13.2.2 第2课时 异面直线(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“异面直线”核心知识点，系统梳理异面直线的定义（不同在任何一个平面内的直线）、判定定理（过平面内一点与平面外一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线，含文字与符号表述）及所成角概念（过空间任一点作平行线，所成锐角或直角，范围0°<θ≤90°，90°时垂直）。通过长方体模型问题引入，构建“概念引入—判定方法（定义法、定理法、反证法）—所成角计算（平移法、解三角形）—应用（证明垂直）”的学习支架，形成从基础到应用的完整脉络。 该资料以直观模型（长方体、正方体）为载体，通过问题驱动（如“直线A1C与B1B的位置关系”）引导学生用数学眼光观察空间形式，培养直观想象。题型设计突出通性通法，如判定异面直线的三种方法、求所成角的四步步骤，结合具体几何体例题（如三棱锥、正方体），帮助学生用数学思维推理运算，提升数学抽象与数学运算素养。课中教师可依托模型与例题引导探究，课后练习题覆盖选择、填空、解答，难度递进，助力学生查漏补缺，巩固知识。

第2课时　异面直线 课标要求 1.理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是不是异面直线（数学抽象、直观想象）. 2.理解异面直线所成角的概念（直观想象、数学运算）. 　　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C. 【问题】　（1）直线A1C与B1B具有怎样的位置关系？ （2）图中还有哪些直线与直线A1C是异面直线？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　异面直线 1.异面直线的判定与几何表示 画法 图形表示如图所示（通常用一个或两个平面衬托） 判定 定理 文字 表述 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内　不经过该点　的直线是异面直线 符号 表述 若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线 2.异面直线所成的角 定义 a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a'∥a，b'∥b，把直线a'和b'所成的　锐角　（或直角）叫作异面直线a，b所成的角或夹角 范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°＜θ≤90° 特殊 情况 当θ＝　90°　时，a与b互相垂直，记作a⊥b 【想一想】 为什么a'，b'所成角的大小与点O的选择无关？ 提示：因为a'∥a，b'∥b，根据等角定理，a'，b'所成的锐角（或直角）等于a，b所成的锐角（或直角），与点O的选择无关.不过为了方便计算异面直线所成角的大小，点O常在异面直线中的某一条上取，常取某些特殊点. 1.〔多选〕如图，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在直线中，是异面直线的有（　　） A.AP与BC B.BP与BC C.CP与AB D.BP与AC 解析：ACD　根据异面直线的定义可知异面直线共3对：AP与BC， CP与AB， BP与AC.故选A、C、D. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC和直线BC1所成的角的大小为　60°　. 解析：如图，由正方体性质可得BC1∥AD1，所以直线AC和直线BC1所成的角等于∠D1AC，又易知△D1AC为等边三角形，所以∠D1AC＝60°. 题型一｜异面直线的判定 【例1】　如图所示，在三棱锥A-BCD中，E，F是棱AD上异于A，D的两个不同点，G，H是棱BC上异于B，C的两个不同点，给出下列说法： ①AB与CD互为异面直线； ②FH分别与DC，DB互为异面直线； ③EG与FH互为异面直线； ④EG与AB互为异面直线. 其中说法正确的是　①②③④　.（填序号） 解析：因为直线DC⊂平面BCD，直线AB⊄平面BCD，点B∉直线DC，所以由异面直线的判定定理可知，①正确；同理，②③④正确. 通性通法 判定异面直线的方法 （1）定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在一个平面内； （2）利用异面直线的判定定理； （3）反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可. 【跟踪训练】 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？ 解：三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH. 还原的正方体如图所示. 题型二｜异面直线所成的角 【例2】　（链接教科书第172页例3）如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： （1）BE与CG所成的角的大小； 解：（1）∵CG∥FB， ∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角. 在Rt△EFB中，EF＝FB， ∴∠EBF＝45°， ∴BE与CG所成的角为45°. （2）FO与BD所成的角的大小. 解：（2）如图，连接FH， ∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD， ∴FB＝HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO是FO与BD所成的角， 连接HA，AF， 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°， ∴FO与BD所成的角为30°. 通性通法 求两条异面直线所成角的步骤 （1）恰当选点，用平移法构造出一个相交角； （2）证明这个角就是异面直线所成的角（或补角）； （3）把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数； （4）给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角. 【跟踪训练】 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小. 解：如图所示，取AC的中点G， 连接EG，FG， 则EG∥AB且EG＝AB， GF∥CD且GF＝CD. 由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角. ∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°， 由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°， 故EF与AB所成角的大小为15°或75°. 题型三｜异面直线所成角的应用 【例3】　如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，求证：AC⊥B1D. 证明：如图，连接BD，交AC于点O，取BB1的中点E，连接OE， 则OE∥B1D， 所以OE与AC所成的角即为B1D与AC所成的角. 连接AE，CE. 易证AE＝CE， 又O是AC的中点， 所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D. 通性通法 证明两条直线垂直的策略 （1）对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明； （2）对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明. 【跟踪训练】 　如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD与AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2，求EF的长度. 解：取BC的中点M，连接ME，MF，如图，则ME∥AC，MF∥BD，∴ME与MF所成的锐角（或直角）即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°， ∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°. ∵ME＝AC，MF＝BD，BD＝AC＝2， ∴ME＝MF＝1. 当∠EMF＝60°时，EF＝ME＝MF＝1； 当∠EMF＝120°时，取EF的中点N， 连接MN，则MN⊥EF， ∴EF＝2EN＝2EM·sin∠EMN＝2×1×＝. 故EF的长度为1或. 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（　　） A.DD1　　 B.AC　　　 C.AD1　　 D.B1C 解析：B　如图所示，由正方体的性质易知当P为A1C1的中点时，P为B1D1的中点，而DD1∥BB1，所以B，D，D1，B1四点共面，则BP，DD1在平面BDD1B1上，故A不符合题意；因为AA1∥CC1，即A，C，C1，A1四点共面，易知P∈平面ACC1A1，而B∉平面ACC1A1，P∈A1C1，P∉AC，故BP与AC异面，故B符合题意；当P，C1重合时，易知AB∥D1C1，AB＝D1C1，则四边形ABC1D1是平行四边形，则此时AD1∥BP，故C不符合题意；当P，C1重合时，显然B1C，BP相交，故D不符合题意. 2.（2025·镇江期末）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，AD的中点，则EF与BC1所成角的大小为（　　） A.30°　 B.45°　　C.60°　 D.90° 解析：C　如图，连接FE，BD，C1D，C1B，因为E，F分别为棱AB，AD的中点，所以FE∥BD，所以∠DBC1为EF与BC1所成角，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD＝C1D＝C1B，所以△BDC1为等边三角形，所以∠DBC1＝60°.故选C. 3.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形有（　　） A.①②　 B.①③　　 C.②③　 D.②④ 解析：D　①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，MN必相交.故选D. 4.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，异面直线A'B'与BC所成的角的大小为　90°　.异面直线AD'与CC'所成的角的大小为　45°　. 解析：∵B'C'∥BC，∠A'B'C'＝90°，∴A'B'与BC所成的角为90°，又CC'∥DD'，∠DD'A＝45°，∴AD'与CC'所成的角为45°. 1.异面直线是指（　　） A.空间中两条不相交的直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.平面内的一条直线与平面外的一条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线 解析：D　对于A，空间中两条不相交的直线有两种可能，一个是平行（共面），另一个是异面，所以A应排除；对于B，分别位于两个不同平面内的两条直线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，所以B应排除；对于C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，所以C应排除；只有D符合定义. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱所在的直线与直线BA1是异面直线的条数为（　　） A.4　 B.5 C.6　 D.7 解析：C　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线BA1异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条，故选C. 3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是（　　） A.BC1　 B.A1D C.AC　 D.BC 解析：C　连接BD（图略），∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故选C. 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角的大小为（　　） A.30°　 B.45° C.90°　 D.60° 解析：D　连接AD1，D1C，BC1（图略），因为M，N分别为BC和CC1的中点，所以C1B∥MN，又C1B∥AD1，所以AD1∥MN，所以∠D1AC即为异面直线AC和MN所成的角.又△D1AC是等边三角形，所以∠D1AC＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°.故选D. 5.如图所示，在四面体ABCD中，AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝（　　） A.5　 B.6 C.8　 D.10 解析：A　取AD的中点P，连接PM，PN（图略），则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN（或其补角）即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5. 6.〔多选〕如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（　　） A.CC1与B1E是异面直线 B.C1C与AE是异面直线 C.AE与B1C1是异面直线 D.AE与B1C1所成的角为60° 解析：BC　对于A，由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，故A错误；对于B，由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，故B正确；对于C，同理AE与B1C1是异面直线，故C正确；对于D，AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，所以AE与B1C1所成的角为90°，故D错误.故选B、C. 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱所在的直线中，与直线A1B，D1C1均异面且垂直的直线是　AD　. 解析：易知AD分别与A1B，D1C1垂直且异面. 8.如图，过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作　4　条. 解析：连接AC1（图略），则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等.故这样的直线l可以作4条. 9.如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的大小为　60°　. 解析：将三角形折成三棱锥，如图所示，GH与IJ为异面直线.在三棱锥A-DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，所以∠ADF即为所求，因此GH与IJ所成的角的大小为60°. 10.如图所示，在三棱锥P-ABC中，E是PC的中点，连接AE.求证：AE与PB是异面直线. 证明：假设AE与PB共面于平面α，连接BE（图略）. 因为A∈α，B∈α，E∈α， 所以平面ABE即为平面α，所以P∈平面ABE， 这与P∉平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线. 11.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是（　　） A.30°　 B.45° C.60°　 D.120° 解析：C　如图所示，由题可知，四边形ABEG和CDFE均为正方形，△EFG为正三角形，因为AB∥EG，CD∥EF，所以∠GEF或其补角为异面直线AB与CD所成的角.因为△EFG为正三角形，所以∠GEF＝60°.故AB与CD所成角的大小为60°. 12.〔多选〕一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论正确的是（　　） A.AB⊥EF B.AB与CM所成的角为60° C.MN∥CD D.EF与MN所成的角为60° 解析：AD　把展开图还原成正方体，如图所示.A选项，因为AB∥MC，且EF⊥MC，所以EF⊥AB，故A正确；B选项，因为AB∥MC，所以AB与CM所成的角为0°，故B错误；C选项，因为AE∥MN，且AE⊥CD，所以MN⊥CD，故C错误；D选项，因为AE∥MN，所以∠AEF或其补角为EF与MN所成的角，又因为EF＝FA＝AE，所以△AEF为等边三角形，因此∠AEF＝60°，且异面直线所成角的范围为（0，90°]，所以∠AEF为EF与MN所成的角，因此EF与MN所成的角为60°，故D正确.故选A、D. 13.如图，在圆柱OO1中，底面半径为1，OA⊥O1B，异面直线AB与OO1所成角的正切值为，则圆柱的高为　4　. 解析：如图，过点B作OO1的平行线交底面圆O于点H，连接OH，AH，则∠ABH即为异面直线AB与OO1所成的角，tan∠ABH＝，易知OH∥O1B且OH＝O1B，由OA⊥O1B可知，OA⊥OH，所以AH＝＝，又tan∠ABH＝，所以圆柱OO1的高BH＝＝4. 14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.求证：CD1⊥EF. 证明：如图，取CD1的中点G，连接EG，DG. ∵E是BD1的中点， ∴EG∥BC，EG＝BC， ∵F是AD的中点， 且AD∥BC，AD＝BC， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∴EG∥DF，EG＝DF， ∴四边形EFDG是平行四边形， ∴EF∥DG， ∴∠DGD1（或其补角）是异面直线CD1与EF所成的角. 又∵A1A＝AB， ∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形， 又G为CD1的中点， ∴DG⊥CD1，∴∠DGD1＝90°， ∴异面直线CD1与EF所成的角为90°， ∴CD1⊥EF. 15.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝2，∠ABC＝120°，侧面是全等的长方形，若A1B⊥AD1，求AA1的长. 解：如图所示，连接CD1，AC. 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， A1D1∥BC，A1D1＝BC＝2， ∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴A1B∥CD1， ∴∠AD1C（或其补角）为异面直线A1B和AD1所成的角， ∵A1B⊥AD1，即异面直线A1B和AD1所成的角为90°， ∴∠AD1C＝90°. 又易知AD1＝D1C， ∴△ACD1是等腰直角三角形， ∴AD1＝AC. ∵AB＝BC＝2， ∠ABC＝120°， ∴AC＝2×sin 60°×2＝6， ∴AD1＝AC＝3， ∴AA1＝＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $