13.2.2 第1课时 平行直线-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦空间直线位置关系、基本事实4及等角定理，通过教室灯管、黑板直线等情境导入，从生活实例抽象出相交、平行、异面直线概念，搭建直观到逻辑的学习支架。 其亮点在于以直观想象为基础，通过表格归纳位置关系、“想一想”辨析易错点，结合正方体、翻折等例题培养逻辑推理，分层作业巩固知识。学生能提升空间观念，教师可直接使用结构化资源高效教学。

第1课时　平行直线 1 1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线的位置关系（直观想象）. 2.了解基本事实4及等角定理（逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 观察我们所在的教室. 【问题】　（1）教室内同一列的护眼灯管所在的直线是什么位置关系？ （2）教室中护眼灯管所在的直线和黑板左侧所在的直线是什么位置关 系？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 在 ⁠平面内 有且只有 ⁠个 平行直线 在 ⁠平面内 没有 异面直线 不同在 ⁠平面内 没有 同一　 1　 同一　 任何一个　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 若两条直线没有公共点，那么这两条直线平行，这种说法是否正确？ 提示：不正确.若两条直线没有公共点，那么这两条直线可以是平行直线 也可以是异面直线. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　基本事实4 文字语言 ⁠的两条直线平行 图形语言 符号表述 ⇒ ⁠ 含义 揭示了空间平行线的传递性 作用 证明两条直线平行 平行于同一条直线　 a∥c 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点三　等角定理 研究对象 在空间中的两个角 条件 一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同 结论 这两个角 ⁠ 　　提醒：等角定理的推论：推论1：在空间中，如果一个角的两边和另 一个角的两边分别平行并且方向相反，那么这两个角相等；推论2：在空 间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且一组平行边方向 相同，另一组平行边方向相反，那么这两个角互补. 相等　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行对吗？ 提示：不一定.两条直线可以是相交、平行或异面直线. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. 如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 B. 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 C. 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐 角（或直角）相等 D. 在空间中，互相平行的两直线是指在同一平面内没有公共点的两条直线 √ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，由基本事实4知A正确；对于B，由等角定理知，如 果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补， 故B错误，C正确；对于D，由平行线的定义可知D正确.故选A、C、D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图，在四面体S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN， MP的中点，则EF与HG的位置关系是（　　） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或异面 √ 解析： 　∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF是△SPN的中位线， ∴EF∥PN，同理可证HG是△MPN的中位线，∴HG∥PN，则 EF∥HG. 故选A. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°， 则∠B＝ ⁠. 解析：∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝ 180°，又∵∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°. 70°或110°　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜空间两直线位置关系的判定 【例1】　（1）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线 的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是 ⁠； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是 ⁠； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是 ⁠； 平行　 异面　 相交　 ④直线AB与直线B1C的位置关系是 ⁠. 异面　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：根据题意知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点， 则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在平面A1BB1内， 而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面.同理，直线AB与直 线B1C异面，所以②④应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1 点，所以③应该填“相交”. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）已知a，b，c是三条直线，且a与b异面，b与c异面，试判断a与c 的位置关系，并画图说明. 解：直线a与c的位置关系有三种，如图所示. 直线a与c可能平行（如图①所 示），也可能相交（如图②所 示），还可能异面（如图③所示）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 空间两条直线位置关系的判定方法 （1）判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线 平行也可以用基本事实4判断； （2）判定两条直线是异面直线通常用定义法，即判断两直线不可能在同 一平面内. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是 棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，则下列结论正确的是 （　　） A. 直线GH和MN平行，GH和EF相交 B. 直线GH和MN平行，MN和EF相交 C. 直线GH和MN相交，MN和EF异面 D. 直线GH和EF异面，MN和EF异面 √ 解析： 　易知GH∥MN，又因为E，F，M，N分别为所在棱的中点， 由基本事实3可知EF，DC，MN交于一点，所以B正确，C、D错误；由 异面直线的判定定理得GH和EF是异面直线，所以A错误.故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜基本事实4及其应用 【例2】　（链接教科书第168页例1）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，E1，F1分别是AB，BC，A1B1，B1C1的中点.求证： EE1∥FF1. 证明：因为E，E1分别是AB，A1B1的中点， 所以BE∥B1E1，且BE＝B1E1. 所以四边形EBB1E1是平行四边形. 所以EE1∥BB1. 同理可证FF1∥BB1. 所以EE1∥FF1. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【母题探究】 （变条件，变设问）在本例中，条件改为：如图，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，A1D1的中点，求证：四边形ACMN是 梯形. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 证明：连接A1C1（图略），在△A1C1D1中， 因为M，N分别是C1D1，A1D1的中点，所以MN是△A1C1D1的中位线， 所以MN∥A1C1，且MN＝ A1C1. 由正方体的性质，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1. 所以MN∥AC，且MN＝ AC. 又AN与CM不平行，所以四边形ACMN是梯形. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 证明空间两条直线平行的方法 （1）平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等； （2）定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面，一是两条直 线在同一平面内；二是两条直线没有公共点； （3）基本事实4：用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得 a∥b，同时b∥c，即可得到a∥c. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB， BC的中点，H，G分别是AD，CD上的点， 满足 ＝ . （1）求证：E，F，G，H四点共面； 证明： 如图，连接AC， ∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC. 在△ADC中，∵ ＝ ，∴GH∥AC，∴EF∥GH， ∴E，F，G，H四点共面. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）设EH与FG交于点P，求证：B，D，P三点共线. 证明： ∵EH∩FG＝P，∴P∈EH，又∵EH⊂平面ABD，∴P∈ 平面ABD， 同理P∈平面BCD，∴P为平面ABD与平面BCD的一个公共点. 又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即P，B，D三点共线. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜等角定理及其应用 【例3】　（链接教科书第170页例2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点.求证： ∠EA1F＝∠E1CF1. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 证明：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中点 M，连接BM，F1M. 由题意得BF＝A1M＝ AB. 又BF∥A1M，∴四边形A1FBM为平行四边形，∴A1F∥BM. 又F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M􀱀C1B1. 而C1B1􀱀BC，∴F1M􀱀BC，∴四边形F1MBC为平行四边形，∴BM∥CF1. 又∵BM∥A1F，∴A1F∥F1C， 同理可得A1E∥CE1， ∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别平行且方向相反， ∴∠EA1F＝∠E1CF1. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 关于等角定理的应用 （1）根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线平 行； （2）根据角的两边的方向判定两角相等或互补. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，点A1，B1，C1分别是不共面的三条射线OA，OB，OC上的 点，且 ＝ ＝ .求证：△A1B1C1∽△ABC. 证明：在△OAB中，因为 ＝ ， 所以A1B1∥AB. 同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC. 所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC. 所以△A1B1C1∽△ABC. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的 条数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 √ 解析： 　AB与CC1不共面，因此没有同时与这两条直线平行的直线，与 AB平行且与CC1相交的有CD，C1D1，与AB相交且与CC1平行的有AA1， BB1，与AB相交也与CC1相交的有BC，所以共有5条. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β＝ ⁠ ⁠. 解析：∵空间两角α，β的两边分别对应平行，∴这两个角相等或互 补.∵α＝60°，∴β＝60°或120°. 60°或 120°　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别 为AA1，CC1的中点，求证：BFD1E是平行四边形. 证明：如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE. 因为F为CC1的中点， 所以BG∥FC1，且BG＝FC1. 所以四边形BFC1G是平行四边形. 所以BF∥GC1，BF＝GC1. 同理可证四边形A1EGB1为平行四边形， 所以EG∥A1B1，EG＝A1B1，又因为A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1， 数学·必修第二册（SJ） 目 录 所以EG∥C1D1，EG＝C1D1. 所以四边形EGC1D1是平行四边形. 所以ED1∥GC1，ED1＝GC1.所以BF∥ED1，BF＝ED1. 所以四边形BFD1E是平行四边形. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 空间中两条互相平行的直线指的是（　　） A. 空间中没有公共点的两条直线 B. 分别在两个平面内的两条直线 C. 在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D. 在同一平面内且没有公共点的两条直线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 在三棱锥P-ABC中，PB⊥BC，D，E，F分别是PA，AB，AC的中 点，则∠DEF＝（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° √ 解析： 　由题意可知DE∥PB，EF∥BC，所以∠DEF＝∠PBC＝ 90°.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR的大小为（　　） A. 30° B. 30°或150° C. 150° D. 以上结论都不对 √ 解析： 若AB与PQ，BC与QR方向都相同或相反，则∠PQR＝∠ABC ＝30°；若AB与PQ，BC与QR中一对方向相反，一对方向相同，则 ∠PQR＋∠ABC＝180°，即∠PQR＝150°.所以∠PQR＝30°或150°. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB 与CD的位置关系是（　　） A. 平行 B. 异面 C. 相交或平行 D. 平行或异面或相交均有可能 √ 解析： 　如图可知AB，CD 有平行，异面，相交三种情 况，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1， CC1的中点，以下结论正确的是（　　） A. 直线DM与CC1是相交直线 B. 直线AM与NB是平行直线 C. 直线MN与CD1是平行直线 D. 直线AM与DD1是异面直线 √ √ √ 解析： 　对于A，直线DM与直线CC1在同一平面内，它们不平行，必 相交，故A正确；对于B，AM与BN是异面直线，故B错误；对于C，MN 是△CD1C1的中位线，故C正确；对于D，两条直线既不相交也不平行，即 为异面直线，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形， BC∥DE. 设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则 （　　） A. PQ＝ MN B. PQ∥MN C. M，N，P，Q四点共面 D. 四边形MNPQ是梯形 √ √ √ 解析： 　由题意知PQ＝ DE，且DE≠MN，所以PQ≠ MN，故A 不正确；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以 B、C、D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 在四棱锥P-ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中 点，若EF＝2，则GH＝ ⁠. 解析：由题意知EF∥AC，EF＝ AC，GH∥AC，GH＝ AC，故 EF􀱀GH，故GH＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与 ∠A1AB相等的角是 ⁠. 解析：因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥DC，所以 ∠A1AB与∠D1DC相等.又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所 以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等. ∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 如图所示，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一 点O，且 ＝ ＝ ＝ ，则 ＝ 　 　. 　 解析：如题干图， ＝ ＝ ＝ ，可证AB∥A'B'， AC∥A'C'，BC∥B'C'.由等角定理得∠CAB＝∠C'A'B'， ∠ACB＝∠A'C'B'，∴△ABC∽△A'B'C'，∴ ＝ ， ∴ ＝ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由. 解：如图所示，在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1， 交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求. 理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1， 所以EF∥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝ 4，BD＝6，则（　　） A. 1＜MN＜5 B. 2＜MN＜10 C. 1≤MN≤5 D. 2＜MN＜5 解析： 　取AD的中点H，连接MH，NH，则MH∥BD，且MH＝ BD，NH∥AC，且NH＝ AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形 中三边关系，可得MH－NH＜MN＜MH＋NH，即1＜MN＜5.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕如图所示，在四面体A-BCD中，M，N，P，Q，E分别是 AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是（　　） A. M，N，P，Q四点共面 B. ∠QME＝∠CBD C. △BCD∽△MEQ D. 四边形MNPQ为梯形 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD， NP∥BD. 对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说 法正确；对于B，根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；对 于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以 △BCD∽△MEQ，故C说法正确；由三角形的中位线定理，知MQ􀱀 BD，NP􀱀 BD，所以MQ􀱀NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故 D说法不正确.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点， F，G分别是CB，CD上的点，且 ＝ ＝ ，若BD＝6，四边形EFGH 的面积为28，则直线EH，FG之间的距离为 ⁠. 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：由题意得EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD且EH＝ BD＝3，又 ∵ ＝ ＝ ，∴GF∥BD且GF＝ BD＝4，由基本事实4知， EH∥GF，∴四边形EFGH是梯形，而直线EH，FG之间的距离就是梯形 EFGH的高，设为h，即 ＝28，得h＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝ 90°，BC∥AD，BC＝ AD，BE∥FA，BE＝ FA，G，H分别为 FA，FD的中点. （1）证明：四边形BCHG是平行四边形； 解： 证明：由G，H分别为FA，FD的中点， 可得GH∥AD，GH＝ AD. 又BC∥AD，BC＝ AD，∴GH􀱀BC， ∴四边形BCHG是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 解： 由BE∥FA，BE＝ FA，G为FA的中点知， BE􀱀FG，∴四边形BEFG为平行四边形， ∴EF∥BG. 由（1）知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面. 又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 如图①所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的 中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD到达C'D'的位置（如图②）， G，H分别为AD'，BC'的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 证明：在题图①中，∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E，F分别为 BC，AD的中点， ∴EF∥AB且EF＝ （AB＋CD）. 在题图②中，易知C'D'∥EF∥AB. ∵G，H分别为AD'，BC'的中点， ∴GH∥AB且GH＝ （AB＋C'D'）＝ （AB＋CD）， ∴GH∥EF，且GH＝EF， ∴四边形EFGH为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $