13.2.3 第1课时 直线与平面平行(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“直线与平面平行”核心知识点，系统梳理直线与平面的位置关系（内、交、平行），构建从判定定理（线线平行推线面平行）到性质定理（线面平行推线线平行）的完整知识链，为学生提供递进式学习支架。 资料以门扇转动等生活实例引入，培养数学眼光，通过“想一想”引导逻辑推理（数学思维），结合中位线法、平行四边形法等证明方法及木料锯线等实际问题训练数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第1课时　直线与平面平行 课标要求 1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题（逻辑推理、直观想象）. 2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行（逻辑推理、直观想象）. 　　门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面（墙面）存在不变的位置关系. 【问题】　（1）上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？ （2）由上述问题，如何判断直线与平面平行？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　直线和平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共 点 有　无数　个公共点 　有且只有一个　公共点 　没有　公共点 符号 表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形 表示 【想一想】 若直线a在平面α外，那么直线a与平面α平行，这种说法是否正确？ 提示：不正确.直线a在平面α外，包括两种情况：直线a与平面α相交或平行. 知识点二　直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果　平面外　一条直线与此　平面内　的一条直线　平行　，那么该直线与此平面平行.简记为：若线线平行，则线面平行 符号语言 ⇒a∥α 图形语言 　　提醒：线面平行判定定理的再理解：①线面平行的判定定理中的三个条件“a⊄α，b⊂α，a∥b”缺一不可；②线面平行的判定定理的作用：证明线面平行；③应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可. 【想一想】 1.若一条直线与平面内的一条直线平行，一定有直线与平面平行吗？ 提示：不一定，直线有可能在平面内. 2.如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？ 提示：直线有可能平行于平面或直线在平面内. 知识点三　直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果　过　该直线的平面与此平面　相交　，那么该直线与　交线　平行.简记为：若线面平行，则线线平行 符号语言 ⇒l∥m 图形语言 　　提醒：对线面平行性质定理的再理解：①线面平行的性质定理的条件有三个：（ⅰ）直线l与平面α平行，即l∥α；（ⅱ）平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝m；（ⅲ）直线l在平面β内，即l⊂β. 三个条件缺一不可；②定理的作用：（ⅰ）线面平行⇒线线平行；（ⅱ）画一条直线与已知直线平行. 【想一想】 如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的直线有怎样的位置关系？ 提示：平行或异面. 1.能保证直线a与平面α平行的条件是（　　） A.b⊂α，a∥b B.b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c C.b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD D.a⊄α，b⊂α，a∥b 解析：D　由线面平行的判定定理可知，D正确.故选D. 2.如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则（　　） A.EF与BC相交 B.EF∥BC C.EF与BC异面 D.以上均有可能 解析：B　∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF⊂平面SBC，又EF∥平面ABC，∴EF∥BC.故选B. 3.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是　相交　. 解析：延长各侧棱恢复成棱锥的形状可知，三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交. 题型一｜直线与平面的位置关系 【例1】　下面三个命题中正确命题的个数是（　　） ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α. A.0　　　　　　　　 B.1 C.2　 D.3 解析：B　如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AA'∥BB'，AA'却在过BB'的平面AB'内，故命题①不正确；AA'∥平面B'C，BC⊂平面B'C，但AA'不平行于BC，故命题②不正确；③中，假设α与b相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确.故选B. 通性通法 1.在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏. 2.解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断. 【跟踪训练】 下列命题正确的个数为（　　） ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点. A.0　 B.1 C.2　 D.3 解析：B　如图所示，借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数个点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB⊂平面ABCD，所以命题②不正确；直线l与平面α平行，则l与α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点，所以命题③正确.故选B. 题型二｜直线与平面平行的判定 【例2】　（链接教科书第177页例1）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点.证明BC1∥平面A1CD. 证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点. 又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF. 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD. 通性通法 应用判定定理证明线面平行的步骤 第一步“找”是证题的关键，其常用方法有： ①空间直线平行关系的传递性法； ②三角形中位线法； ③平行四边形法； ④线段成比例法. 提醒：线面平行判定定理应用的误区：①条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”；②不能利用题目条件顺利地找到两平行直线. 【跟踪训练】 如图，在四棱锥P-ABCD中，M， N分别是棱AB， PC的中点.若四边形ABCD是平行四边形，求证：MN∥平面PAD. 证明：法一　如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE， 因为N是PC的中点， 所以NE∥CD，NE＝CD. 又因为在矩形ABCD中，M是AB的中点， 所以AM∥CD且AM＝CD. 所以NE∥AM，NE＝AM. 所以四边形AMNE是平行四边形. 所以MN∥AE. 又因为AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， 所以MN∥平面PAD. 法二　连接CM并延长，交DA的延长线于点F，连接PF， 因为AM∥CD且AM＝CD， 所以M是CF的中点. 又因为N是PC的中点，所以MN∥PF. 又因为MN⊄平面PAD， PF⊂平面PAD， 所以MN∥平面PAD. 题型三｜线面平行性质定理的应用 【例3】　（链接教科书第177页例2）如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A'C'. （1）要经过平面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ 解：（1）如图，在平面A'C'内，过点P作直线EF，使EF∥B'C'，并分别交棱A'B'，D'C'于点E，F.连接BE，CF，则EF，BE，CF就是应画的线. （2）所画的线与平面AC是什么位置关系？ 解：（2）因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'∩平面A'C'＝B'C'，所以B'C'∥BC. 又由（1）知，EF∥B'C'，所以EF∥BC.而BC在平面AC内，EF在平面AC外，所以EF∥平面AC.显然，BE，CF都与平面AC相交. 通性通法 1.通过线线平行与线面平行的相互转化，来证明线线平行是常用的解题思路. 2.利用线面平行的性质定理解题的步骤 【跟踪训练】 1.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，M为线段SA上一点，且AM＝2MS，平面MCD与侧棱BS交于点N，则MN＝　　. 解析：因为AB∥CD，AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB，所以CD∥平面SAB，又因为平面CDMN∩平面SAB＝MN，CD⊂平面CDMN，所以CD∥MN，所以AB∥MN，所以＝＝，所以MN＝. 2.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面PAHG交平面BDM于GH.求证：PA∥GH. 证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点.又M是PC的中点，∴AP∥OM. 根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD. ∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，知PA∥GH. 1.〔多选〕若直线a平行于平面α，则（　　） A.平面α内有且只有一条直线与a平行 B.平面α内有无数条直线与a平行 C.平面α内存在无数条与a不平行的直线 D.平面α内任意一条直线都与a平行 解析：BC　过直线a可作无数个平面与α相交，由直线与平面平行的性质定理可知，这些交线都与a平行，所以在平面α内与直线a平行的直线有无数条，故A不正确，B正确.平面α内存在与a不平行的直线，且有无数条，故C正确，D不正确.故B、C. 2.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面（　　） A.有且只有一个 B.有无数多个 C.有且只有一个或不存在 D.不存在 解析：A　取直线a上任一点A，则点A和直线b确定一个平面记为β，在β内过A点作直线c∥b，由a∩c＝A，则直线a，c确定唯一的平面记为α，∵c∥b，c⊂α，b⊄α，∴b∥α，故满足题意的平面有且仅有一个.故选A. 3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是　平行　. 解析：因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD. 4.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE. 证明：如图，作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，则PM∥QN，＝，＝. ∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ. 又∵AB＝CD，∴PM􀱀QN， ∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN. 又∵PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE， ∴PQ∥平面CBE. 1.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（　　） A.α内的所有直线与l异面 B.α内不存在与l平行的直线 C.α内存在唯一的直线与l平行 D.α内的直线与l都相交 解析：B　若在平面α内存在与直线l平行的直线，因为l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾. 2.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（　　） A.m∥α，m∥n⇒n∥α B.m∥α，n∥α⇒m∥n C.m∥α，m⊂β，α∩β＝n⇒m∥n D.m∥α，n⊂α⇒m∥n 解析：C　A中，n还有可能在平面α内；B中，m，n可能相交、平行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确；D中，m，n可能异面. 3.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是（　　） A.平行　 B.相交 C.在平面内　 D.异面 解析：A　如图所示，由＝，得AC∥EF.又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.故选A. 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是平面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为（　　） A.1　 B. C.　 D. 解析：C　连接AB1，AD1，∵点P是平面AA1D1D的中心，∴P是AD1的中点，∵PQ∥平面AA1B1B，PQ⊂平面D1AB1，平面D1AB1∩平面AA1B1B＝AB1，∴PQ∥AB1，即PQ是△D1AB1的中位线，∴PQ＝AB1＝×＝.故选C. 5.〔多选〕如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是（　　） A.OM∥PD　 B.OM∥平面PCD C.OM∥平面PDA　 D.OM∥平面PBA 解析：ABC　由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故A正确；PD⊂平面PCD，OM⊄平面PCD，∴OM∥平面PCD，故B正确；同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；OM与平面PBA相交，故D不正确.故选A、B、C. 6.〔多选〕已知a，b是不同的直线，α是平面，下列命题错误的是（　　） A.a∥b，b⊂α⇒a∥α B.a∥α，b⊂α⇒a∥b C.a∥α，a∥b⇒b∥α D.a⊄α，a∥b，b⊂α⇒a∥α 解析：ABC　对于A，因为b⊂α，α内有无数条直线与b平行，故a∥b还可能是a⊂α，故A错误；对于B，a∥α，所以a与α没有公共点，又b⊂α，所以a与b没有公共点，所以a与b的位置可平行可异面，故B错误；对于C，因为a∥α，a∥b，所以b∥α或b⊂α，故C错误；对于D，由线面平行的判定定理知D正确.故选A、B、C. 7.平面α外的两条直线a，b，且a∥α，则a∥b是b∥α的　充分不必要　条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）. 解析：平面α外的两条直线a，b，若a∥α且a∥b，则根据直线与平面平行的判定定理可知b∥α；若a∥α且b∥α，则不一定有a∥b. 8.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PA上一点，当点E满足条件：　E为PA的中点　时，PC∥平面EBD. 解析：如图，取PA的中点E，连接EB，ED，AC，设AC与BD交于点O，连接EO，易知EO∥PC.∵EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，∴PC∥平面EBD.即当E为PA中点时，PC∥平面EBD. 9.如图所示，直线a∥平面α，点A∉平面α，并且直线a和点A位于平面α两侧，点B，C，D∈a，AB，AC，AD分别交平面α于点E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝　　. 解析：因为直线a∥平面α，点B，C，D∈a，平面ABD∩平面α＝EG，所以BD∥EG，所以＝＝，所以EG＝·BD＝×4＝. 10.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝ AD，E是PD的中点. （1）求证：BC∥AD； （2）求证：CE∥平面PAB. 证明：（1）在四棱锥P-ABCD中，因为BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD. （2）取PA的中点F，连接EF，BF， 因为E是PD 的中点， 所以EF∥AD，EF＝AD， 又由（1）可得BC∥AD，BC＝ AD， 所以BC∥EF，BC＝EF， 所以四边形BCEF是平行四边形， 所以CE∥BF， 因为CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB， 所以CE∥平面PAB. 11.已知M是两条异面直线a，b外一点，则过点M且与直线a，b都平行的平面（　　） A.有且只有一个　 B.有两个 C.没有或只有一个　 D.有无数个 解析：C　过点M作直线a'∥a，过点M作直线b'∥b，则直线a'，b'确定平面α.当a，b都不在由a'，b'确定的平面α内时，过点M且与a，b都平行的平面只有一个；当a⊂α或b⊂α时，过点M且与a，b都平行的平面不存在.故选C. 12.〔多选〕下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的图形是（　　） 解析：AD　对于A，如图，连接BC交PN于点D，连接DM，则MD∥AB，又AB⊄平面MNP，MD⊂平面MNP，得AB∥平面MNP；对于D，易得AB∥NP，又AB⊄平面MNP，NP⊂平面MNP，可得AB∥平面MNP；B、C中得不到AB∥平面MNP. 13.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC上的动点，D是AA1上的动点，且＝m，AE∥平面DB1C. （1）若E是BC的中点，则m的值为　1　； （2）若E是BC上靠近B的三等分点，则m的值为　2　. 解析：（1）如图，过点E作BB1的平行线，交CB1于点G，连接DG.因为AE∥平面DB1C，所以AE∥DG.又AD∥平面CBB1C1，所以AD∥EG，则四边形DAEG是平行四边形.故DA＝GE，因为E是BC的中点，所以G是CB1的中点.故AD＝DA1，即＝1，即m＝1. （2）如图，过点E作BB1的平行线，交CB1于点H，连接DH.因为AE∥平面DB1C，所以AE∥DH，又AD∥BB1，所以AD∥平面CBB1C1，所以AD∥EH，故四边形DAEH是平行四边形，则AD＝EH，因为EH∥BB1，所以＝＝，所以＝＝，则＝2，即m＝2. 14.如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，M，N分别为线段A1B，AC1的中点. （1）求证：MN∥平面BB1C1C； （2）若点D在棱BC上，DN∥平面ABB1A1，求的值. 解：（1）证明：连接A1C（图略），在直三棱柱A1B1C1-ABC中，侧面AA1C1C为矩形， 因为N为AC1的中点，所以N为A1C的中点. 又M为A1B的中点，所以MN∥BC，又MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C. （2）因为DN∥平面ABB1A1，DN⊂平面A1BC，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B， 所以DN∥A1B，所以＝＝1. 15.如图所示，四边形EFGH为三棱锥A-BCD的一个截面，四边形EFGH为平行四边形. （1）求证：AB∥平面EFGH； （2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围. 解：（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF∥GH. 又GH⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD. ∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB， ∴EF∥AB. ∵EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. （2）同（1）可证EH∥CD，设EF＝x，EH＝y， ∵EF∥AB，EH∥CD，∴＝，＝， ∴＋＝＋＝＝1， 又AB＝4，CD＝6，∴＋＝1， ∴y＝6（1－），且0＜x＜4， ∴四边形EFGH的周长为l＝2（x＋y）＝2［x＋6（1－）］＝12－x， ∵8＜12－x＜12， ∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $