）FO与BD所成的角的大小. 解： 如图，连接FH， ∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD， ∴FB＝HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO是FO与BD所成的角， 连接HA，AF， 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°， ∴FO与BD所成的角为30°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求两条异面直线所成角的步骤 （1）恰当选点，用平移法构造出一个相交角； （2）证明这个角就是异面直线所成的角（或补角）； （3）把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求 出所构造的角的度数； （4）给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线 所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为30°，E，F分 别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小. 解：如图所示，取AC的中点G， 连接EG，FG， 则EG∥AB且EG＝ AB， GF∥CD且GF＝ CD. 由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成 的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 ∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°， 由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时， ∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°， 故EF与AB所成角的大小为15°或75°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜异面直线所成角的应用 【例3】　如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，求证：AC⊥B1D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 证明：如图，连接BD，交AC于点O，取BB1的中点E， 连接OE， 则OE∥B1D， 所以OE与AC所成的角即为B1D与AC所成的角. 连接AE，CE. 易证AE＝CE， 又O是AC的中点， 所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 证明两条直线垂直的策略 （1）对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明； （2）对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的 角为90°来证明. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD与 AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2，求EF的长度. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：取BC的中点M，连接ME，MF，如图，则ME∥AC， MF∥BD，∴ME与MF所成的锐角（或直角）即为AC与BD 所成的角，而AC，BD所成的角为60°， ∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°. ∵ME＝ AC，MF＝ BD，BD＝AC＝2，∴ME＝MF＝1. 当∠EMF＝60°时，EF＝ME＝MF＝1； 当∠EMF＝120°时，取EF的中点N，连接MN，则MN⊥EF， ∴EF＝2EN＝2EM· sin ∠EMN＝2×1× ＝ . 故EF的长度为1或 . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段A1C1上的动点，则下列直线 中，始终与直线BP异面的是（　　） A. DD1 B. AC C. AD1 D. B1C √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　如图所示，由正方体的性质易知当P为A1C1的 中点时，P为B1D1的中点，而DD1∥BB1，所以B，D， D1，B1四点共面，则BP，DD1在平面BDD1B1上，故A不 符合题意；因为AA1∥CC1，即A，C，C1，A1四点共面， 易知P∈平面ACC1A1，而B∉平面ACC1A1，P∈A1C1，P∉AC，故BP与AC异面，故B符合题意；当P，C1重合时，易知AB∥D1C1，AB＝D1C1，则四边形ABC1D1是平行四边形，则此时AD1∥BP，故C不符合题意；当P，C1重合时，显然B1C，BP相交，故D不符合题意. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. （2025·镇江期末）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱 AB，AD的中点，则EF与BC1所成角的大小为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° √ 解析： 　如图，连接FE，BD，C1D，C1B，因为E，F 分别为棱AB，AD的中点，所以FE∥BD，所以∠DBC1 为EF与BC1所成角，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中， BD＝C1D＝C1B，所以△BDC1为等边三角形，所以 ∠DBC1＝60°.故选C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则 表示GH，MN是异面直线的图形有（　　） A. ①② B. ①③ √ C. ②③ D. ②④ 解析： 　①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，MN必 相交.故选D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，异面直线A'B'与BC所成的角的大小 为 .异面直线AD'与CC'所成的角的大小为 ⁠. 解析：∵B'C'∥BC，∠A'B'C'＝90°，∴A'B'与BC所成的角为90°，又 CC'∥DD'，∠DD'A＝45°，∴AD'与CC'所成的角为45°. 90°　 45°　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 异面直线是指（　　） A. 空间中两条不相交的直线 B. 分别位于两个不同平面内的两条直线 C. 平面内的一条直线与平面外的一条直线 D. 不同在任何一个平面内的两条直线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，空间中两条不相交的直线有两种可能， 一个是平行（共面），另一个是异面，所以A应排除；对 于B，分别位于两个不同平面内的两条直线，既可能平行 也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，所以B 应排除；对于C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，所以C应排除；只有D符合定义. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱所在的直线与直线BA1是异面直线的 条数为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 √ 解析： 　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线BA1 异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6 条，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是 （　　） A. BC1 B. A1D C. AC D. BC √ 解析： 　连接BD（图略），∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD， ∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和CC1的中 点，则异面直线AC和MN所成的角的大小为（　　） A. 30° B. 45° C. 90° D. 60° √ 解析： 　连接AD1，D1C，BC1（图略），因为M，N分别为BC和CC1 的中点，所以C1B∥MN，又C1B∥AD1，所以AD1∥MN，所以∠D1AC 即为异面直线AC和MN所成的角.又△D1AC是等边三角形，所以∠D1AC ＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 如图所示，在四面体ABCD中，AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 √ 解析： 　取AD的中点P，连接PM，PN（图略），则BD∥PM， AC∥PN，∴∠MPN（或其补角）即异面直线AC与BD所成的角， ∴∠MPN＝90°，PN＝ AC＝4，PM＝ BD＝3，∴MN＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是正三角形， E是BC的中点，则下列叙述正确的是（　　） A. CC1与B1E是异面直线 B. C1C与AE是异面直线 C. AE与B1C1是异面直线 D. AE与B1C1所成的角为60° √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是 共面的，故A错误；对于B，由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面 C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，故B正 确；对于C，同理AE与B1C1是异面直线，故C正确；对于D，AE与B1C1所 成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC中点，△ABC为正三角形，所 以AE⊥BC，所以AE与B1C1所成的角为90°，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱所在的直线中，与直线 A1B，D1C1均异面且垂直的直线是 ⁠. 解析：易知AD分别与A1B，D1C1垂直且异面. AD　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 如图，过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB， AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作 条. 解析：连接AC1（图略），则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过 点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD， AA1所成的角也都相等.故这样的直线l可以作4条. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H， I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成 三棱锥后，GH与IJ所成角的大小为 ⁠. 解析：将三角形折成三棱锥，如图所示，GH与IJ为异面直 线.在三棱锥A-DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，所以∠ADF 即为所求，因此GH与IJ所成的角的大小为60°. 60°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，E是PC的中点，连接AE. 求证：AE 与PB是异面直线. 证明：假设AE与PB共面于平面α，连接BE（图略）. 因为A∈α，B∈α，E∈α， 所以平面ABE即为平面α，所以P∈平面ABE， 这与P∉平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八 个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面 体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　如图所示，由题可知，四边形ABEG和CDFE均 为正方形，△EFG为正三角形，因为AB∥EG， CD∥EF，所以∠GEF或其补角为异面直线AB与CD所成 的角.因为△EFG为正三角形，所以∠GEF＝60°.故AB与 CD所成角的大小为60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列 结论正确的是（　　） A. AB⊥EF B. AB与CM所成的角为60° C. MN∥CD D. EF与MN所成的角为60° √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　把展开图还原成正方体，如图所示.A选项，因 为AB∥MC，且EF⊥MC，所以EF⊥AB，故A正确；B 选项，因为AB∥MC，所以AB与CM所成的角为0°，故B 错误；C选项，因为AE∥MN，且AE⊥CD，所以 MN⊥CD，故C错误；D选项，因为AE∥MN，所以 ∠AEF或其补角为EF与MN所成的角，又因为EF＝FA＝AE，所以△AEF为等边三角形，因此∠AEF＝60°，且异面直线所成角的范围为（0，90°]，所以∠AEF为EF与MN所成的角，因此EF与MN所成的角为60°，故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 如图，在圆柱OO1中，底面半径为1，OA⊥O1B，异面直线AB与OO1 所成角的正切值为 ，则圆柱的高为 ⁠. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：如图，过点B作OO1的平行线交底面圆O于点H，连接 OH，AH，则∠ABH即为异面直线AB与OO1所成的角， tan∠ABH＝ ，易知OH∥O1B且OH＝O1B，由OA⊥O1B可 知，OA⊥OH，所以AH＝ ＝ ，又tan∠ABH＝ ，所以圆柱OO1的高BH＝ ＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.求证：CD1⊥EF. 证明：如图，取CD1的中点G，连接EG，DG. ∵E是BD1的中点， ∴EG∥BC，EG＝ BC， ∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC， ∴DF∥BC，DF＝ BC，∴EG∥DF，EG＝DF， ∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 ∴∠DGD1（或其补角）是异面直线CD1与EF所成的角. 又∵A1A＝AB， ∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形， 又G为CD1的中点， ∴DG⊥CD1，∴∠DGD1＝90°， ∴异面直线CD1与EF所成的角为90°， ∴CD1⊥EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝2 ， ∠ABC＝120°，侧面是全等的长方形，若A1B⊥AD1，求AA1的长. 解：如图所示，连接CD1，AC. 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， A1D1∥BC，A1D1＝BC＝2 ， ∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴A1B∥CD1， ∴∠AD1C（或其补角）为异面直线A1B和AD1所成的角， ∵A1B⊥AD1，即异面直线A1B和AD1所成的角为90°，∴∠AD1C＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 又易知AD1＝D1C， ∴△ACD1是等腰直角三角形， ∴AD1＝ AC. ∵AB＝BC＝2 ， ∠ABC＝120°， ∴AC＝2 × sin 60°×2＝6， ∴AD1＝ AC＝3 ， ∴AA1＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $