13.2.3 第3课时 空间距离及直线与平面所成的角(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦空间距离（点到平面、直线到平面）及直线与平面所成角的核心知识点，先明确点面距定义，将线面距转化为点面距，再通过斜线射影定义线面角，构建从距离到角度的递进式学习支架。 资料以“铅笔与桌面的角”生活情境引入，培养几何直观，例题强调“作-证-求-答”步骤提升推理与运算能力，母题探究和跟踪训练助学生用数学语言表达空间关系，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

第3课时　空间距离及直线与平面所成的角 课标要求 1.理解点到平面的距离、直线到平面的距离的概念，会求简单的点面距、线面距（数学运算）. 2.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角（直观想象、数学运算）. 　　当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成的角逐渐增大. 【问题】　观察并思考铅笔和桌面所成的角怎样定义？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　点到平面及直线到平面的距离 1.点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离. 2.直线到平面的距离 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离. 知识点二　直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面　相交　，但不和这个平面　垂直　，这条直线叫作这个平面的斜线 斜足 斜线与平面的　交点　，如图中　点Q　 斜线 段 斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段，如图中　PQ　 有关概念 对应图形 射影 如图，过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的射影，线段　P1Q　就是斜线段PQ在平面α内的射影 有关概念 对应图形 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，如图中　∠PQP1　； 规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是　直角　；如果一条直线与平面平行，或在平面内，那么称它们所成的角是　0°　角 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则　0°≤θ≤90°　 　　提醒：对直线与平面所成的角的三点说明：①点P是斜线上不同于斜足Q的任意一点，点P具有随意性；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线，而不是线段；③求一条直线与平面所成的角，可先作出直线在平面内的射影，从而得到直线与平面所成的角，再进一步求解. 1.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°＜θ＜90° B.直线与平面所成的角的取值范围是0°＜θ≤90° C.若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行 D.若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等 解析：AD　A、D正确；B应为0°≤θ≤90°；C中这两条直线可能平行，也可能相交或异面.故选A、D. 2.若点A，B在平面α的同侧，且点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为（　　） A.4　 B.3 C.2　 D.1 解析：A　如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质定理可知AA1∥MM1∥BB1.结合题意知，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.故选A. 3.如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于（　　） A.30°　 B.45° C.60°　 D.90° 解析：B　∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角，在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°.故直线PB与平面ABC所成的角为45°.故选B. 题型一｜求点到平面的距离 【例1】　在各棱长均为1的四面体ABCD中，点A到平面BCD的距离为（　　） A.　　　　　　　 B. C.　 D. 解析：D　如图，设△BCD的中心为O，连接AO，则AO的长即为所求.在Rt△AOD中，AD＝1，OD＝××1＝，∴AO＝＝，即点A到平面BCD的距离为.故选D. 通性通法 求点到平面的距离的步骤 （1）作（或找）出点到平面的垂线段的垂足； （2）证明线面垂直； （3）求出该点到垂足间的线段长即为所求点到平面的距离，在平面图形中（一般为三角形）计算所求线段的长； （4）下结论：给出所求距离. 简称“一作，二证，三求，四答”. 【跟踪训练】 如图，已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求点E到平面PBC的距离. 解：如图，连接AC，BD，设交点为O，连接EO. ∵E为PA的中点，O为AC的中点，∴EO∥PC. ∵EO⊄平面PBC，PC⊂平面PBC， ∴EO∥平面PBC，∴点O到平面PBC的距离就是点E到平面PBC的距离. 在平面ABCD内过O作OG⊥BC于点G. ∵PC⊥平面ABCD，OG⊂平面ABCD， ∴PC⊥OG，又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC， ∴OG⊥平面PBC， ∴OG的长即为所求距离. ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴OB⊥AC，∠CBD＝∠ABD＝30°， ∴OB＝AB·cos∠ABD＝a·cos 30°＝a， ∴OG＝OB·sin∠OBC＝a·sin 30°＝a， 即点E到平面PBC的距离为a. 题型二｜求直线和平面的距离 【例2】　若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，且侧面ABB1A1上的∠B1AB＝60°，则A1C1和底面ABCD的距离为（　　） A.1　　　　　　　　 B. C.　 D.2 解析：C　连接AC，则A1C1∥AC.∵A1C1⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴A1C1∥平面ABCD，∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，∴A1A的长即为A1C1和底面ABCD的距离，又A1A＝B1B，∴B1B的长即为A1C1和底面ABCD的距离.由题意知，B1B＝，即A1C1和底面ABCD的距离为.故选C. 通性通法 　　当直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等，因此线面距离转化为点面距离，而点面距离又可以根据线面平行灵活取点求解. 【跟踪训练】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝1，则直线CC1和平面B1BDD1的距离为（　　） A.　 B. C.　 D.1 解析：B　连接AC（图略），则AC⊥BD，又BB1⊥AC，BD∩BB1＝B，故AC⊥平面B1BDD1，所以点C到平面B1BDD1的距离为AC＝，即直线CC1和平面B1BDD1的距离为.故选B. 题型三｜求直线与平面所成的角 【例3】　（链接教科书第184页例7）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B与平面AA1D1D所成的角的大小； 解：（1）∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. （2）求直线A1B与平面BB1D1D所成的角的大小. 解：（2）连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角. 设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝. 又∵∠A1OB＝90°， ∴sin∠A1BO＝＝， 又0°≤∠A1BO≤90°， ∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 【母题探究】 1.（变设问）在本例条件下，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角. 解：如图，连接BC1交B1C于点O，连接A1O，设正方体的棱长为a， 因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，又B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B⊂平面BCC1B1， 所以A1B1⊥平面BCC1B1， 又BC1⊂平面BCC1B1. 所以A1B1⊥BC1， 又因为BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1CD， 所以BC1⊥平面A1B1CD. 所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影， 所以∠BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角. 在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a， 所以BO＝A1B，∠BA1O＝30°. 因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°. 2.（变设问）在本例条件下，求BD1与平面BB1C1C所成角的正切值. 解：∵D1C1⊥平面BB1C1C，∴∠D1BC1为BD1与平面BB1C1C所成的角. 设正方体的棱长为1，则BC1＝， ∴在Rt△D1C1B中，tan∠D1BC1＝＝＝， ∴BD1与平面BB1C1C所成角的正切值为. 通性通法 求直线与平面所成角的步骤 （1）作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算； （2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角； （3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 【跟踪训练】 如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，求PA与平面PBC所成角的正弦值. 解：过A作AH⊥BC于H，连接PH，如图所示. ∵PC⊥平面ABCD，AH⊂平面ABCD， ∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC， ∴AH⊥平面PBC. ∴∠APH为PA与平面PBC所成的角. 在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴△ABC为正三角形，又AH⊥BC，∴H为BC中点， AH＝， ∵PC＝AC＝2， ∴PA＝2，∴sin ∠APH＝＝. 故PA与平面PBC所成角的正弦值为. 1.在正三棱锥P-ABC中，AB＝3，PA＝2，则直线PA与平面ABC所成的角的大小为（　　） A.30°　　 B.45°　　　 C.60°　　 D.75° 解析：C　如图，取底面正三角形ABC的中心O，连接PO，则PO⊥底面ABC，连接AO并延长，交BC于D，则∠PAO为直线PA与平面ABC所成的角，可得AD＝＝，则AO＝AD＝.在Rt△POA中，有cos∠PAO＝＝＝，即∠PAO＝60°，∴直线PA与平面ABC所成的角的大小为60°. 2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则直线B1C1到平面ABCD的距离是　1　. 解析：由正方体的性质可知，B1C1∥平面ABCD，所以直线B1C1到平面ABCD的距离即为B1到平面ABCD的距离，由正方体的性质知B1到平面ABCD的距离为1，即直线B1C1到平面ABCD的距离为1. 3.已知过平面α外一点A的斜线l与平面α所成角为，斜线l交平面α于点B，若点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所形成的图形面积为　3π　. 解析：如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连接BC，所以线段BC为线段AB在平面α上的射影，∠ABC为斜线l与平面α所成的角，则∠ABC＝，又AC＝1，所以BC＝，故射影形成的图形为半径为的圆面，其面积为3π. 1.在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则直线A1B1到平面A1B1C1D1的距离为（　　） A.1　　　 B.2　　　　C.3　　　 D.4 解析：D　因为直线A1B1∥平面ABCD且点A1到平面ABCD的距离为4，所以所求距离为4. 2.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是（　　） A.60°　 B.45°　　C.30°　 D.120° 解析：A　∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.故选A. 3.如图，平行四边形ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE与平面ABCD所成角的正弦值为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：D　因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE，且AF＝DE.因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD，所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2，又CD＝3，所以CE＝＝＝.所以所求正弦值为＝＝.故选D. 4.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（　　） A.30°　 B.45°　　C.60°　 D.90° 解析：C　如图，取BC的中点E，连接AE，ED，AD，则AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角.设棱长为a，则AE＝ a，DE＝ a.所以tan∠ADE＝ ，所以∠ADE＝60°.故选C. 5.〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列说法正确的是（　　） A.直线BD1⊥平面A1C1D B.三棱锥P-A1C1D的体积为定值 C.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是 D.直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 解析：ABD　A项，如图，连接B1D1，由正方体可得A1C1⊥B1D1，且BB1⊥平面A1B1C1D1，又A1C1⊂平面A1B1C1D1，则BB1⊥A1C1，因为B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂平面BD1B1，所以A1C1⊥平面BD1B1，又BD1⊂平面BD1B1，所以A1C1⊥BD1.同理，连接AD1，易证得A1D⊥BD1，因为A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1⊂平面A1C1D，所以BD1⊥平面A1C1D，故A正确；B项，＝，因为点P在线段B1C上运动，所以＝A1D·AB为定值，且C1到平面A1PD的距离即为C1到平面A1B1CD的距离，也为定值，故三棱锥P-A1C1D的体积为定值，故B正确；C项，当点P与线段B1C的端点重合时，AP与A1D所成角取得最小值，最小值为，故C错误；D项，因为直线BD1⊥平面A1C1D，所以若直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值最大，则直线C1P与直线BD1所成角的余弦值最大，即点P运动到B1C中点处，直线C1P与直线BD1所成角为∠C1BD1，设正方体棱长为1，在Rt△D1C1B中，cos∠C1BD1＝＝＝，故D正确. 6.〔多选〕如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（　　） A.BF∥CD B.DG⊥BH C.CH与BG成60°角 D.BE与平面ABCD所成角为45° 解析：BCD　由正方体的平面展开图还原正方体如图所示，由正方体的结构特征可知，BF与CD异面垂直，所以A错误；DG⊥CH，而CH为BH在平面DCGH上的射影，所以DG⊥BH，所以B正确；连接AH，由AB∥GH，AB＝GH，可得四边形ABGH为平行四边形，则AH∥BG，所以∠AHC或其补角为异面直线CH与BG所成的角，连接AC，可得△AHC为等边三角形，得CH与BG成60°角，所以C正确；因为AE⊥平面ABCD，所以∠EBA为BE与平面ABCD所成角，为45°，所以D正确.故选B、C、D. 7.一条与平面α相交的线段，其长度为10 cm，两端点到平面α的距离分别是2 cm，3 cm，则这条线段与平面α所成角的大小是　30°　. 解析：如图，作出AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，则AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°. 8.如图所示，AB是☉O的直径，PA⊥☉O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为　2　. 解析：因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角.在△ABC中，AC＝AB＝PA，即PA＝2AC，所以tan∠PCA＝＝2. 9.已知三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，顶点P在底面的射影为△ABC的中心，且其高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则点A到侧面PBC的距离是　　. 解析：如图，设P在底面的射影为O，取BC的中点D，连接PO，PD，作AE⊥PD于点E，则AE的长为所求.由∠PAO＝45°，PO＝2，可求PA＝2，AO＝2，AD＝3，PD＝，在△PAD中，由PD·AE＝PO·AD，可得AE＝.故点A到侧面PBC的距离为. 10.如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2. （1）求证：AC⊥平面BDE； 解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD. ∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥DE， ∵BD，DE⊂平面BED，BD∩DE＝D， ∴AC⊥平面BDE. （2）求AE与平面BDE所成的角的大小. 解：（2）设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示. ∵AC⊥平面BDE， ∴EO是直线AE在平面BDE上的射影， ∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角. 在Rt△EAD中，EA＝＝2，AO＝， ∴在Rt△EOA中，sin∠AEO＝＝， ∴∠AEO＝30°， 即AE与平面BDE所成的角为30°. 11.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB∶BB1＝∶1，则AB1与平面BB1C1C所成的角的大小为（　　） A.45°　　　　　　　 B.60° C.30°　 D.75° 解析：A　取BC的中点D，连接AD，B1D，由题意得AD⊥BC且AD⊥BB1，又BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角.设AB＝，则AA1＝1，AD＝，AB1＝，∴sin∠AB1D＝＝，∴∠AB1D＝45°.即AB1与平面BB1C1C所成的角为45°.故选A. 12.在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是（　　） A.　 B.2 C.3　 D.4 解析：D　如图，作PD⊥BC于点D，连接AD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又PA∩PD＝P，PA，PD⊂平面PAD，∴BC⊥平面PAD，∴AD⊥BC.在Rt△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4. 13.已知三棱锥P-ABC的侧棱两两垂直，PA＝PC＝2，PB＝，Q为棱BC上的动点，AQ与侧面PBC所成角为θ，则tan θ的最大值为　　. 解析：如图所示，依题意可知PA⊥PB，PA⊥PC，所以PA⊥平面PBC，故∠PQA是所求直线与平面所成的角.由于tan θ＝，其中PA＝2，当PQ最小时，正切值取得最大值.当PQ⊥BC时，PQ最小，BC＝＝，在Rt△PBC中，利用等面积得××2＝××PQ，解得PQ＝.此时tan θ＝＝. 14.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°. （1）求证：PC⊥BC； （2）求点A到平面PBC的距离. 解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC. 因为∠BCD＝90°，所以BC⊥CD， 又PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD，而PC⊂平面PCD，所以PC⊥BC. （2）如图所示，过点A作BC的平行线交CD的延长线于E，过点E作PC的垂线，垂足为F，则有AE∥平面PBC，所以点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离. 因为BC⊥平面PCD，EF⊂平面PCD， 所以EF⊥BC. 又EF⊥PC，BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，所以EF⊥平面PBC. 所以EF的长即为点E到平面PBC的距离. 又因为AE∥BC，AB∥CE， 所以四边形ABCE为平行四边形. 所以CE＝AB＝2.又PD＝CD＝1，PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以PD⊥CD，∠PCD＝45°. 所以EF＝，即点A到平面PBC的距离为. 15.〔多选〕在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是△BDC1内（不含边界）的一个动点，若A1P⊥BC1，则线段A1P的长可能的取值为（　　） A.　 B. C.2　 D. 解析：AB　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，所以A1B1⊥BC1.连接B1C，A1C，则BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1且A1B1，B1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，又A1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥A1C，同理可证A1C⊥DC1，A1C⊥DB，又DC1，DB⊂平面DBC1，所以A1C⊥平面DBC1，设垂足为O，则A1O＝A1C＝×＝.记BC1∩B1C＝E，连接DE，A1D，因为P是△BDC1内（不含边界）的一个动点，A1P⊥BC1，所以P在平面A1B1CD与平面DBC1的交线DE上（不含端点），所以A1O≤A1P＜A1D＝＝2，所以A1P的长的取值范围是［，2）.故选A、B. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $