14.3.1 扇形统计图、折线统计图、频数直方图(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本高中数学讲义聚焦扇形统计图、折线统计图、频数直方图的核心知识点，从数据可视化的必要性出发，系统梳理三种图表的特点及功能，通过问题导入、知识点解析、题型示例构建“认识特点—选择应用—巩固提升”的学习支架。 资料以问题驱动结合生活实例，如气温变化选图、PM2.5数据折线图分析，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过题型分类与通性通法总结，强化数据分析与直观想象，助力教师课中系统教学，课后练习题帮助学生巩固应用，查漏补缺。

14.3.1　扇形统计图、折线统计图、频数直方图 课标要求 1.掌握常用的几种统计图表的功能及其特点（数学抽象、逻辑推理）. 2.能根据实际问题的特点，选择适当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性（直观想象、数据分析、数学运算）. 　　抽取样本是为了从样本中获取信息，来估计总体的一些性质和特点，但是面对多而杂的数据，我们往往无法直接从原始数据中理解它们所包含的信息.因此，必须借助于图、表等来分析数据，帮助我们从中找出数据的规律. 【问题】　（1）在日常生活中常见的统计图有哪几种？ （2）若要统计本市今年每月平均气温及变化情况，选用哪种统计图比较合适？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　常见统计图 1.扇形统计图、折线统计图 统计图表 特点 扇形统计图 扇形统计图可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况.扇形统计图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比 折线统计图 建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应点，然后用直线段顺次连接相邻点，得到一条折线，用这条折线表示样本数据情况，这种表述和分析数据的统计图称为折线统计图 2.频数直方图 （1）频数分布表：将一组统计数据按大小分为不同的组段，将各数据归纳到各组段中，数出各组段的数据个数，用表格形式表示，这样的表格称为频数分布表； （2）频数直方图：根据频数分布表，用横轴表示各组数据，用纵轴表示各组数据的频数，绘制条形统计图，像这样的条形统计图，直观地呈现了频数的分布特征和变化规律，称为频数直方图. 1.要反映某市一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用（　　） A.条形统计图　 B.扇形统计图 C.折线统计图　 D.频数直方图 解析：C　描述数据随时间的变化趋势宜采用折线统计图. 2.某市近几年连年干旱，市政府采取各种措施扩大水源，措施之一是投资增建水库，如图是该市目前水源结构的扇形图，请你根据图中圆心角的大小计算出黄河水在总供水中所占的百分比是（　　） A.64%　 B.60% C.54%　 D.74% 解析：A　直接利用圆心角计算即可，即＝＝64%. 3.一个射击运动员某次射击成绩如图，若此次射击10次，则中七环的次数为　4　. 解析：由条形统计图知，射击运动员击中七环的频率为0.4，所以该射击运动员射击10次，中七环的次数为10×0.4＝4. 题型一｜扇形统计图及应用 【例1】　某公司2024年在各个项目中总投资500万元，如图是几类项目的投资占比情况，已知在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占，那么不少于3万元的项目投资共有（　　） A.56万元　　　　　　 B.65万元 C.91万元　 D.147万元 解析：B　由图可知，1万元以上的项目投资占1－0.46－0.33＝0.21＝21%，则投资1万元以上的资金共500×0.21＝105（万元）.又在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占，则不少于3万元的项目投资占1－＝.故不少于3万元的项目投资为105×＝65（万元）. 通性通法 应用扇形统计图时的注意点及其作用 （1）注意点：在用扇形统计图表示数据时，注意把原始数据转化为百分数； （2）作用：扇形统计图用于比较一组数据中各部分数据所占总数的百分比，并且可以比较它们之间的大小，还可以比较不同组数据的变化情况. 【跟踪训练】 　甲、乙、丙、丁四组人数分布如图所示，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为（　　） A.150　 B.250 C.300　 D.400 解析：B　∵甲组人数为120，占总人数的百分比为30%，∴总人数为120÷30%＝400.∵丙、丁两组人数和占总人数的百分比为1－30%－7.5%＝62.5%，∴丙、丁两组人数和为400×62.5%＝250. 题型二｜折线统计图及其应用 【例2】　〔多选〕PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35 μg/m3以下时空气质量为一级，在35 μg/m3～75 μg/m3时空气质量为二级，在75 μg/m3以上时空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日PM2.5日平均数（单位：μg/m3）的统计数据，则下列叙述正确的是（　　） A.这10天中有4天空气质量为一级 B.这10天中PM2.5日平均数最高的是11月5日 C.从5日到9日，PM2.5日平均数逐渐降低 D.这10天的PM2.5日平均数最低的是11月4日 解析：ABC　由图表可知，选项A、B、C正确；对于选项D，这10天的PM2.5日平均数最低是11月9日，故D错误. 通性通法 1.绘制折线统计图时，第一步，确定横轴、纵轴表示的意义；第二步，确定一个单位长度表示的数量，根据数量的多少描出各点；第三步，用直线段顺次连接即可. 2.在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数据的增减变化情况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度. 【跟踪训练】 　汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（　　） ①某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油；②消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米；③以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少；④甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油. A.②④　 B.①③ C.①②　 D.③④ 解析：B　对于①，速度在80千米/小时以下时，相同条件下每消耗1升汽油，丙车行驶路程比乙车多，所以在该市用丙车比用乙车更省油，所以①正确；对于②，从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于5（乙车图象的最高点的纵坐标大于5），所以②错误；对于③，同样速度甲车消耗1升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多，所以行驶相同路程，甲车油耗最少，所以③正确；对于④，甲车以80千米/小时的速度行驶，1升汽油行驶10千米，所以行驶1小时，即行驶80千米，消耗8升汽油，所以④错误.故选B. 题型三｜条形统计图及其应用 【例3】　为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容.为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如图所示. 请根据统计图提供的信息回答以下问题： （1）求抽取的学生人数； 解：（1）从统计图上可以看出，抽取的学生人数为20＋10＋30＋15＋30＋38＋64＋42＋6＋45＝300. （2）若该校有3 000名学生，估计喜欢收听《品三国》的学生人数； 解：（2）喜欢收听《品三国》的男生有64人，女生有42人，共有106人，占所抽取总人数的比例为，由于该校有3 000名学生，因此可以估计喜欢收听《品三国》的学生有×3 000＝1 060（人）. （3）估计该校喜欢收听《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比. 解：（3）该校喜欢收听《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的比例为×100%＝15%. 通性通法 　　条形统计图是一种以矩形的长度为变量的统计图，通常用横轴（横轴上的数字）表示样本类别（样本值），用纵轴上的单位长度表示一定的数量.条形统计图主要用来比较两个或两个以上类别（只有一个变量）的样本，通常用于较小的数据分析. 【跟踪训练】 某数学学习网站为吸引更多人注册加入，举行了一个为期5天的推广活动.在活动期间，加入该网站的人数变化情况如下表所示： 时间 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 新加入 人数 153 550 653 b 725 累积总 人数 3 353 3 903 a 5 156 5 881 （1）表格中a＝　4 556　，b＝　600　； 解析：（1）由题意得a＝3 903＋653＝4 556，b＝5 156－4 556＝600. （2）请把如图所示的条形图补充完整； 答案：（2）见解析图 解析：（2）补充完整的条形图如图所示. （3）根据以上信息，判断下列说法正确的是　①　（填序号）. ①在活动之前，该网站已有3 200人加入； ②在活动期间，每天新加入人数逐天递增； ③在活动期间，该网站新加入的总人数为2 528. 解析：（3）3 353－153＝3 200（人），故①正确；第4天增加的人数为600，小于第3天增加的人数，故②错误；在活动期间，该网站新加入的总人数为153＋550＋653＋600＋725＝2 681，故③错误. 题型四｜频数直方图及应用 【例4】　（链接教科书第237页例2）某校为了了解学生在校吃午餐所需时间的情况，抽查了20名同学在校吃午餐所需时间，获得如下数据（单位：min）： 10，12，15，10，16，18，19，18，20，38，22，25，20，18，18，20，15，16，21，16. （1）若将这些数据分为6组，请列出频数分布表，画出频数直方图； 解：（1） 分组 频数 [9.5，14.5） 3 [14.5，19.5） 10 [19.5，24.5） 5 [24.5，29.5） 1 [29.5，34.5） 0 [34.5，39.5] 1 合计 20 （2）根据频数直方图，你认为校方安排学生吃午餐时间多长为宜？请说明理由. 解：（2）校方安排学生吃午餐时间25 min左右为宜，因为约有90%的学生在25 min内可以就餐完毕. 通性通法 画频数直方图的一般步骤 （1）计算出数据中最大值与最小值的差； （2）确定组距与组数，100个以内的数据一般分为5～12组； （3）确定分点，常使分点比所统计的数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减少一点； （4）列频数分布表，把数据分别“划”到相应组中，统计每组中相应数据出现的频数； （5）画出频数直方图，建立平面直角坐标系，用横轴表示各分组数据，纵轴表示各组数据的频数，画出频数直方图. 【跟踪训练】 　为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频率分布表和未完成的频数直方图. 某校九年级50名学生跳高测试成绩的频率分布表 分组 频数 频率 [1.09，1.19） 8 0.16 [1.19，1.29） 12 0.24 [1.29，1.39） a b [1.39，1.49] 10 0.2 合计 50 1 （1）求a，b的值，并把频数直方图补充完整； 解：（1）a＝50－8－12－10＝20， b＝＝0.4. （2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29 m（含1.29 m）以上的人数. 解：（2）该年级学生跳高成绩在1.29 m（含1.29 m）以上的人数为500×（0.4＋0.2）＝300. 1.为了解学生每日参加体育锻炼的情况，学校用按比例分配的分层抽样方法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有36人，则抽取的样本容量为（　　） A.90　　 B.100　　　 C.120　　 D.160 解析：C　由图可知高三年级学生人数占总人数的30%，因为抽取的样本中高三年级的学生有36人，所以样本容量为＝120.故选C. 2.为了了解本校高一年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数直方图，请根据图示计算，仰卧起坐次数在25～30次的频率是（　　） A.0.1　 B.0.2　　 C.0.3　 D.0.4 解析：D　次数在25～30次的人数为12，故其频率为＝0.4.故选D. 3.〔多选〕2025年1月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）南京的温度走势如图所示，则下列说法正确的是（　　） A.1月2日8时至14时南京气温逐渐升高，14时到次日5时南京气温逐渐降低 B.1月2日8时至次日8时南京的最低气温为2 ℃，最高气温为12 ℃ C.根据图象，这一天12时所对应的温度为10 ℃ D.根据图象，这一天21时所对应的温度为6 ℃ 解析：ABD　由折线图知，1月2日8时至14时气温逐渐升高，14时到次日5时气温逐渐降低，故A正确；由折线图知，1月2日8时至次日8时的最低气温为2 ℃，最高气温为12 ℃，故B正确；根据折线图，这一天12时所对应的温度约为8＋≈9.33 ℃，故C错误；根据折线图，这一天21时所对应的温度为7－＝6 ℃，故D正确. 4.如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图.已知该校在校学生3 000人，根据统计图计算该校共捐款　37 770　元. 解析：根据统计图，得高一人数为3 000×32%＝960，捐款960×15＝14 400（元）；高二人数为3 000×33%＝990，捐款990×13＝12 870（元）；高三人数为3 000×35%＝1 050，捐款1 050×10＝10 500（元）.所以该校学生共捐款14 400＋12 870＋10 500＝37 770（元）. 1.大西洋的面积约占大洋总面积的25%，若用扇形统计图表示各大洋的面积占大洋总面积的百分比，则大西洋对应的扇形圆心角的度数为（　　） A.180°　　 B.80°　　 　C.90°　 　 D.14° 解析：C　因为扇形的圆心角度数是360°×它在总量中所占的百分比，所以大西洋对应的扇形圆心角为360°×25%＝90°，故选C. 2.下列四个统计图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是（　　） 解析：D　在这四个统计图中，D中条形图能明确表示不同品种的奶牛的平均产奶量，优势较为明显. 3.调查某小区内30户居民月人均收入情况，制成如图所示频数直方图，则收入在1 200～1 240元的频数是（　　） A.12　 B.13　　C.14　 D.15 解析：C　根据题意可得：共30户接受调查，其中1 200元以下的有3＋7＝10（户），1 240元以上的有4＋1＋1＝6（户），那么收入在1 200～1 240元的频数是30－6－10＝14.故选C. 4.某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本.若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取（　　） A.10人　 B.15人　　C.20人　 D.30人 解析：C　分层抽样时，由于40岁以下年龄段占总数的50%，故容量为40的样本中在40岁以下年龄段中应抽取40×50%＝20（人）. 5.〔多选〕某市商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共300户，所占比例为，二居室住户占.如图2是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中，抽取10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（　　） A.样本容量为90 B.样本中三居室住户共抽取了35户 C.根据样本可估计对四居室满意的住户有110户 D.样本中对二居室满意的有3户 解析：BC　如图1调查的所有市民中四居室共300户，所占比例为，二居室住户占，∴n＝＝900，二居室有900×＝150户，三居室有450户，由图1和图2得，样本容量为900×10%＝90，故A正确；样本中三居室住户共抽取了450×10%＝45户，故B错误；根据样本可估计对四居室满意的住户有300×40%＝120户，故C错误；样本中对二居室满意的有150×10%×20%＝3户，故D正确.故选B、C. 6.〔多选〕如图，这是某款新能源汽车在速度、稳定性、安全性、易用性、续航能力这五个方面的综合评分的雷达图，则下列结论正确的是（　　） A.这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于稳定性方面的综合评分 B.这款新能源汽车在稳定性和续航能力这两方面的综合评分相等 C.这款新能源汽车在安全性方面的综合评分最低 D.这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于易用性方面的综合评分 解析：ABC　由题图可知，这款新能源汽车在速度方面的综合评分在（8，10）内，在稳定性和续航能力这两方面的综合评分都是8分，在安全性方面的综合评分在（6，8）内，在易用性方面的综合评分是10分，故A、B、C正确，D错误.故选A、B、C. 7.如图是某市5月1日至5月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7天中，日温差最大的一天是　5月5日　. 解析：由图知5月1日至5月7日的日温差分别为12 ℃，12 ℃，11 ℃，10.5 ℃，12.5 ℃，10 ℃，10 ℃，故5月5日的日温差最大. 8.某校高一的320名学生，在计算机技能培训前后分别参加了一次水平相同的测试，分数都以统一标准划分成“不合格”“合格”“优秀”三个等级.为了了解计算机技能培训的效果，用抽签的方式得到其中32名学生的两次测试等级，绘制成如图所示的条形图.请结合图中信息回答下列问题： （1）这32名学生经过培训后，等级“不合格”的百分比由　75%　下降到　25%　； （2）估计该校高一全体学生中，培训后等级为“合格”和“优秀”的学生共有　240　名. 解析：（1）×100%＝75%，×100%＝25%. （2）因为样本中培训后等级为“合格”和“优秀”的百分比为×100%＝75%，所以估计该校高一全体学生中，培训后等级为“合格”和“优秀”的人数也大致占到总人数的75%，即320×75%＝240（名）. 9.为了参加学校举行的传统文化知识竞赛，某班进行四次模拟训练，将成绩优秀的人数和优秀率绘制成如下两幅不完整的统计图. 根据图①，图②，解答下列问题： （1）该班总人数为多少？ （2）根据计算，请你补全两幅统计图； （3）观察补全后的统计图，写出一条你发现的结论. 解：（1）由题意可得该班总人数是22÷55%＝40. （2）由（1）得，第四次优秀的人数为40×85%＝34； 第三次优秀率为×100%＝80%； 补全统计图如图所示. （3）优秀人数逐渐增多，增大的幅度逐渐减小（答案不唯一）. 10.〔多选〕某中学在一次健康知识竞赛活动中，抽取了一部分学生的测试成绩（成绩均为整数），整理后绘制成如图所示的频数直方图，根据图示信息，下列描述正确的是（　　） A.抽查了50名学生 B.成绩在60.5～70.5分范围的频数为2 C.成绩在70.5～80.5分范围的频数比成绩在60.5～70.5分范围的频数多1 D.成绩在70.5～80.5分范围的频率为0.08 解析：ABC　A项，抽取的学生共2＋3＋41＋4＝50（名），故本选项正确；B项，成绩在60.5～70.5分范围的频数为2，故本选项正确；C项，成绩在70.5～80.5分范围的频数为3，因此，成绩在70.5～80.5分范围的频数比成绩在60.5～70.5分范围的频数多1，故本选项正确；D项，成绩在70.5～80.5分范围的频率为3÷50＝0.06，故本选项错误. 11.〔多选〕新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料.如图为2024年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图. 根据所给统计图，下列结论中正确的是（　　） A.每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90% B.每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20% C.月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50% D.月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60% 解析：BC　对于A，每周都消费新式茶饮的消费者占比为1－9.1%＝90.9%＞90%，故A错误；对于B，每天都消费新式茶饮的消费者占比为5.4%＋16.4%＝21.8%＞20%，故B正确；对于C，月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比为30.5%＋25.6%＝56.1%＞50%，故C正确；对于D，月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比为1－14.5%－30.5%＝55%＜60%，故D错误.故选B、C. 12.小张刚参加工作时月工资为5 000元，各种用途占比统计的条形图如图①.后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计的折线图如图②.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前小张的月工资为　5 500　元. 解析：由题易知，小张刚参加工作时月就医费为5 000×15%＝750（元），又已知小张目前的月就医费比刚参加工作时少200元，即为550元，故目前小张的月工资为＝5 500（元）. 13.小龙在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的家庭收入情况.他从中随机调查了40户居民的家庭收入情况（收入取整数，单位：元），并绘制了如下的频率分布表和频数直方图. 分组 频数 频率 [600，800） 2 0.05 [800，1 000） 6 0.15 [1 000，1 200） 0.45 9 0.225 [1 600，1 800] 2 合计 40 1 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）补全频率分布表； （2）补全频数直方图； （3）请你估计该居民小区家庭属于中等收入（大于等于1 000不足1 600元）的大约有多少户. 解：（1）根据题意可得40×0.45＝18， 40－（2＋6＋18＋9＋2）＝3， 3÷40＝0.075，2÷40＝0.05， 填表如下： 分组 频数 频率 [600，800） 2 0.05 [800，1 000） 6 0.15 [1 000，1 200） 18 0.45 [1 200，1 400） 9 0.225 [1 400，1 600） 3 0.075 [1 600，1 800] 2 0.05 合计 40 1 （2）根据（1）所得的数据，补全频数直方图如下： （3）根据图表可知： 大于等于1 000而不足1 600的占0.45＋0.225＋0.075＝0.75， 450×0.75＝337.5≈338（户）. 故估计该居民小区家庭属于中等收入（大于等于1 000不足1 600元）的大约有338户. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $